Bài 3. Hàm số mũ và hàm số lôgarit Toán 11 Cùng khám phá
Lý thuyết Hàm số mũ và hàm số logarit - SGK Toán 11 Cùng khám phá
A. Lý thuyết
1. Hàm số mũ
a) Định nghĩa
| Cho a là một số thực dương và khác 1. Hàm số \(y = {a^x}\) được gọi là hàm số mũ cơ số a. |
Lưu ý:
- Hàm số \(y = {a^x}\) \((a > 0,a \ne 1)\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\) và tập giá trị là \((0; + \infty )\).
- Hàm số \(y = {a^x}\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
- Với a = 1 thì \({1^x} = 1\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
b) Đồ thị của hàm số \(y = {a^x}\) \((a > 0,a \ne 1)\)
|
Hàm số mũ \(y = {a^x}\) \((a > 0,a \ne 1)\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\) và tập giá trị là \((0; + \infty )\). Hàm số \(y = {a^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi a > 1 và nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) khi 0 < a < 1. Với a > 1 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {a^x} = 0\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {a^x} = + \infty \). Với 0 < a < 1 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {a^x} = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {a^x} = 0\). Đồ thị (C) của hàm số \(y = {a^x}\) luôn nằm phía trên trục hoành, luôn đi qua các điểm (0;1) và (1;a). |
2. Hàm số logarit
a) Định nghĩa
| Cho số thực dương a khác 1. Hàm số \(y = {\log _a}x\) được gọi là hàm số logarit cơ số a. |
Lưu ý:
- Hàm số \(y = {\log _a}x\) có tập xác định là \(D = (0; + \infty )\) và tập giá trị là \(\mathbb{R}\).
- Hàm số \(y = {\log _a}x\) liên tục trên khoảng \(D = (0; + \infty )\).
- Hàm số \(y = {\log _a}(u(x))\) \((a > 0,a \ne 1)\) xác định khi và chỉ khi u(x) xác định và u(x) > 0.
b) Đồ thị của hàm số logarit \(y = {\log _a}(u(x))\) \((a > 0,a \ne 1)\)
|
Hàm số logarit \(y = {\log _a}x\) \((a > 0,a \ne 1)\) có tập xác định là \((0; + \infty )\) và tập giá trị là \(\mathbb{R}\). Hàm số \(y = {\log _a}x\) đồng biến trên \((0; + \infty )\) khi a > 1 và nghịch biến trên \((0; + \infty )\) khi 0 < a < 1. Với a > 1 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} ({\log _a}x) = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ({\log _a}x) = + \infty \). Với 0 < a < 1 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} ({\log _a}x) = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ({\log _a}x) = - \infty \). Đồ thị (C) của hàm số \(y = {\log _a}x\) luôn nằm phía bên phải trục tung, luôn đi qua các điểm (1;0) và (a;1). |
B. Bài tập
Bài 1: Hàm số nào sau đây là hàm số mũ? Tìm cơ số của hàm số mũ đó.
a) \(y = {2^x}\).
b) \(y = {(\sqrt 2 - 1)^x}\).
c) \(y = {e^x}\).
d) \(y = {x^e}\).
Giải:
a) Hàm số \(y = {2^x}\) là hàm số mũ với cơ số bằng 2.
b) Hàm số \(y = {(\sqrt 2 - 1)^x}\) là hàm số mũ với cơ số bằng \(\sqrt 2 - 1\).
c) Hàm số \(y = {e^x}\) là hàm số mũ với cơ số bằng e.
d) Hàm số \(y = {x^e}\) không phải là hàm số mũ vì cơ số không phải hằng số.
Bài 2: Tìm hàm số mũ \(f(x) = {a^x}\) mà dồ thị của nó được cho bên dưới:
a)
b)
Giải:
a) Vì \(f(x) = {a^2} = 16\) nên a = 4. Do đó \(f(x) = {4^x}\).
b) Vì \(f(x) = {a^2} = \frac{1}{4}\) nên \(a = \frac{1}{2}\). Do đó \(f(x) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\).
Bài 3: Xác định cơ số của các hàm số logarit sau:
a) \(y = {\log _3}x\).
b) \(y = \ln x\).
c) \(y = \log x\).
