Bài 3 trang 120

Đề bài

Cho hai hình vuông $ABCD$ và $ABEF$ ở trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đường chéo $AC$ và $BF$ lần lượt lấy các điểm $M,N$ sao cho $AM=BN$. Các đường thẳng song song với $AB$ vẽ từ $M,N$ lần lượt cắt $AD,AF$ tại $M^{\prime },N^{\prime }$.

a) Chứng minh $\left(CBE\right)\parallel \left(ADF\right)$.

b) Chứng minh $\left(DEF\right)\parallel \left(MN{N}^{\prime }{M}^{\prime }\right)$.

Lời giải chi tiết

a) $ABCD$ là hình vuông $\Rightarrow AD\parallel BC$

Mà $AD\subset \left(ADF\right)$

$\Rightarrow BC\parallel \left(ADF\right)$

$ABCD$ là hình vuông $\Rightarrow AF\parallel BE$

Mà $AF\subset \left(ADF\right)$

$\Rightarrow BE\parallel \left(ADF\right)$

Ta có:

$\begin{array}{c}BC\parallel \left(ADF\right)\\ BE\parallel \left(ADF\right)\\ BC,BE\subset \left(CBE\right)\end{array}\}\Rightarrow \left(CBE\right)\parallel \left(ADF\right)$

b) Do $ABCD$ và $ABEF$ là hai hình vuông có chung cạnh $AB$ nên các đường chéo $AC,BF$ bằng nhau.

Theo đề bài ta có: $AM=BN$

$\Rightarrow$$\frac{AM}{AC}=\frac{BN}{BF}$

Ta có:

$M{M}^{\prime }\parallel CD\Rightarrow \frac{AM}{AC}=\frac{A{M}^{\prime }}{AD}$

$N{N}^{\prime }\parallel AB\Rightarrow \frac{BN}{BF}=\frac{A{N}^{\prime }}{AF}$

$\begin{array}{c}\Rightarrow \frac{A{M}^{\prime }}{AD}=\frac{A{N}^{\prime }}{AF}\Rightarrow M^{\prime }{N}^{\prime }\parallel DF\\ M^{\prime }{N}^{\prime }\subset \left(MN{N}^{\prime }{M}^{\prime }\right)\end{array}\}\Rightarrow DF\parallel \left(MN{N}^{\prime }{M}^{\prime }\right)$

$\begin{array}{c}N{N}^{\prime }\parallel EF\\ {NN}^{\prime }\subset \left(MN{N}^{\prime }{M}^{\prime }\right)\end{array}\}\Rightarrow EF\parallel \left(MN{N}^{\prime }{M}^{\prime }\right)$

$\begin{array}{c}DF\parallel \left(MN{N}^{\prime }{M}^{\prime }\right)\\ EF\parallel \left(MN{N}^{\prime }{M}^{\prime }\right)\\ CD,DF\subset \left(DEF\right)\end{array}\}\Rightarrow \left(DEF\right)\parallel \left(MN{N}^{\prime }{M}^{\prime }\right)$