Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân - Toán 12 Cùng khám phá

Lý thuyết Ứng dụng hình học của tích phân Toán 12 Cùng khám phá

1. Tính diện tích hình phẳng

Hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b], trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) được tính bằng công thức

Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và các đường thẳng x = -2, x = 3.

Giải:

Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm. Ta có:

(đvdt).

Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số và hai đường thẳng x = a, x = b

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = f(x), g(x) liên tục trên và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bằng công thức

Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số , và các đường thẳng x = -1, x= 2.

Giải:

Ta có với .

Diện tích hình phẳng đã cho là:

(đvdt).

Chú ý:

Nếu hàm số f(x) – g(x) không đổi dấu trên đoạn [a;b] thì:

.

2. Tính thể tích vật thể

Tính thể tích vật thể

Cho một vật thể trong không gian Oxyz. Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm có hoành độ x = a, x = b. Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x thì phần chung giữa mặt phẳng và vật thể có diện tích S(x). Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên đoạn . Khi đó thể tích V của vật thể B được tính bởi công thức

Ví dụ: Hãy sử dụng tích phân tính thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy bằng S (không đổi) và chiều cao h.

Giải:

Chọn trục Ox song song với đường cao của khối lăng trụ, hai đáy nằm trong mặt phẳng vuông góc với Ox tại x= 0, x = h.

Khi cắt khối lăng trụ bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x , thì phần chung giữa mặt phẳng và khối lăng trụ là một hình phẳng có diện tích không đổi.

Thể tích khối lăng trụ là:

(đvdt).

Tính thể tích khối tròn xoay

Cho hàm số f(x) liên tục, không âm trên đoạn .

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox là

Ví dụ 1: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng quay quanh trục hoành , y = 0, x = 2.

Giải:

Thể tích khối tròn xoay là:

(đvdt).

Ví dụ 2: Hình vẽ mô phòng phần bên trong của một chậu cây có dạng khối tròn xoay tạo thành khi quay một phần của đồ thị hàm số với quanh trục hoành. Tính thể tích phần bên trong (dung tích) của chậu cây, biết đơn vị trên các trục Ox, Oy là decimét.

Giải:

Thể tích phần trong của chậu cây là:

().

Giải mục 1 trang 22, 23, 24, 25, 26 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 22 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong Hình 4.10, gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x - 3$ , trục hoành và các đường thẳng $x = 1$ và $x = 6$ .

a) Tính diện tích của (H).

b) Tính các tích phân $\int_{1}^{6} (x - 3) d x$ và $\int_{1}^{6} | x - 3 | d x$ . So sánh hai tích phân này với kết quả tính được ở câu a và rút ra nhận xét.

Phương pháp giải:

a)

Diện tích (H) có thể tính bằng cách cộng diện tích của hai tam giác. Diện tích của tam giác được tính bằng công thức:

$S = \frac{1}{2} \times h \times$ đáy

b)

- Tính trực tiếp các tích phân $\int_{1}^{6} (x - 3) d x$ và $\int_{1}^{6} | x - 3 | d x$ .

- So sánh kết quả của hai tích phân này với diện tích tính được ở câu a để rút ra nhận xét.

Lời giải chi tiết:

a)

Hình phẳng (H) trong đề bài là hai hình tam giác vuông, với các cạnh là:

- Đáy của tam giác thứ nhất: $6 - 3 = 3$

- Chiều cao của tam giác thứ nhất: $3 - 0 = 3$

- Đáy của tam giác thứ hai: $3 - 1 = 2$

- Chiều cao của tam giác thứ nhất: $0 - (- 2) = 2$

Diện tích tam giác được tính theo công thức:

$S = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 + \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = \frac{9}{2} + 2 = 6, 5$

b)

Tính tích phân thứ nhất:

$\int_{1}^{6} (x - 3) d x = {[\frac{{(x - 3)}^{2}}{2}]}_{1}^{6} = \frac{9}{2} - 2 = \frac{7}{2} = 2, 5$

Tính tích phân thứ hai:

$\int_{1}^{6} | x - 3 | d x = \int_{1}^{3} (3 - x) d x + \int_{3}^{6} (x - 3) d x = 2 + \frac{9}{2} = 6, 5$

Nhận xét:

- Tích phân thứ nhất $\int_{1}^{6} (x - 3) d x = 3.5$ không phản ánh diện tích thực của hình phẳng, vì hàm số nhận giá trị âm trong khoảng từ 1 đến 3.

