Bài 3. Hệ trục tọa độ trong không gian - Toán 12 Cùng khám phá

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 66 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Làm thế nào để định vị một đối tượng trong một nhà kho lớn?

Bác Quản là thủ kho vật liệu của nhà máy. Trong kho có nhiều giá xếp hàng, được xếp song song với một bức tường như Hình 2.28.

Nhà kho rất lớn nên để dễ dàng tìm các thùng hàng, bác dùng ba số để ghi chép vị trí của chúng theo quy ước:

Số thứ nhất cho biết thùng hàng nằm ở giá nào (các giá được đánh số theo thứ tự từ trái sang phải, theo mũi tên 𝑂𝑦);

Số thứ

hai cho biết thùng hàng nằm ở ngăn thứ mấy của giá (các ngăn của mỗi giá được đánh số thứ tự từ bờ tường phía trong ra ngoài, theo mũi tên 𝑂𝑥);

Số thứ ba cho biết thùng hàng nằm ở tầng nào (các tầng của mỗi giá được đánh số thứ tự từ thấp lên cao, theo mũi tên 𝑂𝑧).

a) Hôm nay, đúng ngày bác Quản nghỉ phép thì người ta lại muốn lấy thùng đựng đinh vít cho bộ phận lắp ráp sử dụng. Biết rằng trong sổ của bác Quản có ghi: "thùng đinh vít: 5; 3; 2". Hãy chỉ dẫn cho người trực kho lấy đúng thùng đinh vít.

b) Nếu bỏ đi một trong ba số này thì việc xác định vị trí của thùng đinh vít có thuận lợi không?

Phương pháp giải:

Dựa vào hệ tọa độ được quy ước trong kho, xác định vị trí của thùng đinh vít theo ba chỉ số 𝑦, 𝑥, và 𝑧.

Sử dụng các thông tin đã cho để xác định chính xác vị trí của thùng đinh vít.

Đánh giá sự cần thiết của từng chỉ số trong việc xác định vị trí của thùng.

Lời giải chi tiết:

a) Xác định vị trí của thùng đinh vít:

Chỉ số thứ nhất (5): Thùng đinh vít nằm ở giá số 5. Ta sẽ di chuyển từ trái sang phải dọc theo trục 𝑦 đến giá số 5.

Chỉ số thứ hai (3): Thùng đinh vít nằm ở ngăn số 3 của giá. Ta sẽ di chuyển từ bức tường phía trong ra ngoài dọc theo trục 𝑥 đến ngăn thứ 3.

Chỉ số thứ ba (2): Thùng đinh vít nằm ở tầng số 2 của giá. Ta sẽ di chuyển từ tầng thấp nhất lên tầng thứ 2 dọc theo trục 𝑧.

Vì vậy, để lấy thùng đinh vít, người trực kho cần di chuyển đến giá thứ 5 (theo trục 𝑦), tìm ngăn thứ 3 (theo trục 𝑥), và cuối cùng lấy thùng từ tầng thứ 2 (theo trục 𝑧).

b) Nếu bỏ đi một trong ba số này:

Nếu bỏ số chỉ giá (thứ 1): Việc xác định giá chứa thùng đinh vít sẽ rất khó khăn vì sẽ có nhiều giá hàng khác nhau, và việc tìm kiếm sẽ mất thời gian hơn.

Nếu bỏ số chỉ ngăn (thứ 2): Điều này cũng sẽ gây khó khăn tương tự, vì sẽ có nhiều ngăn khác nhau trên cùng một giá, việc xác định ngăn chứa thùng sẽ không còn chính xác.

Nếu bỏ số chỉ tầng (thứ 3): Nếu bỏ qua chỉ số tầng, ta sẽ không biết thùng đinh vít nằm ở tầng nào, dẫn đến việc phải kiểm tra tất cả các tầng của ngăn đã xác định, làm mất thời gian và công sức.