Giải:
a) Hàm số \(y = {\log _3}x\) có cơ số bằng 3.
b) Hàm số \(y = \ln x\) có cơ số bằng e.
c) Hàm số \(y = \log x\) có cơ số bằng 10.
Bài 4: Tìm hàm số logarit \(f(x) = {\log _a}x\) mà đồ thị của nó được cho bên dưới:
a)
b)
Giải:
a) Vì f(5) = 1 nên \({\log _a}5 = 1 \Leftrightarrow a = 5\). Do đó \(f(x) = {\log _5}x\).
b) Vì f(3) = -1 nên \({\log _a}3 = - 1 \Leftrightarrow a = \frac{1}{3}\). Do đó \(f(x) = {\log _{\frac{1}{3}}}x\).
Giải mục 1 trang 14, 15 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá
Hoạt động 1
Cho biểu thức \(y = {2^x}\), trong đó x là một số thực lấy giá trị tùy ý.
a) Hãy tính giá trị của y tương ứng với mỗi giá trị của x được cho trong bảng sau:
b) Với mỗi giá trị của x, ta tính được bao nhiêu giá trị của y? y có phải là hàm số của x không? Vì sao?
c) Biểu thức \(y = {\left( { - 3} \right)^x}\) có xác định một hàm số khi x lấy giá trị trong tập số thực \(\mathbb{R}\) không? Vì sao?
Phương pháp giải:
a) Thay x = 3; 0,5; \( - \frac{3}{7}\); \(\sqrt 2 \); \( - \sqrt 3 \) vào biểu thức \(y = {2^x}\).
b) Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x gọi là biến số.
c) Khi số mũ nằm trong khoảng (0;1) thì cơ số không thể âm.
Lời giải chi tiết:
a)
b) Với mỗi giá trị của x chỉ tính được một giá trị của y. y là hàm số của x vì mỗi một giá trị của x thì ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y.
c) Biểu thức \(y = {\left( { - 3} \right)^x}\) không xác định một hàm số khi x lấy giá trị trong tập số thực \(\mathbb{R}\). Vì khi \(x = \frac{1}{2}\), ta có: \({\left( { - 3} \right)^{\frac{1}{2}}} = \sqrt { - 3} \) (Vô lí)
Luyện tập 1
Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số mũ, với cơ số bao nhiêu? Vì sao?
a) \(y = {3^{2x}}\)
b) \(y = {\left( { - \pi } \right)^x}\)
c) \(y = {x^{ - 4}}\)
d) \(y = {4^{ - x}}\)
Phương pháp giải:
Hàm số \(y = {a^x}\) được gọi là hàm số mũ cơ số a với a là một số thực dương khác 1.
Lời giải chi tiết:
a) \(y = {3^{2x}}\) là hàm số mũ với cơ số bằng 3.
b) \(y = {\left( { - \pi } \right)^x}\) là hàm số mũ với cơ số bằng \(\pi \).
c) \(y = {x^{ - 4}}\) không là hàm số mũ vì cơ số không phải hằng số.
d) \(y = {4^{ - x}}\) là hàm số mũ với cơ số bằng 4.
Hoạt động 2
Cho hàm số \(y = {2^x}\) có đồ thị là (C1) và hàm số \(y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\) có đồ thị (C2).
a) Hoàn thành bảng giá trị sau và biểu diễn trong mặt phẳng Oxy:
b) Vẽ đường cong nối các điểm thuộc (C1) (Theo thứ tự hoành độ tăng dần) và một đường cong khác nối các điểm thuộc (C2) (Theo thứ tự hoành độ tăng dần).
Phương pháp giải:
Thay x = -3, -2,… , 3 vào \(y = {2^x}\) và \(y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\)
Lời giải chi tiết:
a,
b)
Luyện tập 2
Đồ thị Hình 6.8 cho thấy số lượng hươu cao cổ trên thế giới suy giảm nghiêm trọng trong 30 năm qua (từ năm 1985 đến 2015) (nguồn: https://tuoitre.vn/huou-cao-co-sap-vao-danh-sach-loai-gap-nguy-hiem-20190428162017473.htm). Giả sử rằng số lượng hươu ở đây giảm theo hàm số \(n\left( t \right) = C.{a^t}\).
a) Tìm số lượng hươu vào năm 1985.
b) Tìm hàm số biểu diễn số lượng hươu sau t năm kể từ năm 1985.
c) Dự đoán số lượng hươu vào năm 2025.