- Tích phân thứ hai $\int_{1}^{6} | x - 3 | d x = 6.5$ chính là diện tích hình phẳng tính được ở câu a, vì nó tính giá trị tuyệt đối của hàm số, tức là cả phần âm và phần dương.

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 23 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^{3}$ , trục hoành và các đường thẳng $x = - 3, x = 2$ .

Phương pháp giải:

- Xác định ình phẳng cần tính diện tích.

- Phân tích dấu của hàm $y = x^{3}$ .

- Tìm biểu thức diện tích tổng quát.

- Tính các tích phân dựa trên biểu thức diện tích tổng quát.

Lời giải chi tiết:

Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^{3}$ , trục hoành $y = 0$ , và hai đường thẳng $x = - 3$ và $x = 2$ . Tại các khoảng khác nhau, đồ thị có thể nằm bên trên hoặc bên dưới trục hoành, nên cần tính tích phân của giá trị tuyệt đối $| x^{3} |$ để đảm bảo kết quả diện tích là dương.

- Từ $x = - 3$ đến $x = 0$ , $y = x^{3}$ là âm.

- Từ $x = 0$ đến $x = 2$ , $y = x^{3}$ là dương.

Diện tích hình phẳng được tính bằng cách lấy tích phân của $| x^{3} |$ từ $x = - 3$ đến $x = 2$

$S = \int_{- 3}^{0} - x^{3} d x + \int_{0}^{2} x^{3} d x$

Trong khoảng $x \in [- 3, 0]$ , đổi dấu hàm số $x^{3}$ để đảm bảo diện tích là dương.

Tích phân của $- x^{3}$ trong khoảng $[- 3, 0]$ :

$\int_{- 3}^{0} - x^{3} d x = - {[\frac{x^{4}}{4}]}_{- 3}^{0} = - (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 3)}^{4}}{4}) = - (0 - \frac{81}{4}) = \frac{81}{4}$

Tích phân của $x^{3}$ trong khoảng $[0, 2]$ :

$\int_{0}^{2} x^{3} d x = {[\frac{x^{4}}{4}]}_{0}^{2} = \frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4} = \frac{16}{4} = 4$

Diện tích tổng cộng là tổng của hai kết quả tích phân:

Vậy, diện tích của hình phẳng là:

.

VD1

Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 24 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Một cái cổng có kích thước như Hình 4.14a. Vòm cổng có hình dạng một parabol có đỉnh và đi qua điểm như Hình 4.14b. Tính diện tích hai cánh cửa cổng.

Phương pháp giải:

- Xác định phương trình parabol.

- Tính diện tích một cánh cửa cổng bằng cách tính tích phân diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và trục hoành trong khoảng từ đến .

- Nhân diện tích một cánh cửa với 2 để ra diện tích hai cánh cửa cổng.

Lời giải chi tiết:

Xác định phương trình parabol đỉnh có dạng:

Sử dụng điểm để tìm hệ số :

Giải ra ta được:

Vậy phương trình của parabol là:

Diện tích một cánh cửa là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và trục hoành trong khoảng từ đến , được tính bằng tích phân:

Tính tích phân:

Vậy, diện tích hai cánh cửa cổng là: .

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 24 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho hai hàm số , .

a) Tính là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, hai đường thẳng và đồ thị hàm số

b) Tính là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, hai đường thẳng và đồ thị hàm số

c) Qua tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số

và các đường thẳng . (phần hình phẳng được gạch chéo trong Hình 4.15).

Phương pháp giải:

a) Tính diện tích bằng cách lấy tích phân của hàm số từ đến

b) Tính diện tích bằng cách lấy tích phân của hàm số từ đến .

c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị bằng cách lấy hiệu diện tích .

Lời giải chi tiết:

a) Tính

Diện tích là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, hai đường thẳng , và đồ thị hàm số :

Tính tích phân:

b) Tính

Diện tích là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, hai đường thẳng , và đồ thị hàm số :

Tính tích phân:

c) Tính diện tích hình phẳng giữa hai đồ thị

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị và trong khoảng đến là:

Vậy, diện tích hình phẳng giữa hai đồ thị là .

