Bài 3. Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản

LG a

Phương pháp giải:

Sử dụng:

Lời giải chi tiết:

LG b

Phương pháp giải:

Sử dụng:

Lời giải chi tiết:

LG c

Phương pháp giải:

Phương trình tích 

Lời giải chi tiết:

 trithuchub.com

LG a

Lời giải chi tiết:

Đặt , ta có:

LG b

Lời giải chi tiết:

Ta có:

LG c

Lời giải chi tiết:

 trithuchub.com

LG a

trên

Lời giải chi tiết:

Ta có:

Với thì do  nên:

Với  thì do  nên:

Vì k nguyên nên không có k thỏa mãn TH này.

Vậy phương trình có nghiệm gần đúng thỏa mãn là

LG b

trên

Lời giải chi tiết:

Với ta có:

Với ta có:

Do dó không có k trong TH này.

Vậy .

LG c

trên

Lời giải chi tiết:

Nghiệm gần đúng của phương trình trong khoảng là

LG d

trên

Lời giải chi tiết:

Với điều kiện đó, ta có :

Trong đó là số thực thuộc khoảng thỏa mãn bảng số hoặc máy tính cho ta . Vậy nghiệm gần đúng của phương trình là .

 trithuchub.com

LG a

Lời giải chi tiết:

Chia hai vế phương trình cho ta được :

LG b

Lời giải chi tiết:

Chia hai vế phương trình cho ta được :

LG c

Lời giải chi tiết:

Chia cả hai vế cho ta được :

Do nên ta chọn được số sao cho :

Ta có:

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. 

 trithuchub.com

LG a

Ở thời điểm nào trong 1 giây đầu tiên, vật ở vị trí cân bằng ?

Lời giải chi tiết:

Ta có:

trong đó số được chọn sao cho

Sử dụng bảng số hoặc máy tính bỏ túi, ta chọn được .

Vật ở vị trí cân bằng khi , nghĩa là

(với )

Ta cần tìm nguyên dương sao cho

Với , ta thu được , nghĩa là .

Vậy trong khoảng 1 giây đầu tiên, có hai thời điểm vật ở vị trí cân bằng là :

(giây) và (giây)

LG b

Ở thời điểm nào trong 1 giây đầu tiên, vật ở xa vị trí cân bằng nhất ?

(Tính chính xác đến giây).

Lời giải chi tiết:

Vật ở xa vị trí cân bằng nhất khi và chỉ khi nhận giá trị lớn nhất.

Điều đó xảy ra nếu . Ta có :

Ta tìm k nguyên dương sao cho

Với , ta thu được ; nghĩa là . Vậy trong khoảng 1 giây đầu tiên, có hai thời điểm vật ở xa vị trí cân bằng nhất là :

và

trithuchub.com

LG a

$a\sin x+b\cos x$ (a và b là hằng số, $a^2+b^2\ne 0$)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\begin{array}{cc}& a\sin x+b\cos x\\ & =\sqrt{a^2+b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x\right)\\ & =\sqrt{a^2+b^2}\left(\sin x\cos \alpha +\sin \alpha \cos x\right)\\ & =\sqrt{a^2+b^2}\sin \left(x+\alpha \right)\end{array}$

trong đó $\{\begin{array}{c}\cos \alpha =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ \sin \alpha =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{array}$

Vì $-1\le \sin \left(x+\alpha \right)\le 1$ nên:

$-\sqrt{a^2+b^2}\le \sqrt{a^2+b^2}\sin \left(x+\alpha \right)\le \sqrt{a^2+b^2}$

Do đó, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $a\sin x+b\cos x$ lần lượt  là :

$\sqrt{a^2+b^2}\text{và}-\sqrt{a^2+b^2}$

LG b

${\sin }^{2}x+\sin x\cos x+3{\cos }^{2}x;$

Lời giải chi tiết:

Ta có :

$\begin{array}{cc}& y={\sin }^{2}x+\sin x\cos x+3{\cos }^{2}x\\ & =\frac{1-\cos 2x}{2}+\frac{1}{2}\sin 2x+3.\frac{1+\cos 2x}{2}\\ & =\frac{1}{2}-\frac{\cos 2x}{2}+\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{3}{2}+\frac{3\cos 2x}{2}\\ & =\frac{1}{2}\sin 2x+\cos 2x+2\end{array}$

Ta có:

Do đó giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của lần lượt là :  

LG c

(A, B và C là hằng số).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

Ta có:

Vậy đạt giá trị lớn nhất là :

và giá trị nhỏ nhất là   

 trithuchub.com

LG a

Lời giải chi tiết:

Thay  vào phương trình ta được:

(vô lí)

Chia hai vế phương trình cho ta được :

Phương trình vô nghiệm nên phương trình đã cho vô nghiệm.

