Bài 3 trang 81

Đề bài

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, $SA=SB=SC=SD=a\sqrt{2}$. Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$.

a) Chứng minh $AB\perp \left(SIJ\right)$.

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$.

Lời giải chi tiết

 

a) Gọi $O$ là tâm của đáy

$\Rightarrow SO\perp \left(ABCD\right)\Rightarrow SO\perp AB$

$I$ là trung điểm của $AB$

$J$ là trung điểm của $CD$

$\Rightarrow IJ$ là đường trung bình của hình vuông $ABCD$

$\begin{array}{c}\Rightarrow IJ\parallel AD\\ AB\perp AD\end{array}\}\Rightarrow IJ\perp AB$

Ta có:

$\begin{array}{c}SO\perp AB\\ IJ\perp AB\end{array}\}\Rightarrow AB\perp \left(SIJ\right)$

b) Kẻ $IH\perp SJ\left(H\in SJ\right),OK\perp SJ\left(K\in SJ\right)\Rightarrow IH\parallel OK$

$O$ là trung điểm của $IJ\Rightarrow IH=2OK$

Ta có:

$\begin{array}{c}AB\parallel CD\\ CD\subset \left(SCD\right)\end{array}\}\Rightarrow AB\parallel \left(SCD\right)\Rightarrow d\left(AB,SC\right)=d\left(AB,\left(SCD\right)\right)$

$\begin{array}{c}\begin{array}{c}\begin{array}{c}AB\perp \left(SIJ\right)\\ CD\parallel AB\end{array}\}\Rightarrow CD\perp \left(SIJ\right)\Rightarrow CD\perp IH\\ & IH\perp SJ\end{array}\}\Rightarrow IH\perp \left(SCD\right)\\ \Rightarrow d\left(AB,CD\right)=d\left(AB,\left(SCD\right)\right)=IH\end{array}$

$O$ là trung điểm của $IJ$, $IH\parallel OK$$\Rightarrow IH=2OK$

$O$ là trung điểm của $BD$

$J$ là trung điểm của $CD$

$\Rightarrow OJ$ là đường trung bình của $\Delta BCD$

$\Rightarrow OJ=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2}$

$\Delta ABC$ vuông tại $B$$\Rightarrow AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=a\sqrt{2}\Rightarrow OA=\frac{1}{2}AC=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

$\Delta SAO$ vuông tại $O$$\Rightarrow SO=\sqrt{S{A}^2-O{A}^2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$

$\Delta SOJ$ vuông tại $O$ có đường cao $OK$

$\Rightarrow OK=\frac{SO.OJ}{\sqrt{S{O}^2+O{J}^2}}=\frac{a\sqrt{42}}{14}$

$\Rightarrow d\left(AB,CD\right)=IH=2OK=\frac{a\sqrt{42}}{7}$