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 26 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tính diện tích hình phẳng được tô màu trong Hình 4.18.

Phương pháp giải:

- Xác định giao điểm của hai đường và bằng cách giải phương trình:

- Diện tích hình phẳng giữa hai đường cong và trong khoảng từ đến được tính bằng:

Lời giải chi tiết:

Giao điểm của hai đường và là:

Suy ra: , , và .

Vì trên khoảng từ đến 0, nằm trên , và trên khoảng từ 0 đến 1, nằm trên , ta có:

Tính tích phân:

Vậy diện tích hình phẳng là:

.

Giải mục 2 trang 26, 27, 28, 29, 30 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 26 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong không gian Oxyz, cho một khối nón có đỉnh , chiều cao bằng 8, bán kính đáy bằng 3, và có trục trùng với Ox. Khi cắt khối nón bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm () thì phần chung giữa mặt phẳng và khối nón là một hình tròn có diện tích thay đổi theo (Hình 4.19) (khối nón là phần không gian được giới hạn bởi một hình nón kể cả hình nón đó).

a) Tính thể tích của khối nón.

b) Viết biểu thức tính .

c) Tính và rút ra nhận xét.

Phương pháp giải:

a) Sử dụng công thức tính thể tích khối nón: .

b) Tìm bán kính tại điểm và từ đó suy ra biểu thức tính .

c) Tính thể tích bằng cách lấy tích phân của diện tích thiết diện theo .

Lời giải chi tiết:

a)

Công thức tính thể tích khối nón là:

Trong đó, và . Vậy:

Vậy thể tích của khối nón là .

b)

Bán kính tại điểm có thể tính từ tỉ lệ:

Suy ra:

Diện tích thiết diện là:

c)

Tính thể tích bằng cách lấy tích phân của diện tích thiết diện theo :

Tính tích phân:

Vậy kết quả tích phân là , khớp với thể tích tính theo công thức chuẩn.

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 28 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Bằng tích phân, tính thể tích của khối chóp có diện tích đáy bằng S và chiều cao h.

Phương pháp giải:

- Xác định hệ trục toạ độ.

- Tìm biểu thức diện tích của các mặt cắt ngang.

- Thiết lập tích phân tính thể tích.

Lời giải chi tiết:

Đặt hệ trục sao cho đáy của khối chóp nằm trên mặt phẳng và đỉnh khối chóp nằm trên trục , tại điểm .

Mỗi mặt cắt ngang song song với đáy tại một độ cao tạo thành một hình đồng dạng với đáy. Diện tích của mặt cắt tại độ cao , ký hiệu là , tỷ lệ với bình phương của tỷ lệ giữa khoảng cách từ mặt cắt đó đến đỉnh và tổng chiều cao . Ta có:

với là diện tích đáy.

Thể tích của khối chóp bằng tổng diện tích các mặt cắt ngang theo chiều cao từ 0 đến . Công thức tính thể tích là:

Thay vào:

Đặt , suy ra . Giới hạn tích phân thay đổi: khi , , và khi , . Tích phân trở thành:

Tính tích phân:

Thể tích của khối chóp là:

.

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 28 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng và , biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ thì phần chung giữa mặt phẳng và vật thể là một hình vuông có độ dài cạnh bằng .

Phương pháp giải:

Để tính thể tích của phần vật thể bị giới hạn bởi hai mặt phẳng và , ta sử dụng phương pháp tích phân thể tích theo mặt cắt ngang. Mặt cắt tại mỗi là một hình vuông có cạnh phụ thuộc vào . Thể tích của vật thể sẽ bằng tích phân diện tích của các mặt cắt đó dọc theo trục .

Lời giải chi tiết:

Diện tích mặt cắt tại vị trí là diện tích hình vuông có cạnh .

Diện tích của mặt cắt này là:

Thể tích của vật thể là tích phân diện tích các mặt cắt theo từ đến :

Chia tích phân thành hai phần:

Tính từng tích phân:

- Tích phân của :

Vậy thể tích của phần vật thể là:

HĐ4

Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 29 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Gọi là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số liên tục và không âm trên đoạn , trục hoành và các đường thẳng , . Quay xung quanh trục Ox tạo thành một khối tròn xoay (Hình 4.23). Khi cắt khối tròn xoay bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm , thì phần chung giữa mặt phẳng và khối tròn xoay là một hình tròn bán kính . Viết công thức tính diện tích hình tròn này, từ đó suy ra công thức tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành.