LG b

Lời giải chi tiết:

Thay  vào phương trình ta được:

(vô lí)

Chia hai vế phương trình cho ta được :

LG c

Lời giải chi tiết:

Thay  vào phương trình ta được:

(vô lí)

Chia hai vế phương trình cho  ta được :

 trithuchub.com

LG a

$\cos x\cos 5x=\cos 2x\cos 4x$

Lời giải chi tiết:

Ta có:

LG b

Lời giải chi tiết:

LG c

Lời giải chi tiết:

LG d

Lời giải chi tiết:

trithuchub.com

LG a

${\sin }^{2}4x+{\sin }^{2}3x={\sin }^{2}2x+{\sin }^{2}x$

Lời giải chi tiết:

LG b

Lời giải chi tiết:

Ta có:

trithuchub.com

LG a

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: 

Ta có:

(nhận)

LG b

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: 

Ta có:

Hiển nhiên thỏa mãn ĐKXĐ.

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là 

LG c

Lời giải chi tiết:

Đặt , với điều kiện .

Ta có: 

Do đó : 

Vậy ta có phương trình:

LG d

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ : Với điều kiện đó, ta có :

Vậy phương trình có nghiệm 

LG e

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ : và

Tuy nhiên chỉ cần là đủ (vì ).

Với điều kiện đó ta có :

Để là nghiệm, các giá trị này còn phải thỏa mãn điều kiện .

Ta có:

- Nếu chia hết cho 3, tức là () thì nên không thỏa mãn.

- Nếu không chia hết cho 3, tức là ()  thì :

(TM)

Vậy nghiệm của phương trình là với nguyên và không chia hết cho 3.

 trithuchub.com

LG a

Tìm các thời điểm trong vòng 2 giây đầu tiên mà người chơi đu ở xa vị trí cân bằng nhất.

Lời giải chi tiết:

Người chơi đu ở xa vị trí cân bằng nhất khi 

Ta có:

Ta cần tìm k nguyên để

Với thì

Với thì .

Vậy trong 2 giây đầu tiên, người chơi đu ở xa vị trí cân bằng nhất vào các thời điểm giây và 2 giây.

LG b

Tìm các thời điểm trong vòng 2 giây đầu tiên mà người chơi đu cách vị trí cân bằng 2 mét (tính chính xác đến

giây).

Lời giải chi tiết:

Người chơi đu cách vị trí cân bằng 2 mét khi 

Ta có:

Ta tìm k nguyên để

- Với ta có :

Với ta chọn

Khi đó suy ra và

- Với ta có :

Vì nên , suy ra

Với , ta có ; với , ta có

Kết luận : Trong khoảng 2 giây đầu tiên, có ba thời điểm mà người chơi đu cách vị trí cân bằng 2 mét, đó là giây; giây và giây.

 trithuchub.com

LG a

${\cos }^{2}x-3{\sin }^{2}x=0$

Phương pháp giải:

Hạ bậc giải phương trình, sử dụng công thức 

$\begin{array}{c}{\sin }^2\alpha =\frac{1-\cos 2x}{2}\\ {\cos }^2\alpha =\frac{1+\cos 2\alpha }{2}\end{array}$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{cc}& {\cos }^{2}x-3{\sin }^{2}x=0\\ & \iff \frac{1+\cos 2x}{2}-\frac{3\left(1-\cos 2x\right)}{2}=0\\ & \iff 1+\cos 2x-3+3\cos 2x=0\\ & \iff -2+4\cos 2x=0\\ & \iff \cos 2x=\frac{1}{2}\iff 2x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \\ & \iff x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi \end{array}$

LG b

${\left(\tan x+\cot x\right)}^2-\left(\tan x+\cot x\right)=2$

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ $t=\tan x+\cot x$.

Lời giải chi tiết:

Đặt $t=\tan x+\cot x$.

