Bài 3 trang 112

Đề bài

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành và một điểm $M$ di động trên cạnh $AD$. Một mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ qua $M$, song song với $CD$ và $SA$, cắt $BC,SC,SD$ lần lượt tại $N,P,Q$.

a) $MNPQ$ là hình gì?

b) Gọi $I=MQ\cap NP$. Chứng minh rằng $I$ luôn luôn thuộc một đường thẳng cố định khi $M$ di động trên $AD$.

Lời giải chi tiết

 

a) Ta có:

$\begin{array}{c}MN=\left(\alpha \right)\cap \left(ABCD\right)\\ CD=\left(SCD\right)\cap \left(ABCD\right)\\ PQ=\left(\alpha \right)\cap \left(SCD\right)\\ MN\parallel CD\end{array}$

Do đó theo định lí 2 về giao tuyến của ba mặt phẳng ta có: $MN\parallel CD\parallel PQ$.

$\Rightarrow MNPQ$ là hình thang.

b) Ta có:

$\begin{array}{c}\begin{array}{c}I\in MQ\Rightarrow I\in \left(SAD\right)\\ I\in NP\Rightarrow I\in \left(SBC\right)\end{array}\}\Rightarrow I\in \left(SAD\right)\cap \left(SBC\right)\\ \Rightarrow SI=\left(SAD\right)\cap \left(SBC\right)\\ AD=\left(SAD\right)\cap \left(ABCD\right)\\ BC=\left(SBC\right)\cap \left(ABCD\right)\\ BC\parallel AD\end{array}$

Do đó theo định lí 2 về giao tuyến của ba mặt phẳng ta có: $AD\parallel BC\parallel SI$.

Vậy $I$ luôn luôn thuộc đường thẳng $d$ đi qua $S$ song song với $AD$ và $BC$ cố định khi $M$ di động trên $AD$.