Phương pháp giải:
a) Năm 1985 là t = 0, quan sát đồ thị khi t = 0 thì n bằng bao nhiêu.
b) Số lượng hươu mỗi năm là số lượng hươu năm 1985 trừ đi số lượng hươu giảm được tính theo hàm số \(n\left( t \right) = C.{a^t}\).
c) Kể từ năm 1985 đến 2025 là 40 năm nên t = 40. Thay t = 40 vào hàm số ở phần b.
Lời giải chi tiết:
a) Số lượng hươu năm 1985 là 152 nghìn con.
b) Ta có: \(C.{a^0} = n\left( 0 \right) \Leftrightarrow C = 152\)
\(\begin{array}{l}C.{a^{30}} = n\left( {30} \right)\\ \Leftrightarrow 152.{a^{30}} = 97,5\\ \Leftrightarrow {a^{30}} = \frac{{195}}{{304}}\\ \Leftrightarrow a = \sqrt[{30}]{{\frac{{195}}{{304}}}}\end{array}\)
\( \Rightarrow n\left( t \right) = 152.{\left( {\sqrt[{30}]{{\frac{{195}}{{304}}}}} \right)^t}\)
Hàm số biểu diễn lượng hươu sau t năm kể từ năm 1985 là: \(H\left( t \right) = 152 - 152.{\left( {\sqrt[{30}]{{\frac{{195}}{{304}}}}} \right)^t}\)
c) Kể từ năm 1985 đến 2025 là 40 năm nên t = 40
Số lượng hươu vào năm 2025 là: \(H\left( {40} \right) = 152 - 152.{\left( {\sqrt[{30}]{{\frac{{195}}{{304}}}}} \right)^{40}} \approx 67,914\) (nghìn con)
Giải mục 2 trang 17, 18, 19 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá
Câu 1
Một thí nghiệm cho thấy trong điều kiện môi trường sống lí tưởng và thức ăn dồi dào thì số lượng của một đàn chuột sẽ gấp đôi sau 55 ngày (nguồn: https://baotintuc.vn/ho-so/ky-la-thi-nghiem-xay-dung-xa-hoi-khong-tuong-cho-chuot-20181226104302132.htm).
Giả sử lúc đầu, đàn chuột có 100 con. Như vậy, sau thời gian t ngày, số lượng chuột là \(P = {100.2^{\frac{t}{{55}}}}\) con.
a) Mất bao lâu để đàn chuột đạt số lượng 2 000 con?
b) Tìm một hàm số t theo P để xác định thời gian t mà số lượng chuột đạt tới P (nếu có).
Phương pháp giải:
Thay P = 2000 vào \(P = {100.2^{\frac{t}{{55}}}}\). Tìm t.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có:
\(\begin{array}{l}{100.2^{\frac{t}{{55}}}} = 2000\\ \Leftrightarrow {2^{\frac{t}{{55}}}} = 20\\ \Leftrightarrow \frac{t}{{55}} = {\log _2}20\\ \Leftrightarrow t = 55.{\log _2}20\\ \Leftrightarrow t \approx 237,71\end{array}\)
b)
\(\begin{array}{l}P = {100.2^{\frac{t}{{55}}}}\\ \Leftrightarrow \frac{P}{{100}} = {2^{\frac{t}{{55}}}}\\ \Leftrightarrow \frac{t}{{55}} = {\log _2}\frac{P}{{100}}\\ \Leftrightarrow t = 55.{\log _2}\frac{P}{{100}}\end{array}\)
Vậy hàm số t theo P để xác định thời gian t mà số lượng chuột đạt tới P là: \(t = 55.{\log _2}\frac{P}{{100}}\)
Luyện tập 3
Tìm tập xác định của hàm số sau:
a) \(y = \log \left( {2x - 3} \right)\)
b) \(y = 2 + {\log _{0,5}}\left( {{x^2} - 1} \right)\)
c) \(y = \ln \frac{{3x + 2}}{{1 - x}}\)
Phương pháp giải:
Hàm số \(y = {\log _a}\left( {u\left( x \right)} \right)\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) xác định khi \(u\left( x \right) > 0\).
