Bài 3 trang 56

Đề bài

Cho hình chóp S.ABC$S.ABC$ có SA=SB=SC=a$SA=SB=SC=a$, ^BSA=^CSA=60∘$\widehat{BSA}=\widehat{CSA}={60}^{\circ }$, ^BSC=90∘$\widehat{BSC}={90}^{\circ }$. Cho I$I$ và J$J$ lần lượt là trung điểm của SA$SA$ và BC$BC$. Chứng minh rằng IJ⊥SA$IJ\perp SA$ và IJ⊥BC$IJ\perp BC$.

Lời giải chi tiết

 

Xét tam giác SAB có:

SA = SB = a

^BSA=600$\widehat{BSA}={60}^0$

⇒ Tam giác SAB đều.

Mà I là trung điểm của SA ⇒ IB=a√32$IB=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Xét tam giác SAC có:

SA = SC = a

^ASC=600$\widehat{ASC}={60}^0$

⇒ Tam giác SAC đều.

Mà I là trung điểm của SA ⇒ IC=a√32$IC=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Ta có BSC là tam giác vuông cân tại S.

⇒ BC=√SB2+SC2=a√2$\sqrt{S{B}^2+S{C}^2}=a\sqrt{2}$

Xét tam giác ABC:

AB = AC = a

AB2+AC2=a2+a2=2a2BC2=(a√2)2=2a2⇒AB2+AC2=BC2$\begin{array}{c}A{B}^2+A{C}^2=a^2+a^2=2a^2\\ B{C}^2={\left(a\sqrt{2}\right)}^2=2a^2\\ \Rightarrow A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2\end{array}$

⇒ Tam giác ABC vuông cân tại A.

Mà J là trung điểm đoạn BC ⇒ AJ ⊥$\perp$ BC

⇒ AJ=√AB2−BJ2=√a2−(a√22)2=a√22$AJ=\sqrt{A{B}^2-B{J}^2}=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Xét tam giác SBC vuông cân tại S:

Mà J là trung điểm đoạn BC ⇒ SJ ⊥$\perp$ BC

⇒ SJ=√SB2−BJ2=√a2−(a√22)2=a√22$SJ=\sqrt{S{B}^2-B{J}^2}=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Xét tam giác JSA:

AJ = SJ = a√22$\frac{a\sqrt{2}}{2}$

⇒ Tam giác JSA cân tại J.

Mà I là trung điểm của SA ⇒ IJ là đường trung tuyến của tam giác JSA.

hay IJ ⊥SA.

Xét tam giác IBC:

IB = IC =a√32$\frac{a\sqrt{3}}{2}$

⇒ Tam giác IBC cân tại I.

Mà J là trung điểm của BC ⇒ IJ là đường trung tuyến của tam giác IBC.

hay IJ ⊥$\perp$ BC.