$\begin{array}{c}\Rightarrow t^2={\left(\tan x+\cot x\right)}^2\\ ={\tan }^{2}x+{\cot }^{2}x+2\tan x\cot x\\ \ge 2\tan x\cot x+2\tan x\cot x\\ =2.1+2.1\\ =4\\ \Rightarrow t^2\ge 4\iff [\begin{array}{c}t\ge 2\\ t\le -2\end{array}\end{array}$

Phương trình trở thành:

$\begin{array}{cc}& t^2-t=2\iff t^2-t-2=0\\ & \iff [\begin{array}{c}t=-1\left(\text{loại}\right)\\ t=2\end{array}\\ & t=2\iff \tan x+\cot x=2\\ & \iff \tan x+\frac{1}{\tan x}=2\\ & \iff {\tan }^{2}x-2\tan x+1=0\\ & \iff \tan x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi \end{array}$

LG c

$\sin x+{\sin }^2\frac{x}{2}=0,5$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{cc}& \sin x+{\sin }^2\frac{x}{2}=0,5\\ & \iff \sin x+\frac{1-\cos x}{2}=\frac{1}{2}\\ & \iff \sin x+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos x=\frac{1}{2}\\ & \iff \sin x=\frac{1}{2}\cos x\\ & \iff \frac{\sin x}{\cos x}=\frac{1}{2}\\ & \iff \tan x=\frac{1}{2}\iff x=\alpha +k\pi \\ & \text{trong đó}\tan \alpha =\frac{1}{2}\end{array}$

trithuchub.com

LG a

Lời giải chi tiết:

trong đó là số thỏa mãn

Phương trình cuối cùng vô nghiệm do nên phương trình đã cho vô nghiệm.

LG b

Phương pháp giải:

Đặt

Lời giải chi tiết:

Đặt ta có:

Lại có:

Thay vào pt đã cho được:

Phương trình này vô nghiệm nên phương trình đã cho vô nghiệm.

 trithuchub.com

LG a

Lời giải chi tiết:

Mà

+) Với k=0 thì

+) Với k=1 thì

Vậy với điều kiện , phương trình có hai nghiệm là và .

LG b

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ : và .

Ta có :

+) .

Có một nghiệm thỏa mãn , ứng với là

+) với .

Ta có thể chọn

Vậy có một nghiệm (gần đúng) thỏa mãn  là :

Kết luận :

Với điều kiện , phương trình có hai nghiệm và .

 trithuchub.com

LG a

$3{\sin }^{2}x-\sin 2x-{\cos }^{2}x=0$

Lời giải chi tiết:

Cách 1 : (chia hai vế cho ${\cos }^{2}x$).

Ta có:

$\begin{array}{c}3{\sin }^{2}x-\sin 2x-{\cos }^{2}x=0\\ \iff 3{\sin }^{2}x-2\sin x\cos x-{\cos }^{2}x=0\end{array}$

Xét $\cos x=0\Rightarrow {\sin }^{2}x=1$ thay vào phương trình ra được:

$3.1-2.0-0=0$ (vô lí)

Do đó $\cos x\ne 0$, chia cả hai vế cho ${\cos }^{2}x\ne 0$ ta được:

$\begin{array}{c}Pt\iff \frac{3{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}-2.\frac{\sin x\cos x}{{\cos }^{2}x}-\frac{{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=0\\ \iff 3{\tan }^{2}x-2\tan x-1=0\\ \iff [\begin{array}{c}\tan x=1\\ \tan x=-\frac{1}{3}\end{array}\\ \iff [\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{4}+k\pi \\ x=\arctan \left(-\frac{1}{3}\right)+k\pi \end{array}\end{array}$

Từ đó suy ra các nghiệm của phương trình là : $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$ và $x=\arctan \left(-\frac{1}{3}\right)+k\pi$.

