Bài 3 trang 64

Đề bài

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $a \sqrt{2}$ , có các cạnh bên đều bằng $2 a$ .

a) Tính góc giữa $S C$ và $A B$ .

b) Tính diện tích hình chiếu vuông góc của tam giác $S A B$ trên mặt phẳng $(A B C D)$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Cách xác định góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ :

Bước 1: Lấy một điểm $O$ bất kì.

Bước 2: Qua điểm $O$ dựng đường thẳng $a^{'} ∥ a$ và đường thẳng $b^{'} ∥ b$ .

Bước 3: Tính $(a, b) = (a^{'}, b^{'})$ .

b) Sử dụng phép chiếu vuông góc.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

$A B ∥ C D \Rightarrow (S C, A B) = (S C, C D) = \hat{S C D}$

Xét $Δ S C D$ có:

$\cos \hat{S C D} = \frac{S C^{2} + C D^{2} - S D^{2}}{2. S C . C D} = \frac{\sqrt{2}}{4} \Rightarrow \hat{S C D} \approx 69^{\circ} 18^{'}$

Vậy $(S C, A B) \approx 69^{\circ} 18^{'}$ .

b) Gọi $O = A C \cap B D$ .

$Δ S A C$ cân tại $S \Rightarrow S O ⊥ A C$

$Δ S B D$ cân tại $S \Rightarrow S O ⊥ B D$

$\Rightarrow S O ⊥ (A B C D) \Rightarrow O$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(A B C D)$ .

Lại có $A, B \in (A B C D)$ .

Vậy tam giác $O A B$ là hình chiếu vuông góc của tam giác $S A B$ lên mặt phẳng $(A B C D)$

Ta có: $A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = 2 a$

Mà ABCD là hình vuông nên O là trung điểm của mỗi đường chéo.

$\begin{array}{l} \Rightarrow A O = B O = \frac{A C}{2} = a \\ \Rightarrow S_{O A B} = \frac{1}{2} A O . B O = \frac{1}{2} a . a = \frac{1}{2} a^{2} \end{array}$

Vậy diện tích hình chiếu vuông góc của tam giác SAB trên mặt phẳng (ABCD) là $\frac{1}{2} a^{2}$