Bài 3 trang 61

Cho dãy số (un)(un)\left( {{u_n}} \right) với un=n+1n+2un=n+1n+2{u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}}. Phát biểu nào sau đây đúng?

Đề bài

Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = \frac{n + 1}{n + 2}$ . Phát biểu nào sau đây đúng?

A. Dãy số tăng và bị chặn.

B. Dãy số giảm và bị chặn.

C. Dãy số giảm và bị chặn dưới.

D. Dãy số giảm và bị chặn trên.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

• Xét tính tăng giảm của dãy số:

Bước 1: Tìm $u_{n + 1}$ .

Bước 2: Xét hiệu $u_{n + 1} - u_{n}$ .

Bước 3: Kết luận:

– Nếu $u_{n + 1} - u_{n} > 0$ thì $u_{n + 1} > u_{n}, \forall n \in N^{*}$ , vậy dãy số $(u_{n})$ là dãy số tăng.

– Nếu $u_{n + 1} - u_{n} < 0$ thì $u_{n + 1} < u_{n}, \forall n \in N^{*}$ , vậy dãy số $(u_{n})$ là dãy số giảm.

• Xét tính bị chặn của dãy số ta sử dụng tính chất của bất đẳng thức.

Lời giải chi tiết

• Ta có: $u_{n + 1} = \frac{(n + 1) + 1}{(n + 1) + 2} = \frac{n + 1 + 1}{n + 1 + 2} = \frac{n + 2}{n + 3}$

Xét hiệu:

$\begin{array}{l} u_{n + 1} - u_{n} = \frac{n + 2}{n + 3} - \frac{n + 1}{n + 2} = \frac{{(n + 2)}^{2} - (n + 1) (n + 3)}{(n + 3) (n + 2)} = \frac{(n^{2} + 4 n + 4) - (n^{2} + n + 3 n + 3)}{(n + 2) (n + 1)} \\ = \frac{n^{2} + 4 n + 4 - n^{2} - n - 3 n - 3}{(n + 2) (n + 1)} = \frac{1}{(n + 2) (n + 1)} > 0, \forall n \in N^{*} \end{array}$

Vậy $u_{n + 1} - u_{n} > 0 \Leftrightarrow u_{n + 1} > u_{n}$ . Vậy dãy số $(u_{n})$ là dãy số tăng.

• Ta có: $u_{n} = \frac{n + 1}{n + 2} = \frac{(n + 2) - 1}{n + 2} = 1 - \frac{1}{n + 2}$

$\forall n \in N^{*}$ ta có:

$n + 2 > 0 \Leftrightarrow \frac{1}{n + 2} > 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{n + 2} < 1 \Leftrightarrow u_{n} < 1$ . Vậy $(u_{n})$ bị chặn trên.

$n \geq 1 \Leftrightarrow n + 2 \geq 1 + 2 \Leftrightarrow n + 2 \geq 3 \Leftrightarrow \frac{1}{n + 2} \leq \frac{1}{3} \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{n + 2} \geq 1 - \frac{1}{3} \Leftrightarrow u_{n} \geq \frac{2}{3}$

Vậy $(u_{n})$ bị chặn dưới.

Ta thấy dãy số $(u_{n})$ bị chặn trên và bị chặn dưới nên dãy số $(u_{n})$ bị chặn.

Chọn A.