Bài 3 trang 50

Xét tính tăng, giảm của dãy số (yn)(yn)\left( {{y_n}} \right) với yn=√n+1−√nyn=n+1−n{y_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n .

Đề bài

Xét tính tăng, giảm của dãy số $(y_{n})$ với $y_{n} = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Tìm $y_{n + 1}$ .

Bước 2: Xét hiệu $y_{n + 1} - y_{n}$ hoặc xét thương $\frac{y_{n + 1}}{y_{n}}$ nếu các số hạng của dãy số $(y_{n})$ là số dương.

Bước 3: Kết luận:

– Nếu $y_{n + 1} - y_{n} > 0$ hoặc $\frac{y_{n + 1}}{y_{n}} > 1$ thì $y_{n + 1} > y_{n}, \forall n \in N^{*}$ , vậy dãy số $(y_{n})$ là dãy số tăng.

– Nếu $y_{n + 1} - y_{n} < 0$ hoặc $\frac{y_{n + 1}}{y_{n}} < 1$ thì $y_{n + 1} < y_{n}, \forall n \in N^{*}$ , vậy dãy số $(y_{n})$ là dãy số giảm.

Lời giải chi tiết

Cách 1:

Ta có: $y_{n} = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n} = \frac{(\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}) (\sqrt{n + 1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = \frac{(n + 1) - n}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}$

$\Rightarrow y_{n + 1} = \frac{1}{\sqrt{(n + 1) + 1} - \sqrt{n + 1}} = \frac{1}{\sqrt{n + 2} + \sqrt{n + 1}}$

Xét hiệu:

$\begin{array}{l} y_{n + 1} - y_{n} = \frac{1}{\sqrt{n + 2} + \sqrt{n + 1}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = \frac{(\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}) - (\sqrt{n + 2} + \sqrt{n + 1})}{(\sqrt{n + 2} + \sqrt{n + 1}) (\sqrt{n + 1} + \sqrt{n})} \\ = \frac{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n} - \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}{(\sqrt{n + 2} + \sqrt{n + 1}) (\sqrt{n + 1} + \sqrt{n})} = \frac{\sqrt{n} - \sqrt{n + 2}}{(\sqrt{n + 2} + \sqrt{n + 1}) (\sqrt{n + 1} + \sqrt{n})} \end{array}$

$\forall n \in N^{*}$ ta có:

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} 0 < n < n + 2 \Leftrightarrow \sqrt{n} < \sqrt{n + 2} \Leftrightarrow \sqrt{n} - \sqrt{n + 2} < 0 \\ \sqrt{n + 2} > 0, \sqrt{n + 1} > 0, \sqrt{n} > 0 \Leftrightarrow (\sqrt{n + 2} + \sqrt{n + 1}) (\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}) > 0 \end{array}} \\ \Rightarrow \frac{\sqrt{n} - \sqrt{n + 2}}{(\sqrt{n + 2} + \sqrt{n + 1}) (\sqrt{n + 1} + \sqrt{n})} < 0 \end{array}$

Vậy $y_{n + 1} - y_{n} < 0 \Leftrightarrow y_{n + 1} < y_{n}$ . Vậy dãy số $(y_{n})$ là dãy số giảm.

Cách 2:

$\Rightarrow y_{n + 1} = \frac{1}{\sqrt{(n + 1) + 1} - \sqrt{n + 1}} = \frac{1}{\sqrt{n + 2} + \sqrt{n + 1}}$

$\forall n \in N^{*}$ ta có:

$\begin{array}{l} 0 < n < n + 2 \Leftrightarrow \sqrt{n} < \sqrt{n + 2} \Leftrightarrow \sqrt{n + 1} + \sqrt{n} < \sqrt{n + 2} + \sqrt{n + 1} \\ \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} > \frac{1}{\sqrt{n + 2} + \sqrt{n + 1}} \Leftrightarrow y_{n} > y_{n + 1} \end{array}$

Vậy dãy số $(y_{n})$ là dãy số giảm.