Bài 3. Hàm số liên tục Toán 11 Cùng khám phá

Hoạt động 1

Dòng 1 của bảng dưới đây cho biết biểu thức của một hàm số. Dòng 2 cho biết đồ thị của hàm số đã cho. Trả lời các câu hỏi ở dòng 3 và 4

Phương pháp giải:

Với \(x = 1\) nên dựa vào điều kiện \(x \le 1\) để tính \(g\left( 1 \right)\) thì thay vào hàm số \(g\left( x \right) = x + 1\)

Với \(h\left( 1 \right)\) tính tương tự như \(g\left( 1 \right)\)

Khi \(x \to {1^ + }\) tức là \(x \ge 1\) nên phải tính\(\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} g\left( x \right)\) ứng với hàm số \(g\left( x \right) = x + 1\)

Còn khi \(x \to {1^ - }\) tức là \(x < 1\) nên phải tính \(\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} g\left( x \right)\) ứng với hàm số \(g\left( x \right) = 3 - x\)

Hàm \(h\left( x \right)\) thì làm tương tự như hàm \(g\left( x \right)\)

Lời giải chi tiết:

Luyện tập 1

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - x - 6}}{{x + 2}}\,\,\,khi\,\,x \ne 2\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 6\,\,\,khi\,\,x =  - 2\end{array} \right.\). Xét tính liên tục của hàm số tại \({x_0} =  - 2\)

Phương pháp giải:

Hàm số liên tục tại \({x_0} =  - 2\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right)\)

Đây là giới hạn tại điểm dạng vô định \(\frac{0}{0}\) nên phải thực hiện khử mẫu

Đây là hàm phân thức hữu tỉ nên ta thực hiện phân tích đa thức thành nhân tử để khử dạng vô định

Lời giải chi tiết:

Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\)

Khi \(x =  - 2\), ta có \(f\left( { - 2} \right) =  - 6\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \frac{{{x^2} - x - 6}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \left( {x - 3} \right) =  - 2 - 3 =  - 5\)

Vì \( - 5 \ne  - 6\) \( \Rightarrow \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} f\left( x \right) \ne f\left( { - 2} \right)\) do đó hàm số không liên tục tại \({x_0} =  - 2\)

Hoạt động 2

Xét tính liên tục của hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + 1\) tại điểm \({x_0}\) bất kì thuộc \(\mathbb{R}\)

Phương pháp giải:

Hàm số liên tục tại \(x = {x_0}\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\)

Khi \(x = {x_0}\) thì \(f\left( {{x_0}} \right) = x_0^2 + 1\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {{x^2} + 1} \right) = x_0^2 + 1 = f\left( {{x_0}} \right)\)

Vậy hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0}\) bất kì thuộc \(\mathbb{R}\)

Luyện tập 2

Xét tính liên tục của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}\) trên \(\left( {1; + \infty } \right)\)

Phương pháp giải:

Hàm số liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.

Lời giải chi tiết:

Hàm số có tập xác định là \(\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)

Với mọi \({x_0} > 1\), ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \frac{{x_0^2 - 1}}{{{x_0} - 1}} = f\left( {{x_0}} \right)\). Vậy hàm số liên tục tại mọi điểm \({x_0} > 1\) nên hàm số liên tục trên \(\left( {1; + \infty } \right)\)

Hoạt động 3

Các hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 2\) và \(g\left( x \right) = \sin x\) xác định trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\) có đồ thị như sau:

Dựa vào đồ thị, hãy dự đoán tính liên tục của các hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).

Phương pháp giải:

Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng là đường liền trên khoảng đó

Lời giải chi tiết:

Quan sát đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) ta thấy chúng là một đường nét liền trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\) nên hai hàm số đó liên tục trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\)

Luyện tập 3

Xét tính liên tục của hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^3} + x - 2}}{{x - 1}}\,\,\,khi\,\,x \ne 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2\,\,\,khi\,\,x = 1\end{array} \right.\) trên \(\mathbb{R}\)

Phương pháp giải:

Hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc \(\mathbb{R}\)

Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.

Xét tính liên tục của hàm số \(f\left( x \right)\) tại điểm \(x = 1\)

Lời giải chi tiết:

Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\)

+ Trên tập \(\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\), hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^3} + x - 2}}{{x - 1}}\) là phân thức hữu tỉ xác định trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\) nên liên tục trên các khoảng này.

