Bài 3 trang 88

Cho tứ diện ABCD có (AB bot (BCD)), các tam giác BCD và ACD là những tam giác nhọn.

Đề bài

Cho tứ diện ABCD có $A B ⊥ (B C D)$ , các tam giác BCD và ACD là những tam giác nhọn. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác BCD, ACD (Hình 31). Chứng minh rằng:

a) $C D ⊥ (A B H)$ .

b) $C D ⊥ (A B K)$ .

c) Ba đường thẳng AK, BH, CD cùng đi qua một điểm.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựa vào điều kiện đường thẳng vuông góc với mặt phẳng để chứng minh.

Lời giải chi tiết

a) Vì $A B ⊥ (B C D) \Rightarrow A B ⊥ C D (1)$

Có H là trực tâm của tam giác BCD $\Rightarrow B H ⊥ C D (2)$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow C D ⊥ (A B H)$ .

b) Vì $A B ⊥ (B C D) \Rightarrow A B ⊥ C D (1)$

Có K là trực tâm của tam giác BCD $\Rightarrow A K ⊥ C D (2)$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow C D ⊥ (A B K)$ .

c) Ta có: $C D ⊥ (A B H)$ và $C D ⊥ (A B K)$ . Mà theo tính chất 1, chỉ có duy nhất 1 mặt phẳng đi qua A và B vuông góc với CD. Nên $(A B H) \equiv (A B K)$ .

Ta có H là trực tâm của tam giác BCD nên BH giao với CD tại 1 điểm I, K là trực tâm của tam giác ACD nên AK giao với CD tại 1 điểm I'.

Mà (ABHK) cắt CD tại 1 điểm thuộc CD.

Nên I và I' trùng nhau hay AK, BH, CD cùng đi qua một điểm.