Bài 3. Hàm số lượng giác

Giải bài 1.16 trang 17 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tìm tập xác định của hàm số sau:

a) ;                                        

b) ;            

c) ;                                         

d) .

Lời giải chi tiết

a) Biểu thức có nghĩa khi hay . Vậy tập xác định của hàm số là: .

b) Biểu thức có nghĩa khi . Nhưng . Vậy tập xác định của hàm số là: .

c) Hàm số có nghĩa khi hay .

Vậy tập xác định của hàm số là:

d) Hàm số có nghĩa khi hay .

Vậy tập xác định của hàm số là:

Giải bài 1.17 trang 17, 18 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) \(y = 2 + 3|\cos x|\);

b) \(y = 2\sqrt {\sin x}  + 1\);

c) \(y = 3{\cos ^2}x + 4\cos 2x\);                                    

d) \(y = \sin x + \cos x\).

Lời giải chi tiết

a) Vì \(0 \le \,|\cos x\,|\, \le \,1\) nên \(0 \le \,3\,|\cos x\,|\, \le \,3\), do đó\(2 \le \,2 + 3\,|\cos x\,|\, \le \,5\,\forall  \in \mathbb{R}\).

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 5, đạt được khi:

\(|\cos x\,|\, = 1 \Leftrightarrow \sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \,\,(k \in \mathbb{Z})\).

Và giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2, đạt được khi:

\(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,(k \in \mathbb{Z})\).

b) Điều kiện \(\sin x \ge 0\). Vì \(0 \le \sin x \le 1\) hay \(0 \le \sqrt {\sin x}  \le 1\) nên \(0 \le 2\sqrt {\sin x}  \le 2\), do đó \(1 \le 1 + 2\sqrt {\sin x}  \le 3\) với mọi x thỏa mãn \(0 \le \sin x \le 1\).

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 3, đạt được khi \(\sin x = 1\) hay \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,(k \in \mathbb{Z})\).

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1, đạt được khi \(\sin x = 0\) hay \(x = k\pi \,\,(k \in \mathbb{Z})\).

c) Ta có \(y = {\cos ^2}x + 4\cos 2x \)

\(= 3.\frac{{1 + \cos 2x}}{2} + 4\cos 2x \)

\(= \frac{3}{2} + \frac{{11}}{2}\cos 2x\).

Vì \( - 1 \le \cos 2x \le 1\) nên \( - \frac{{11}}{2} \le \frac{{11}}{2}\cos 2x \le \frac{{11}}{2}\),

Do đó \( - 4 = \frac{3}{2} - \frac{{11}}{2} \le \frac{3}{2} + \frac{{11}}{2}\cos 2x \le \frac{3}{2} + \frac{{11}}{2} = 7\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 7, đạt được khi:

\(\cos 2x = 1 \Leftrightarrow 2x = k2\pi  \)

\(\Leftrightarrow x = k\pi \,\,(k \in \mathbb{Z})\).

Và giá trị nhỏ nhất của hàm số là -4 đạt được khi:

\(\cos 2x =  - 1 \Leftrightarrow 2x = \pi  + k2\pi \)

\(\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,(k \in \mathbb{Z})\).

d) Ta có \(y = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\).

Vì \( - 1 \le \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1\) nên \( - \sqrt 2  \le \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 2 \) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là \(\sqrt 2 \), đạt được khi:

\(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1 \Rightarrow x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + k2\pi\)

\(  \Rightarrow x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \).

Và giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( - \sqrt 2 \), đạt được khi:

\(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) =  - 1 \Rightarrow x + \frac{\pi }{4} =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi \)

\(\Rightarrow x =  - \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \).

Giải bài 1.18 trang 18 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

a) ;                                                                 

b) ;

c) ;                                                                        

d) .

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: .

Nếu kí hiệu thì với mọi , ta có:

và

.

Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.

b) Tập xác định:

Nếu kí hiệu thì với mọi , ta có:

và .

Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.

c) Tập xác định:

Nếu kí hiệu thì với mọi, ta có:

và

.

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

d) Tập xác định:

Nếu kí hiệu thì với mọi , ta có:

và

.

Mà , do đó:

.

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

Giải bài 1.19 trang 18 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Xét tính tuần hoàn của các hàm số sau:

a) với A > 0;                          

b) với A > 0;

c) ;                                                    

d) .

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: .

Nếu kí hiệu thì với mọi , ta có

và

Vậy hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn. Chu kì của hàm số này là .

b) Nếu kí hiệu D là tập xác định của hàm số thì với mọi , ta có

và

Vậy hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn. Chu kì của hàm số này là .

c) Ta có

Theo như câu a, hàm số là hàm số tuần hoàn có chu kì .

d) Ta có:

Theo như câu a, hàm số là hàm số tuần hoàn có chu kì .

Giải bài 1.20 trang 18 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Với giá trị nào của x, mỗi đẳng thức sau đúng?

a) ;                                        

b) ;

c) ;           

d) .