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức tính diện tích hình tròn để tính diện tích của mặt cắt: .

- Thể tích của khối tròn xoay được tính bằng cách tích phân diện tích các mặt cắt từ đến .

Lời giải chi tiết:

- Với mỗi , diện tích của mặt cắt là diện tích hình tròn có bán kính :

- Thể tích của khối tròn xoay được tính bằng tích phân diện tích của các mặt cắt theo :

- Đưa ra ngoài tích phân:

- Công thức tổng quát tính thể tích của khối tròn xoay quanh trục Ox, được tạo ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi hàm số trên đoạn , là:

LT5

Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 29 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường , , , .

Phương pháp giải:

Để tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường , , , quanh trục Ox, ta sẽ sử dụng phương pháp tính thể tích của khối tròn xoay quanh trục Ox.

Lời giải chi tiết:

Áp dụng công thức tổng quát tính thể tích của khối tròn xoay quanh trục Ox, ta có:

Ta tính từng tích phân riêng lẻ:

Thể tích khối tròn xoay là:

.

VD2

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 30 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Một thùng rượu vang có dạng khối tròn xoay với bán kính mặt đáy và mặt ở trên là 33 cm, bán kính mặt cắt ở chính giữa thùng là 43 cm. Chiều cao của thùng rượu là 112 cm, bao gồm phần thân thùng rượu, hai đế đỡ thùng rượu (mỗi đế cao 3 cm) và thùng rượu được ghép từ các thanh gỗ sồi với độ dày mỗi thanh gỗ là 3 cm (Hình 4.25a và Hình 4.25b). Hình 4.25c mô phỏng phần bên trong thùng rượu có dạng một khối tròn xoay tạo thành khi quay một phần của parabo quanh trục hoành.

a) Tìm , , .

b) Hỏi thùng rượu chứa được tối đa bao nhiêu lít rượu?

Phương pháp giải:

a) Xác định phương trình parabola từ các điều kiện:

-

b) Tính thể tích khối tròn xoay từ công thức tích phân:

Chuyển kết quả sang đơn vị lít.

Lời giải chi tiết:

a) Tìm , , :

- Phương trình parabola có dạng: .

- Dựa vào các điều kiện:

- Giải hệ phương trình (1) và (2) cho và :

- Vậy phương trình của parabol là:

b) Tính thể tích:

- Công thức thể tích:

- Áp dụng hằng đẳng thức:

- Tính các tích phân:

- Thể tích:

- Đổi sang lít:

Vậy thùng chứa được khoảng lít rượu.

Giải bài tập 4.19 trang 31 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Tính diện tích hình phẳng được gạch chép trong Hình 4.26.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hai số $y = f (x)$ , $y = g (x)$ và các đường thẳng $x = a$ , $x = b$ :

$S = \int_{a}^{b} | f (x) - g (x) | d x$ .

Lời giải chi tiết

Nhìn vào Hình 4.26 ta nhận thấy hình phẳng được giới hạn hai đồ thị hàm số là $y = x^{2} - 2 x - 2$ và $y = - x^{2} + 2$ và hai đường thẳng là $x = - 1$ , $x = 2$ .

Diện tích hình phẳng là:

$S = \int_{- 1}^{2} ∣ ∣ (x^{2} - 2 x - 2) - (- x^{2} + 2) ∣ ∣ d x = \int_{- 1}^{2} ∣ ∣ 2 x^{2} - 2 x - 4 ∣ ∣ d x$

Biểu thức $2 x^{2} - 2 x - 4$ âm trên $(- 1, 2)$ , nên:

$S = - \int_{- 1}^{2} (2 x^{2} - 2 x - 4) d x$

$\int (2 x^{2} - 2 x - 4) d x = \frac{2}{3} x^{3} - x^{2} - 4 x$

.

Giải bài tập 4.20 trang 31 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hàm số có đồ thị như Hình 4.27 và diện tích hai phần lần lượt bằng 11 và 2. Tính .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Xác định dấu của trên các khoảng và .

- Tính tích phân từ -2 đễn 1 dựa vào diện tích đã cho.

Lời giải chi tiết

- Từ đồ thi, ở bên trái trục tung và diện tích của là 11 (dương).