+ Khi \(x = 1\), ta có \(f\left( 1 \right) = 2\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} + x - 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 2} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} + x + 2} \right) = {1^2} + 1 + 2 = 4 \ne f\left( 1 \right)\)

Vậy hàm số \(f\left( x \right)\) không liên tục tại \(x = 1\)

Suy ra hàm số đã cho gián đoạn tại \(x = 1\) hay hàm số \(f\left( x \right)\) không liên tục trên \(\mathbb{R}\)

Hoạt động 4

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^2}\) và \(g\left( x \right) = \frac{1}{x}\).

a) Xét tính liên tục của \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) tại \({x_0} = 1\).

b) Xét tính liên tục của hàm số \(y = f\left( x \right) + g\left( x \right)\) tại \({x_0} = 1\).

Phương pháp giải:

Hàm số liên tại tại điểm \(x = {x_0}\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)

Tính \(f\left( {{x_0}} \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)\) rồi so sánh chúng

Tương tự với hàm \(y = g\left( x \right)\) và \(y = f\left( x \right) + g\left( x \right)\)

Lời giải chi tiết:

a)

+ Hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^2}\) có TXĐ là \(\mathbb{R}\)

Với \({x_0} = 1 \Rightarrow f\left( 1 \right) = {1^2} = 1\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {x^2} = {1^2} = 1 = f\left( 1 \right)\). Suy ra, hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \({x_0} = 1\)

+ Hàm số \(y = g\left( x \right) = \frac{1}{x}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)

Với \({x_0} = 1 \Rightarrow g\left( 1 \right) = \frac{1}{1} = 1\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{x} = \frac{1}{1} = 1 = f\left( 1 \right)\). Suy ra, hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \({x_0} = 1\)

b) Với \({x_0} = 1 \Rightarrow f\left( 1 \right) + g\left( 1 \right) = {1^2} + \frac{1}{1} = 2\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} + \frac{1}{x}} \right) = {1^2} + \frac{1}{1} = 2 = f\left( 1 \right) + g\left( 1 \right)\).

Suy ra, hàm số \(y = f\left( x \right) + g\left( x \right)\) liên tục tại \({x_0} = 1\)

Luyện tập 4

Tìm các khoảng trên đó hàm số sau đây là liên tục: \(y = x + \tan x\)

Phương pháp giải:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) là các hàm số liên tục trên khoảng K thì hàm số \(y = f\left( x \right) \pm g\left( x \right)\) cũng liên tục trên khoảng K

Hàm số \(y = \tan x,y = \cot x\) liên tục trên từng khoảng xác định của chúng

Tìm tập xác định của hàm số

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số \(f\left( x \right) = x\) và \(g\left( x \right) = \tan x\)

+ Hàm số \(f\left( x \right) = x\) là hàm đa thức nên \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\)

+ Hàm số \(g\left( x \right) = \tan x\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\) nên hàm số \(g\left( x \right)\) liên tục trên các khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Do đó, hàm số \(y = f\left( x \right) + g\left( x \right) = x + \tan x\) liên tục trên các khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x + 1\,\,khi\,\,x \le 0\\ax + b\,\,khi\,\,0 < x < 2\\4 - x\,\,\,khi\,\,2 \le x\end{array} \right.\), trong đó \(a\) và \(b\) là hai số thực. Tìm \(a\) và \(b\) để hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Phương pháp giải:

Hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc \(\mathbb{R}\)

Dựa tính liên tục tại các điểm \(x = 0;x = 2\) để tìm \(a\) và \(b\)

Lời giải chi tiết:

Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\)

Với \(x < 0\), hàm số \(f\left( x \right) = x + 1\) là hàm đa thức nên hàm số liên tục trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\)

Với \(0 < x < 2\), hàm số \(f\left( x \right) = ax + b\) là hàm đa thức nên hàm số liên tục trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\)

Với \(x > 2\), hàm số \(f\left( x \right) = 4 - x\) là hàm đa thức nên hàm số liên tục trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\)

Để hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) phải liên tục tại các điểm \(x = 0\) và \(x = 2\)

+ Với \(x = 0 \Rightarrow f\left( 0 \right) = 0 + 1 = 1\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {x + 1} \right) = 0 + 1 = 1\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {ax + b} \right) = a.0 + b = b\)

Để hàm số liên tục tại \(x = 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow b = 1\)         \(\left( 1 \right)\)

+ Với \(x = 2 \Rightarrow f\left( 2 \right) = 4 - 2 = 2\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {ax + b} \right) = 2a + b\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {4 - x} \right) = 4 - 2 = 2\)

Để hàm số liên tục tại \(x = 2\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) \Leftrightarrow 2a + b = 2\)      \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\), suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}b = 1\\2a + b = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow a = \frac{1}{2};b = 1\)