Bài 3 trang 115

Cho hình lăng trụ đứng (ABCD.A'B'C'D') có đáy (ABCD) là hình vuông cạnh (a). Góc giữa đường thẳng (AC) và mặt phẳng (left( {ABCD} right)) bằng ({60^ circ }).

Đề bài

Cho hình lăng trụ đứng $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có đáy $A B C D$ là hình vuông cạnh $a$ . Góc giữa đường thẳng $A C^{'}$ và mặt phẳng $(A B C D)$ bằng $60^{\circ}$ .

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng $(A C C^{'} A^{'})$ và $(B D D^{'} B^{'})$ vuông góc với nhau.

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $A B$ và $C^{'} D^{'}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc: Chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng còn lại.

‒ Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song: Tính khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia.

Lời giải chi tiết

a) $A B C D$ là hình vuông $\Rightarrow A C ⊥ B D$

$B B^{'} ⊥ (A B C D) \Rightarrow B B^{'} ⊥ A C$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A C ⊥ (B D D^{'} B^{'}) \\ A C \subset (A C C^{'} A^{'}) \end{array}} \Rightarrow (A C C^{'} A^{'}) ⊥ (B {D D}^{'} B^{'})$

b) $A B C D$ là hình vuông $\Rightarrow A B ∥ C D$

$C D D^{'} C^{'}$ là hình chữ nhật $\Rightarrow C D ∥ C^{'} D^{'}$

$\Rightarrow A B ∥ C^{'} D^{'} \Rightarrow d (A B, C^{'} D^{'}) = d (B, C^{'} D^{'})$

$A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ là hình vuông $\Rightarrow C^{'} D^{'} ⊥ B^{'} C^{'}$

$C D D^{'} C^{'}$ là hình chữ nhật $\Rightarrow C^{'} D^{'} ⊥ C C^{'}$

$\Rightarrow C^{'} D^{'} ⊥ (B C C^{'} B^{'}) \Rightarrow C^{'} D^{'} ⊥ B C^{'} \Rightarrow d (B, C^{'} D^{'}) = B C^{'}$

$A B C D$ là hình vuông $\Rightarrow A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = a \sqrt{2}$

$\begin{array}{l} C C^{'} ⊥ (A B C D) \Rightarrow (A C^{'}, (A B C D)) = (A C^{'}, A C) = \hat{C A C^{'}} = 60^{\circ} \\ \Rightarrow C C^{'} = A C . \tan \hat{C A C^{'}} = a \sqrt{6} \end{array}$

$Δ B C C^{'}$ vuông tại $C \Rightarrow B C^{' 2} = \sqrt{B C^{2} + C C^{' 2}} = a \sqrt{7}$

Vậy $d (A B, C^{'} D^{'}) = a \sqrt{7}$ .