Lời giải chi tiết:
a) \(y = \log \left( {2x - 3} \right)\) xác định khi \(2x - 3 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{3}{2}\)
Vậy \(D = \left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\)
b) \(y = 2 + {\log _{0,5}}\left( {{x^2} - 1} \right)\) xác định khi \({x^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow {x^2} > 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 1\\x < - 1\end{array} \right.\)
Vậy \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)
c) \(y = \ln \frac{{3x + 2}}{{1 - x}}\) xác định khi \(\frac{{3x + 2}}{{1 - x}} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}3x + 2 > 0\\1 - x > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}3x + 2 < 0\\1 - x < 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > - \frac{2}{3}\\x < 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < - \frac{2}{3}\\x > 1\end{array} \right.\,{\rm{(L)}}\end{array} \right.\)
Vậy \(D = \left( {\frac{{ - 2}}{3};1} \right)\)
Hoạt động 4
Cho hàm số \(y = {\log _2}x\) có đồ thị là (C1) và hàm số \(y = {\log _{0,5}}x\) có đồ thị (C2).
a) Hoàn thành bảng giá trị sau và biểu diễn trên hệ trục Oxy.
b) Vẽ đường cong nối các điểm thuộc (C1) (theo thứ tự hoành độ tăng dần) và một đường cong khác nối các điểm thuộc (C2) (theo thứ tự hoành độ tăng dần).
Phương pháp giải:
Thay lần lượt các giá trị của x vào hàm số.
Lời giải chi tiết:
a,
b,
Luyện tập 4
Hàm số \(y = {\log _a}x\) và \(y = {\log _b}x\) có đồ thị như Hình 6.13. Đường thẳng y = 4 cắt hai đồ thị tại các điểm có hoành độ x1, x2. Biết rằng x1 = 2x2. Tính giá trị của \(\frac{a}{b}\).
Phương pháp giải:
Thay y = 4 vào 2 hàm số. Áp dụng: \({\log _a}b = c \Leftrightarrow {a^c} = b\) để tính a, b lần lượt theo \({x_1},{x_2}\).
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}{\log _a}{x_1} = 4\\ \Leftrightarrow {a^4} = {x_1}\\ \Leftrightarrow {a^4} = 2{x_2}\\ \Leftrightarrow a = {\left( {2{x_2}} \right)^{\frac{1}{4}}}\end{array}\)
\(\begin{array}{l}{\log _b}{x_2} = 4\\ \Leftrightarrow {b^4} = {x_2}\\ \Leftrightarrow b = {\left( {{x_2}} \right)^{\frac{1}{4}}}\end{array}\)
\( \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{{{{\left( {2{x_2}} \right)}^{\frac{1}{4}}}}}{{{{\left( {{x_2}} \right)}^{\frac{1}{4}}}}} = {2^{\frac{1}{4}}}\)
Bài 6.10 trang 19 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá
Đề bài
Tìm hàm số \(y = C.{a^x}\) mà đồ thị của nó được biểu diễn dưới đây:
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Đồ thị đi qua 2 điểm A(a; b), B (c; d). Thay tọa độ các điểm vào hàm số để tìm C, a.
Lời giải chi tiết
a) Đồ thị hàm số với a >1, đi qua 2 điểm (1; 6) và (3; 24). Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}C.{a^1} = 6\\C.{a^3} = 24\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C.a = 6\\C.{a^3} = 24\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C.a = 6\\{a^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}a = 2\\a = - 2\,\left( {\rm{L}} \right)\end{array} \right.\\C.a = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\C = 3\end{array} \right.\)
Vậy hàm số cần tìm là \(y = {3.2^x}\).
b) Đồ thị hàm số với 0 < a < 1, đi qua 2 điểm \(\left( {2;\frac{2}{9}} \right)\) và \(\left( {0;2} \right)\). Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}C.{a^2} = \frac{2}{9}\\C.{a^0} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C.{a^2} = \frac{2}{9}\\C = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = \frac{1}{9}\\C = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}a = \frac{1}{3}\\a = - \frac{1}{3}\left( {\rm{L}} \right)\end{array} \right.\\C = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{3}\\C = 2\end{array} \right.\)
Vậy hàm số cần tìm là \(y = 2.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}\)
Bài 6.11 trang 19 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá
Đề bài
Cho đồ thị của hai hàm số \(y = {\log _a}x\); \(y = {\log _b}x\) lần lượt là (C1) và (C2) (Hình 6.16). Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b, biết mọi đường thẳng song song với trục tung, cắt trục hoành, (C1), (C2) lần lượt tại H, A, B thì A là trung điểm của BH.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
A là trung điểm của BH nên \({y_B} = 2{y_A}\)
Theo đồ thị trên hình vẽ thì \({x_A} = {x_B} = {x_H}\)
Áp dụng: \({\log _a}b = c \Leftrightarrow {a^c} = b\).