Cách 2 : (dùng công thức hạ bậc)

$\begin{array}{cc}& 3{\sin }^{2}x-\sin 2x-{\cos }^{2}x=0\\ & \iff \frac{3\left(1-\cos 2x\right)}{2}-\sin 2x-\frac{1+\cos 2x}{2}=0\\ & \iff 3-3\cos 2x-2\sin 2x-1-\cos 2x=0\\ & \iff -2\sin 2x-4\cos 2x+2=0\\ & \iff \sin 2x+2\cos 2x=1\\ & \iff \frac{1}{\sqrt{5}}\sin 2x+\frac{2}{\sqrt{5}}\cos 2x=\frac{1}{\sqrt{5}}\\ & \text{Chọn}\alpha \text{là số thỏa mãn}\\ & \sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{5}}\text{và}\cos \alpha =\frac{2}{\sqrt{5}}\\ & \text{Ta có}:\\ & \sin \alpha \sin 2x+\cos \alpha \cos 2x=\sin \alpha \\ & \iff \cos \left(2x-\alpha \right)=\cos \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)\\ & \iff 2x-\alpha =\pm \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)+k2\pi \\ & \iff [\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{4}+k\pi \\ x=\alpha -\frac{\pi }{4}+k\pi \end{array}\left(k\in Z\right)\end{array}$

LG b

$3{\sin }^{2}2x-\sin 2x\cos 2x-4{\cos }^{2}2x=2$

Lời giải chi tiết:

Xét $\cos 2x=0\Rightarrow {\sin }^{2}2x=1$ thay vào pt ta được:

$3.1-0-4.0=2$ (vô lí)

Do đó chia cả hai vế cho ${\cos }^{2}2x\ne 0$ ta được:

$3.\frac{{\sin }^{2}2x}{{\cos }^{2}2x}-\frac{\sin 2x\cos 2x}{{\cos }^{2}2x}-4.\frac{{\cos }^{2}2x}{{\cos }^{2}2x}=\frac{2}{{\cos }^{2}2x}$

$\begin{array}{cc}& \iff 3{\tan }^{2}2x-\tan 2x-4=2\left(1+{\tan }^{2}2x\right)\\ & \iff {\tan }^{2}2x-\tan 2x-6=0\\ & \iff [\begin{array}{c}\tan 2x=-2\\ \tan 2x=3\end{array}\\ & \iff [\begin{array}{c}x=\frac{\alpha }{2}+k\frac{\pi }{2}\\ x=\frac{\beta }{2}+k\frac{\pi }{2}\end{array}\\ & \text{trong đó}\tan 2\alpha =-2\text{và}\tan 2\beta =3\end{array}$

LG c

$2{\sin }^{2}x+\left(3+\sqrt{3}\right)\sin x\cos x+\left(\sqrt{3}-1\right){\cos }^{2}x=-1$

Lời giải chi tiết:

Xét $\cos x=0\Rightarrow {\sin }^{2}x=1$ thay vào pt ta được:

$2.1+\left(3+\sqrt{3}\right).0+\left(\sqrt{3}-1\right).0=-1$ (vô lí)

Do đó chia cả hai vế cho ${\cos }^{2}x\ne 0$ ta được:

$2.\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}+\left(3+\sqrt{3}\right)\frac{\sin x\cos x}{{\cos }^{2}x}+\left(\sqrt{3}-1\right).\frac{{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{-1}{{\cos }^{2}x}$

$\begin{array}{cc}& \iff 2{\tan }^{2}x+\left(3+\sqrt{3}\right)\tan x+\sqrt{3}-1=-\left(1+{\tan }^{2}x\right)\\ & \iff 3{\tan }^{2}x+\left(3+\sqrt{3}\right)\tan x+\sqrt{3}=0\\ & \iff [\begin{array}{c}\tan x=-1\\ \tan x=-\frac{\sqrt{3}}{3}\end{array}\\ & \iff [\begin{array}{c}x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \\ x=-\frac{\pi }{6}+k\pi \end{array}\left(k\in Z\right)\end{array}$

 trithuchub.com

LG a

\(\sin x + \sin 2x + \sin 3x = \cos x + \cos 2x + \cos 3x\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{& \sin x + \sin 2x + \sin 3x = \cos x + \cos 2x + \cos 3x \cr & \Leftrightarrow \left( {\sin x + \sin 3x} \right) + \sin 2x = \left( {\cos x + \cos 3x} \right) + \cos 2x \cr & \Leftrightarrow 2\sin 2x\cos x + \sin 2x = 2\cos 2x\cos x + \cos 2x \cr & \Leftrightarrow \sin 2x\left( {2\cos x + 1} \right) - \cos 2x\left( {2\cos x + 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {2\cos x + 1} \right)\left( {\sin 2x - \cos 2x} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{2\cos x + 1 = 0} \cr {\sin 2x - \cos 2x = 0} \cr} } \right. \cr&\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\cos x = - {1 \over 2}} \cr {\tan 2x = 1} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi } \cr {x = {\pi \over 8} + k{\pi \over 2}} \cr} } \right.,k \in\mathbb Z \cr} \)