- Phằn nằm phía bên phải và diện tích của là 2 (âm do đồ thị ở dưới trục ).

- Tích phân từ -2 đến 1 của :

.

Giải bài tập 4.21 trang 31 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a) ;

b) ;

c) .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hai số , và các đường thẳng , :

.

Lời giải chi tiết

a)

b)

c)

Giải bài tập 4.22 trang 31 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Gọi là hình phẳng giới hạn bởi parabol và trục hoành. (Hình 4.28)

a) Tính diện tích của hình .

b) Từ thế kỉ thứ III trước Công nguyên, khi phép tính tích phân chưa ra đời, Archimedes đã dùng phương pháp của riêng mình và chỉ ra rằng diện tích của hình bằng lần diện tích tam giác . Tính theo kết quả mà Archimedes đã tìm ra và so sánh với kết quả ở câu a.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a)

Tính diện tích hình phẳng bằng tích phân xác định của hàm trên đoạn từ giao điểm của parabol với trục hoành.

Bước đầu tiên là tìm nghiệm của phương trình (giao điểm với trục hoành).

Sau đó, sử dụng tích phân xác định để tính diện tích hình phẳng.

b)

Diện tích của tam giác được tính theo công thức diện tích tam giác.

Sau đó, sử dụng kết quả mà Archimedes đã chỉ ra: Diện tích hình bằng lần diện tích của tam giác

Lời giải chi tiết

a)

- Phương trình parabol là:

- Tìm nghiệm của phương trình :

- Diện tích hình phẳng được tính bằng tích phân:

Tính tích phân:

Vậy diện tích hình phẳng .

b)

- Diện tích tam giác với , , và là:

- Theo Archimedes, diện tích hình bằng lần diện tích tam giác :

Kết quả này khớp với kết quả của câu a.

Giải bài tập 4.23 trang 32 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Tính thể tích $V$ của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x = 1$ và $x = 3$ , biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục $O x$ tại điểm có hoành độ $x$ $(1 \leq x \leq 3)$ thì phần chung giữa chúng là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là $3 x$ và $3 x - 2$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Thể tích của vật thể có tiết diện vuông góc với trục $O x$ là hình chữ nhật có diện tích thay đổi theo $x$ , được tính bằng tích phân:

$V = \int_{x_{1}}^{x_{2}} A (x) d x$ ,

trong đó $A (x)$ là diện tích của tiết diện tại hoành độ $x$ .

Lời giải chi tiết

- Diện tích tiết diện tại $x$ là:

$A (x) = 3 x \times (3 x - 2) = 9 x^{2} - 6 x .$

- Thể tích $V$ của vật thể được tính bằng tích phân:

$V = \int_{1}^{3} (9 x^{2} - 6 x) d x = {[3 x^{3} - 3 x^{2}]}_{1}^{3} = 54.$

Vậy thể tích của vật thể là $V = 54$ .

Giải bài tập 4.24 trang 32 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục hoành:

a) , , , .

b) , , , .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Thể tích khối tròn xoay quanh trục hoành được tính bởi công thức:

Lời giải chi tiết

a) Với , , , , ta có:

- Thể tích khối tròn xoay là:

- Tính tích phân:

- Vậy thể tích khối tròn xoay là:

b) Với , , , , ta có:

- Thể tích khối tròn xoay là:

- Khai triển biểu thức:

- Tính tích phân:

- Các tích phân lần lượt là:

- Vậy thể tích khối tròn xoay là:

.

Giải bài tập 4.25 trang 32 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Người ta tạo ra mô hình một quả trứng ngỗng bằng cách quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành với quanh trục hoành. Tính thể tích quả trứng, biết thể tích mô hình này xem như bằng thể tích quả trứng ngỗng và tính theo centimét.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay quanh trục hoành:

Lời giải chi tiết

- Thể tích khối tròn xoay là:

- Do hàm số là hàm chẵn, ta chỉ cần tính trên đoạn và nhân đôi kết quả:

- Tính tích phân:

- Thay cận 0 và 4,35:

- Thể tích cuối cùng là:

Vậy, thể tích của quả trứng là khoảng .

Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân - Toán 12 Cùng khám phá

Luyện trắc nghiệm Toán lớp 1 Lớp LOP12

Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub

Tải ứng dụng Tri Thức Hub