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 68 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Một sân bóng chuyền với hệ tọa độ 𝑂𝑥𝑦𝑧 chọn như ở Hình 2.31. Về mặt kỹ thuật, khi dựng cột và căng lưới, người ta phải đảm bảo cho lưới nằm ở mặt phẳng tọa độ nào? Mặt phẳng đó có vuông góc với mặt sân không?

Phương pháp giải:

Dựa vào hình vẽ và mô tả, để xác định mặt phẳng chứa lưới.

Lời giải chi tiết:

Quan sát hình vẽ, ta thấy lưới bóng chuyền được căng dọc theo trục 𝑧, tức là mặt phẳng chứa lưới phải có dạng 𝑂𝑥𝑧. Như vậy, lưới nằm trên mặt phẳng 𝑂𝑥𝑧.

Mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦 là mặt phẳng chứa mặt sân, và trục 𝑧 là trục vuông góc với mặt sân.

Mặt phẳng 𝑂𝑥𝑧 vuông góc với mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦 tại đường thẳng giao nhau là trục 𝑂𝑥.

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 68 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho điểm \(M\) trong không gian Oxyz. Trong ba mặt phẳng tọa độ là ba lưới ô vuông có cạnh bằng đơn vị. Biết rằng \(MM' \bot (Oxy)\), \(MC \bot Oz\) và vị trí các điểm M’, A, B, C được cho như trong Hình 2.32.

a) Biểu diễn \(\overrightarrow {OM} \) theo hai vecto \(\overrightarrow {O{M^\prime }} \) và \(\overrightarrow {OC} \).

b) Biểu diễn \(\overrightarrow {O{M^\prime }} \) theo hai vecto đơn vị \(\vec \imath ,\vec \jmath \).

c) Biểu diễn \(\overrightarrow {OM} \) theo ba vectơ dơn vị \(\vec i,\vec j,\vec k\).

Phương pháp giải:

Sử dụng các định nghĩa, các quy tắc về vectơ trong không gian và mối quan hệ trực giao giữa các mặt phẳng tọa độ để biểu diễn các vectơ theo các vectơ đơn vị.

Lời giải chi tiết:

a) Biểu diễn \(\overrightarrow {OM} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {OM'} \) và \(\overrightarrow {OC} \):

Do \(MM' \bot (Oxy)\), \(MC \bot Oz\) nên OCMM’  là hình chữ nhật.

Áp dụng quy tắc hình bình hành vào hình chữ nhật OCMM’, ta có:

\(\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {OM'}  + \overrightarrow {OC} \)

b) Biểu diễn \(\overrightarrow {OM'} \) theo hai vectơ đơn vị \(\vec i,\vec j\):

Áp dụng quy tắc hình bình hành vào hình chữ nhật OAM’B, ta có:

\(\overrightarrow {OM'}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} \)

Mà \(\overrightarrow {OA}  = 2\overrightarrow i ,\overrightarrow {OB}  = 4\overrightarrow j \) nên:

\(\overrightarrow {OM'}  = 2\overrightarrow i  + 4\overrightarrow j \)

c) Biểu diễn \(\overrightarrow {OM} \) theo ba vectơ đơn vị \(\vec i,\vec j,\vec k\):

Từ câu a, b ta có:

\(\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {OM'}  + \overrightarrow {OC} \) và \(\overrightarrow {OM'}  = 2\overrightarrow i  + 4\overrightarrow j \)

Lại có \(\overrightarrow {OC}  = 4\overrightarrow k \) nên:

\(\overrightarrow {OM}  = 2\vec i + 4\vec j + 4\vec k\)

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 69 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;0;9), B(6;1;0) và C(0;0;1). Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Tìm toạ độ điểm G.

Phương pháp giải:

Trọng tâm của tam giác là trung bình cộng tọa độ của ba đỉnh của tam giác. Nếu các đỉnh của tam giác là \(A({x_1},{y_1},{z_1})\), \(B({x_2},{y_2},{z_2})\), và \(C({x_3},{y_3},{z_3})\), tọa độ của trọng tâm G được tính bằng:

\(G\left( {\frac{{{x_1} + {x_2} + {x_3}}}{3},\frac{{{y_1} + {y_2} + {y_3}}}{3},\frac{{{z_1} + {z_2} + {z_3}}}{3}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Toạ độ của điểm trọng tâm G là trung bình cộng của toạ độ các điểm A, B, C.

