Bài 3 trang 99

Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy là hình bình hành. Gọi (O) là giao điểm của (AC) và (BD); (M,N) lần lượt là trung điểm của (SB,SD); (P) thuộc đoạn (SC) và không là trung điểm của (SC).

Đề bài

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình bình hành. Gọi $O$ là giao điểm của $A C$ và $B D$ ; $M, N$ lần lượt là trung điểm của $S B, S D$ ; $P$ thuộc đoạn $S C$ và không là trung điểm của $S C$ .

a) Tìm giao điểm $E$ của đường thẳng $S O$ và mặt phẳng $(M N P)$ .

b) Tìm giao điểm $Q$ của đường thẳng $S A$ và mặt phẳng $(M N P)$ .

c) Gọi $I, J, K$ lần lượt là giao điểm của $Q M$ và $A B$ , $Q P$ và $A C$ , $Q N$ và $A D$ . Chứng minh $I, J, K$ thẳng hàng.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Để tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, ta tìm giao điểm của đường thẳng đó với một đường thẳng trong mặt phẳng.

‒ Để chứng minh ba điểm thẳng hàng, ta chứng minh ba điểm đó cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng.

Lời giải chi tiết

a) Gọi $E$ là giao điểm của $S O$ và $M N$ . Ta có:

$\begin{array}{l} E \in M N \subset (M N P) \\ E \in S O \end{array}} \Rightarrow E = S O \cap (M N P)$

b) Gọi $Q$ là giao điểm của $S A$ và $E P$ . Ta có:

$\begin{array}{l} Q \in E P \subset (M N P) \\ Q \in S A \end{array}} \Rightarrow Q = S A \cap (M N P)$

c) Ta có:

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} I \in Q M \subset (M N P) \\ I \in A B \subset (A B C D) \end{array}} \Rightarrow I \in (M N P) \cap (A B C D) \\ \begin{array}{l} J \in Q P \subset (M N P) \\ J \in A C \subset (A B C D) \end{array}} \Rightarrow J \in (M N P) \cap (A B C D) \\ \begin{array}{l} K \in Q N \subset (M N P) \\ K \in A D \subset (A B C D) \end{array}} \Rightarrow K \in (M N P) \cap (A B C D) \end{array}$

Do đó, $I, J, K$ cùng nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng $(M N P)$ và $(A B C D)$ .

Vậy $I, J, K$ thẳng hàng.