Lời giải chi tiết

a) Đẳng thức đúng với mọi x khi và có nghĩa, tức là:

b) Đẳng thức đúng với mọi x khi , tức là

c) Đẳng thức đúng với mọi x khi , tức là:

d) Đẳng thức đúng với mọi x khi

Giải bài 1.21 trang 18 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Từ đồ thị hàm số , hãy vẽ các đồ thị hàm số sau:

a) ;                                  

b) ;

c) ;                                

d) .

Lời giải chi tiết

a) Lấy đối xứng đồ thị hàm số qua trục hoành, ta được đồ thị hàm số .

Trong hình trên, đồ thị hàm số là đường nét đứt còn đồ thị hàm số là đường nét liền.

b) Ta có

Từ đó, để vẽ đồ thị hàm số ta vẽ đồ thị hàm số ở phía trên trục Ox và lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị hàm số ở phía dưới trục Ox. Trong hình trên, đồ thị hàm số là đường nét đứt còn đồ thị hàm số là đường nét liền.

c) Để vẽ hàm số đầu tiên ta vẽ hàm số , sau đó dịch chuyển đồ thị này dọc theo trục Oy lên phía trên 1 đơn vị, ta được đồ thị hàm số. Trong hình dưới đây, đồ thị hàm số là đường nét liền.

d) Để vẽ hàm số đầu tiên ta vẽ hàm số , sau đó dịch chuyển đồ thị này dọc theo trục Ox sang bên trái đơn vị, ta được đồ thị hàm số. Trong hình dưới đây, đồ thị hàm số là đường nét liền.

Giải bài 1.22 trang 18 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Từ đồ thị hàm số , hãy xác định các giá trị của x trên đoạn sao cho:           

a) ;                       

b) .

Lời giải chi tiết

a) Trên đoạn đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 4 điểm . Suy ra phương trình có  4 nghiệm trên đoạn là .

b) Giải bất phương trình , ta tìm những khoảng của x trên đoạn  mà đồ thị nằm phía trên trục Ox. Từ đó, ta được tập nghiệm của bất phương trình trên đoạn là

.

Giải bài 1.23 trang 18 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Một con lắc lò xo dạo động điều hòa quanh vị trí cân bằng theo phương trình  ở đó y được tính bằng centimet còn thời gian t được tính bằng giây.

a) Tìm chu kì dao động của con lắc lò xo.

b) Tìm tần số dao động của con lắc, tức là số lần dao động trong một giây.

c) Tìm khoảng cách giữa điểm cao nhất và điểm thấp nhất của con lắc.

Lời giải chi tiết

a) Hàm số tuần hoàn với chu kì . Suy ra chu kì dao động của con lắc lò xo (tức là khoảng thời gian để con lắc thực hiện được một dao động toàn phần) là (giây).

b) Vì chu kì dao động của con lắc là (giây) nên trong 1 giây con lắc thực hiện được 2 dao động, tức là tần số dao động của con lắc là .

c) Vì phương trình dao động của con lắc là , nên biên độ dao động của nó là A=25cm. Từ đó, khoảng cách giữa điểm cao nhất và điểm thấp nhất của con lắc là 2A=50cm.

Giải bài 1.24 trang 19 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Hằng ngày, Mặt trời chiếu sáng, bóng của một tòa chung cư cao 40m in trên mặt đất, độ dài bóng của tòa nhà này được tính bằng công thức

$S\left(t\right)=40\left|\cot \frac{\pi }{12}t\right|$,

Ở đó S được tính bằng mét, còn t là số giờ tính từ 6 giờ sáng.

a) Tính độ dài bóng của tòa nhà tại các thời điểm 8 giờ sáng, 12 giờ trưa, 2 giờ chiều và 5 giờ 45 phút chiều.

b) Tại thời điểm nào thì độ dài bóng của tòa nhà bằng chiều cao tòa nhà?

c) Bóng tòa nhà sẽ như thế nào khi thời gian tiến dần đến 6 giờ tối?

Lời giải chi tiết

a) Tại thời điểm 8 giờ sáng ta có . Vậy độ dài bóng của tòa nhà tại thời điểm 8 giờ sáng là

Tại thời điểm 12 giờ trưa ta có . Vậy độ dài bóng của tòa nhà tại thời điểm 12 giờ trưa là

Tại thời điểm 2 giờ chiều (14h) ta có . Vậy độ dài bóng của tòa nhà tại thời điểm 2 giờ chiều là

Tại thời điểm 5 giờ 45 chiều tối (17h45) ta có . Vậy độ dài bóng của tòa nhà tại thời điểm 2 giờ chiều là

b) Độ dài bóng của tòa nhà bằng chiều cao của tòa nhà khi

Vì nên  hoặc , tức là tại thời điểm 9 giờ sáng hoặc 3 giờ chiều thì bóng của tòa nhà dài bằng chiều cao của tòa nhà.

c) Khi thời gian tiến dần đến 6 giờ tối thì t tiến dần đến 12. Vì vậy , do đó . Như vậy, bóng của tòa nhà sẽ tiến ra vô cùng.