\({x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{{1 + 6 + 0}}{3} = \frac{7}{3}\)

\({y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{{0 + 1 + 0}}{3} = \frac{1}{3}\)

\({z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3} = \frac{{9 + 0 + 1}}{3} = \frac{{10}}{3}\)

Toạ độ của trọng tâm G là: \(G\left( {\frac{7}{3},\frac{1}{3},\frac{{10}}{3}} \right)\)

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 70 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đỉnh A trùng với gốc O, có \[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AA'} \] theo thứ  tự cùng hướng với các vectơ đơn vị \(\vec i,\vec j,\vec k\) và có \(AB = a,AD = b,AA' = c\). Gọi M là trung điểm cạnh CC’. Hãy xác định toạ độ các điểm B, C, C’ và M.

Phương pháp giải:

Xác định tọa độ điểm cơ bản: Sử dụng các vectơ đơn vị để xác định tọa độ của các điểm quan trọng trong không gian.

Xác định tọa độ các điểm còn lại: Tính tọa độ của các điểm đối diện trong hình hộp dựa trên tọa độ của các điểm đã biết.

Tính tọa độ trung điểm: Sử dụng công thức tính trung điểm để tìm tọa độ của điểm trung gian trên cạnh.

Lời giải chi tiết:

- Xác định tọa độ các điểm cơ bản:

Tọa độ của điểm A là (0, 0, 0) vì A trùng với gốc tọa độ O.

Tọa độ của điểm B: Điểm B nằm cách điểm A một đoạn a theo hướng của vector đơn vị \(\vec i\). Vì vậy, tọa độ của B là (a, 0, 0).

Tọa độ của điểm D: Điểm D nằm cách điểm A một đoạn b theo hướng của vector đơn vị \(\vec j\). Vì vậy, tọa độ của D là (0, b, 0).

Tọa độ của điểm A': Điểm A' nằm cách điểm A một đoạn c theo hướng của vector đơn vị \(\vec k\). Vì vậy, tọa độ của A' là (0, 0, c).

- Xác định tọa độ các điểm còn lại:

Tọa độ của điểm C: Điểm C nằm đối diện với điểm A trong hình hộp và nằm trên mặt phẳng chứa B và D. Vì vậy, tọa độ của C là (a, b, 0).

Tọa độ của điểm C': Điểm C' nằm đối diện với điểm A' trong hình hộp và nằm trên mặt phẳng chứa B' và D'. Vì vậy, tọa độ của C' là (a, b, c).

Trung điểm của đoạn thẳng CC' có tọa độ trung bình của tọa độ C và C'. Tọa độ của C là (a, b, 0) và tọa độ của C' là (a, b, c). Do đó, tọa độ của M là:

\(M = \left( {\frac{{a + a}}{2},\frac{{b + b}}{2},\frac{{0 + c}}{2}} \right) = (a,b,\frac{c}{2})\)

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 70 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong không gian Oxyz, cho vectơ .

a) Xác định điểm M sao cho .

b) Gọi là toạ độ của điểm M. Hãy biểu diễn theo ba vectơ đơn vị .

Phương pháp giải:

- Giả sử vectơ có tọa độ . Điểm cần tìm sẽ có tọa độ để thỏa mãn .

- Biểu diễn của sẽ giống như biểu diễn .

Lời giải chi tiết:

a) Xác định điểm M:

- Vector là vector có điểm đầu tại gốc tọa độ và điểm cuối tại điểm . Do đó, có dạng:

- Nếu , thì tọa độ của điểm M chính là các thành phần của vector . Giả sử vector có dạng , thì:

- Như vậy, điểm M có tọa độ

b) Biểu diễn theo các vector đơn vị

- Gọi là tọa độ của điểm M. Như đã phân tích ở phần a, vector có dạng:

- Do , ta có:

- Như vậy vector có thể biểu diễn theo các vector đơn vị dưới dạng:

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 71 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ . Tìm toạ độ của .

