Bài 3 trang 109

Cho tứ diện ABCD. Lấy ({G_1},{G_2},{G_3})lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, ADB.

Đề bài

Cho tứ diện ABCD. Lấy $G_{1}, G_{2}, G_{3}$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, ADB.

a) Chứng minh rằng $(G_{1} G_{2} G_{3}) / / (B C D)$ .

b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng $(G_{1} G_{2} G_{3})$ với mặt phẳng $(A B D)$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thằng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q).

Lời giải chi tiết

a) Gọi M, N, P là trung điểm của BC, CD, BD.

Ta có: $G_{1}$ là trọng tâm tam giác ABC, suy ra $\frac{A G_{1}}{A M} = \frac{2}{3}$ .

$G_{3}$ là trọng tâm tam giác ABD, suy ra $\frac{A G_{3}}{A P} = \frac{2}{3}$ .

Suy ra tam giác AMP có $\frac{A G_{1}}{A M} = \frac{A G_{3}}{A P}$ nên $G_{1} G_{3} / / M P$ .

Mà MP thuộc (BCD) nên $G_{1} G_{3} / / (B C D)$ .

Tương tự ta có: $G_{2} G_{3} / / (B C D)$ .

Do đó, $G_{1} G_{2} G_{3} / / (B C D)$ .

Ta có: B, D cùng thuộc hai mặt phẳng (ABD) và (BCD) nên $(A B D) \cap (B C D) = B D$

Giả sử $(A B D) \cap (G_{1} G_{2} G_{3}) = d$ .

Ta có:

${\begin{cases} (G_{1} G_{2} G_{3}) / / (B C D) \\ (A B D) \cap (B C D) = B D \\ (A B D) \cap (G_{1} G_{2} G_{3}) = d \end{cases}$

Suy ra d//BD.

Mà $G_{3} \in (G_{1} G_{2} G_{3})$ nên $G_{3}$ là giao điểm của $(G_{1} G_{2} G_{3})$ và (ABD).

Do đó giao tuyến d của hai mặt phẳng $(G_{1} G_{2} G_{3})$ và (ABD) đi qua $G_{3}$ và song song với BD, cắt AB, AD lần lượt tại I và K.

Vậy $(G_{1} G_{2} G_{3}) \cap (A B D) = I K$ .