LG b

\(\sin x = \sqrt 2 \sin 5x - \cos x\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{& \sin x = \sqrt 2 \sin 5x - \cos x \cr & \Leftrightarrow \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin 5x\cr& \Leftrightarrow  {1 \over {\sqrt 2 }}\sin x + {1 \over {\sqrt 2 }}\cos x = \sin 5x \cr & \Leftrightarrow \sin \left( {x + {\pi \over 4}} \right) = \sin 5x \cr&\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{5x = x + {\pi \over 4} + k2\pi } \cr {5x = {{3\pi } \over 4} - x + k2\pi } \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {\pi \over {16}} + k{\pi \over 2}} \cr {x = {\pi \over 8} + k{\pi \over 3}} \cr} ,k \in\mathbb Z} \right. \cr} \)

LG c

\({1 \over {\sin 2x}} + {1 \over {\cos 2x}} = {2 \over {\sin 4x}}\)

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ : \(\sin4x ≠ 0\) (điều kiện này đã bao gồm \(\sin 2x ≠ 0\) và \(\cos2x ≠ 0\)).

Với điều kiện đó, ta có thể nhân hai vế của phương trình với \(\sin4x\) :

\(\eqalign{& {1 \over {\sin 2x}} + {1 \over {\cos 2x}} = {2 \over {\sin 4x}} \cr & \Leftrightarrow {1 \over {\sin 2x}} + {1 \over {\cos 2x}} = {2 \over {2\sin 2x\cos 2x}} \cr & \Leftrightarrow \frac{{\cos 2x + \sin 2x}}{{\sin 2x\cos 2x}} = \frac{1}{{\sin 2x\cos 2x}}\cr& \Rightarrow \sin 2x + \cos 2x = 1\cr& \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin 2x + \frac{1}{{\sqrt 2 }}\cos 2x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\cr& \Leftrightarrow \sin \left( {2x + {\pi \over 4}} \right) = \sin {\pi \over 4} \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{2x+\frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4}+k2\pi } \cr {2x +\frac{\pi }{4}= \pi-\frac{\pi }{4} + k2\pi } \cr} } \right. \cr} \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = k2\pi \\
2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi
\end{array} \right.\)

Ta thấy : Nếu \(2x = k2π\) thì \(\sin2x = 0\); nếu \(2x = {\pi \over 2} + k2\pi \) thì \(\cos2x = 0\), nên các giá trị đó của \(x\) đều không thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

LG d

\(\sin x + \cos x = {{\cos 2x} \over {1 - \sin 2x}}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(1 - \sin 2x \)

\(= {\cos ^2}x + {\sin ^2}x - 2\sin x\cos x \)

\(= {\left( {\cos x - \sin x} \right)^2}\)

ĐKXĐ : \(\sin2x ≠ 1\).

Với điều kiện đó, ta có:

\(\eqalign{& \sin x + \cos x = {{\cos 2x} \over {1 - \sin 2x}} \cr & \Leftrightarrow \sin x + \cos x = {{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \over {{{\left( {\cos x - \sin x} \right)}^2}}} \cr &\Leftrightarrow \sin x + \cos x = \frac{{\left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {\cos x + \sin x} \right)}}{{{{\left( {\cos x - \sin x} \right)}^2}}} \cr&\Leftrightarrow \sin x + \cos x = \frac{{\cos x + \sin x}}{{\cos x - \sin x}}\cr& \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {1 - {1 \over {\cos x - \sin x}}} \right) = 0 \cr & +)\,\,\sin x + \cos x = 0\cr& \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0 \cr&\Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0 \cr&\Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = k\pi \cr&\Leftrightarrow x = - {\pi \over 4} + k\pi \cr & +)\,\,{1 \over {\cos x - \sin x}} = 1 \cr&\Leftrightarrow \cos x - \sin x = 1 \cr & \Leftrightarrow \sqrt 2 \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1\cr& \Leftrightarrow \cos \left( {x + {\pi \over 4}} \right) = {1 \over {\sqrt 2 }} \cr} \)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\
x + \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{4} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = k2\pi \\
x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)

 trithuchub.com