Phương pháp giải:

Tính toán các thành phần của vectơ đã cho rồi cộng chúng lại.

Lời giải chi tiết:

Tính toán từng vectơ thành phần của :

Cộng các vectơ thành phần để tìm tọa độ của :

.

Tọa độ của là:

Vậy, tọa độ của vectơ là .

HĐ4

Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 71 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm và (Hình 2.36).

a) Biểu diễn qua các vectơ và .

b) Biểu diễn mỗi vectơ , qua các vectơ đơn vị , , .

c) Chứng minh rằng .

Phương pháp giải:

- Sử dụng định nghĩa và tính chất của vectơ trong không gian.

- Sử dụng biểu thức của vectơ trong hệ tọa độ Oxyz qua các vectơ đơn vị , ,.

Lời giải chi tiết:

a) Biểu diễn qua các vectơ và :

Ta có:

b) Biểu diễn mỗi vectơ , qua các vectơ đơn vị , , :

Với các tọa độ đã cho:

c) Chứng minh rằng :

Dùng kết quả của phần (a) và (b):

Kết quả:

LT5

Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 72 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.EFGH có A(1; 0; -1), B(2; 1; 3) và H(4; 3; 4) (Hình 2.38).

a) Tìm tọa độ của đỉnh G.

b) Tìm tọa độ của .

Phương pháp giải:

- Sử dụng các tính chất của hình hộp chữ nhật trong không gian, đặc biệt là các quy tắc liên quan đến tọa độ của các đỉnh dựa trên tính chất đối xứng và các đường chéo.

- Áp dụng công thức sau để tính toạ độ vectơ trong không gian.

Lời giải chi tiết:

a) Tìm toạ độ của điểm G

Vì ABCD.EFGH là một hình hộp, nên G là đỉnh đối diện với A và .

Mà nên suy ra

Do đó, tọa độ của G được tính bằng cách lấy toạ độ của vectơ cộng tọa độ của điểm H hay nói cách khác là lấy toạ độ của điểm B cộng với tọa độ của điểm H trừ đi tọa độ của điểm A:

Tính toán cụ thể:

Vậy tọa độ của điểm là .

b) Tìm tọa độ của :

Tọa độ của vectơ được tính bằng tọa độ của G trừ tọa độ của A:

Thay các giá trị đã biết:

Vậy tọa độ của là .

VD

Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 72 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong không gian ,một vật đi từ điểm đến điểm rồi tiếp tục đi đến điểm . Tìm vectơ biểu thị độ dịch chuyển của vật khi:

a) Vật đi từ điểm đến điểm ;

b) Vật đi từ điểm đến điểm .

Phương pháp giải:

- Để tìm vectơ biểu thị độ dịch chuyển của vật, ta sử dụng công thức tính vectơ từ một điểm này đến một điểm khác trong không gian ba chiều.

- Vectơ độ dịch chuyển từ điểm đến điểm được tính bằng tọa độ điểm trừ đi tọa độ điểm .

- Tương tự, vectơ độ dịch chuyển từ điểm đến điểm được tính bằng tọa độ điểm trừ đi tọa độ điểm .

Lời giải chi tiết:

a) Vectơ độ dịch chuyển của vật khi đi từ đến :

Vectơ được tính bằng công thức:

Thay các giá trị đã biết: 

Vậy vectơ độ dịch chuyển từ đến là .

b) Vectơ độ dịch chuyển của vật khi đi từ đến :

Vectơ được tính bằng công thức:

Thay các giá trị đã biết: \(\overrightarrow {AC}  = (3 - 2; - 2 - 3; - 1 - 0) = (1; - 5; - 1)\)

Vậy vectơ độ dịch chuyển từ đến là .