Lời giải chi tiết
Gọi điểm \(H\left( {{x_H};0} \right)\), \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\), \(B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\)
A là trung điểm của BH nên \({y_B} = 2{y_A}\)
Theo đồ thị trên hình vẽ thì \({x_A} = {x_B} = {x_H}\)
Ta có điểm A thuộc (C1) nên \({y_A} = {\log _a}{x_A} \Leftrightarrow {a^{{y_A}}} = {x_A}\)
Điểm B thuộc (C2) nên \({y_B} = {\log _b}{x_B} \Leftrightarrow {b^{{y_B}}} = {x_B} \Leftrightarrow {b^{2{y_A}}} = {x_A}\)
\( \Rightarrow {\left( {{b^2}} \right)^{{y_A}}} = {a^{{y_A}}} \Leftrightarrow {b^2} = a\)
Bài 6.12 trang 19 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá
Đề bài
Cho a, b, c là các số thực dương và khác 1. So sánh a, b, c và 1 trong mỗi trường hợp sau:
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Hàm số \(y = {\log _a}x\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) khi a > 1 và nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) khi 0 < a < 1.
b) Hàm số \(y = {a^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi a > 1 và nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) khi 0 < a < 1.
Lời giải chi tiết
a) Ta thấy hàm số \(y = {\log _a}x\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên a > 1
Ta thấy hàm số \(y = {\log _b}x\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) 0 < b < 1
Ta thấy hàm số \(y = {\log _c}x\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) c > 1
b) Ta thấy hàm số \(y = {a^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nên a > 1
Ta thấy hàm số \(y = {b^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nên b > 1
Ta thấy hàm số \(y = {c^x}\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) nên 0 < c < 1
Bài 6.13 trang 19 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá
Đề bài
Lúc đầu trong ao có một số con ếch. Người ta ghi nhận số lượng ếch trong 5 năm đầu như Hình 6.19. Giả sử số lượng ếch tăng theo hàm số \(n\left( t \right) = C.{a^t}\).
a) Tính số lượng ếch lúc ban đầu.
b) Tìm hàm số biểu diễn số lượng ếch sau t năm kể từ khi chúng xuất hiện trong ao.
c) Dự đoán số lượng ếch sau 15 năm.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Số lượng ếch ban đầu là n khi t = 0.
b) Dựa vào các điểm thuộc đồ thị để tìm C, a.
Số lượng ếch mỗi năm bằng số lượng ếch ban đầu cộng với số lượng ếch tăng theo hàm số \(n\left( t \right) = C.{a^t}\).
c) Thay t = 15 vào hàm số tìm được ở phần b.
Lời giải chi tiết
a) Số lượng ếch ban đầu là 100 con.
b) Đồ thị hàm số đi qua 2 điểm (0; 100) và (2; 196). Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}C.{a^0} = 100\\C.{a^2} = 196\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C = 100\\{a^2} = 1,96\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C = 100\\a = 1,4\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow n\left( t \right) = 100.1,{4^t}\)
Vậy hàm số biểu diễn số lượng ếch sau t năm kể từ khi chúng xuất hiện trong ao là:
\(H\left( t \right) = 100 + 100.1,{4^t}\)
c) \(H\left( {15} \right) = 100 + 100.1,{4^{15}} \approx 15656\) (con).
Luyện trắc nghiệm Toán lớp 1 Lớp LOP11
Học đi đôi với hành! Làm ngay các bộ đề trắc nghiệm chấm điểm tức thì, có đáp án chi tiết giúp ghi nhớ kiến thức sâu và chuẩn bị tốt cho các bài kiểm tra.
Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub
Tải ứng dụng Tri Thức Hub trên điện thoại hoặc máy tính bảng (hỗ trợ Android & iOS) để làm bài kiểm tra, luyện tập và lưu tiến độ học tập!