Bài 3 trang 73

Cho hình lăng trụ đứng (ABCD.A'B'C'D') có đáy (ABCD) là hình thang vuông tại (A)

Đề bài

Cho hình lăng trụ đứng $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có đáy $A B C D$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$ , $A A^{'} = 2 a, A D = 2 a, A B = B C = a$ .

a) Tính độ dài đoạn thẳng $A C^{'}$ .

b) Tính tổng diện tích các mặt của hình lăng trụ.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng định lí Pitago.

Lời giải chi tiết

a) $Δ A B C$ vuông cân tại $B \Rightarrow A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = a \sqrt{2}$

$C C^{'} = A A^{'} = 2 a$

$C C^{'} ⊥ (A B C D) \Rightarrow C C^{'} ⊥ A C$

$\Rightarrow Δ A C C^{'}$ vuông tại $C \Rightarrow A C^{'} = \sqrt{A C^{2} + C C^{' 2}} = a \sqrt{6}$

b) $S_{A B C D} = S_{A^{'} B^{'} C^{'} C^{'}} = \frac{1}{2} (A D + B C) . A B = \frac{3 a^{2}}{2}$

Gọi $M$ là trung điểm của $A D$

$\Rightarrow A B C M$ là hình vuông $\Rightarrow M C = M D = M A = \frac{1}{2} A D = a$

$Δ M C D$ vuông cân tại $M \Rightarrow C D = \sqrt{C M^{2} + D M^{2}} = a \sqrt{2}$

$\begin{array}{l} S_{A B B^{'} A^{'}} = A B . A A^{'} = 2 a^{2} \\ S_{A D D^{'} A^{'}} = A D . A A^{'} = 4 a^{2} \\ S_{B C C^{'} B^{'}} = B C . C C^{'} = 2 a^{2} \\ S_{C {D D}^{'} C^{'}} = C D . C C^{'} = 2 a^{2} \sqrt{2} \end{array}$

Tổng diện tích các mặt của hình lăng trụ là:

$\begin{array}{l} S = S_{A B C D} + S_{A^{'} B^{'} C^{'} C^{'}} + S_{A B B^{'} A^{'}} + S_{A D D^{'} A^{'}} + S_{B C C^{'} B^{'}} + S_{C {D D}^{'} C^{'}} \\ = \frac{3 a^{2}}{2} + \frac{3 a^{2}}{2} + 2 a^{2} + 4 a^{2} + 2 a^{2} + 2 a^{2} \sqrt{2} = (11 + 2 \sqrt{2}) a^{2} \end{array}$