Bài 3 trang 85

Cho hình chóp cụt lục giác đều (ABCDEF.A'B'C'D'E'F') với (O) và (O') là tâm hai đáy

Đề bài

Cho hình chóp cụt lục giác đều $A B C D E F . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} E^{'} F^{'}$ với $O$ và $O^{'}$ là tâm hai đáy, cạnh đáy lớn và đáy nhỏ lần lượt là $a$ và $\frac{a}{2}, O O^{'} = a$

a) Tìm góc giữa cạnh bên và mặt đáy.

b) Tìm góc phẳng nhị diện $[O, A B, A^{'}]; [O^{'}, A^{'} B^{'}, A]$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Tính góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng.

‒ Cách xác định góc phẳng nhị diện $[A, d, B]$ : Dựng mặt phẳng $(P)$ vuông góc với , gọi $a, a^{'}$ lần lượt là giao tuyến của $(P)$ với hai nửa mặt phẳng chứa $A, B$ , khi đó $[A, d, B] = (a, a^{'})$ .

Lời giải chi tiết

a) Kẻ $C^{'} H ⊥ O C (H \in O C)$

là hình chữ nhật $\Rightarrow O H = O^{'} C^{'} = a, O O^{'} ∥ C^{'} H$

Mà $O O^{'} ⊥ (A B C D E F)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow C^{'} H ⊥ (A B C D E F) \\ \Rightarrow (C C^{'}, (A B C D E F)) = (C C^{'}, C H) = \hat{C^{'} C H} \end{array}$

$\begin{array}{l} H C = O C - O^{'} C^{'} = \frac{a}{2}, C^{'} H = O O^{'} = a \\ \Rightarrow \tan \hat{C^{'} C H} = \frac{C^{'} H}{H C} = 2 \Rightarrow \hat{C^{'} C H} \approx 63, 4^{\circ} \end{array}$

Vậy $(C C^{'}, (A B C D E F)) \approx 63, 4^{\circ}$

b) Gọi $M, M^{'}$ lần lượt là trung điểm của $A B, A^{'} B^{'}$ .

$\Rightarrow O M ⊥ A B, O^{'} M^{'} ⊥ A^{'} B^{'}$

$A B B^{'} A^{'}$ là hình thang cân $\Rightarrow M M^{'} ⊥ A B, M M^{'} ⊥ A^{'} B^{'}$

$\Rightarrow [O, A B, A^{'}] = \hat{O M M^{'}}, [O^{'}, A^{'} B^{'}, A] = \hat{O^{'} M^{'} M}$

Kẻ $M^{'} K ⊥ O M (K \in O M)$

$O O^{'} M^{'} K$ là hình chữ nhật $\Rightarrow O K = O^{'} K^{'} = \frac{A^{'} B^{'} \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{4}, O O^{'} = M^{'} K = a$

$\begin{array}{l} O M = \frac{A B \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{2}, M K = O M - O K = \frac{a \sqrt{3}}{4} \\ \Rightarrow \tan \hat{O M M^{'}} = \frac{M^{'} K}{M K} = \frac{4}{\sqrt{3}} \Rightarrow \hat{O M M^{'}} \approx 66, 6^{\circ} \\ \Rightarrow \hat{O^{'} M^{'} M} = 180^{\circ} - \hat{O M M^{'}} = 113, 4^{\circ} \end{array}$