Bài 3. Vận dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải quyết một số bài toán quy hoạch tuyến tính

Hoạt động 1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 24 Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức

Trong bài toán mở đầu, gọi x và y lần lượt là số kilôgam sản phẩm loại I và loại II cần sản xuất.

a) Kí hiệu F(x; y) là lợi nhuận của xí nghiệp khi sản xuất x kg sản phẩm loại I và y kg sản phẩm loại II. Viết biểu thức tính F(x; y) theo x và y.

b) Lập hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn ràng buộc x và y thỏa mãn yêu cầu của bài toán.

c) Biểu diễn trên mặt phẳng toạ độ để thấy rằng miền nghiệm của hệ bất phương trình tìm được trong ý b là một miền tứ giác. Tìm toạ độ các đỉnh của miền tứ giác này.

d) Tính giá trị của F(x; y) tại các đỉnh của miền tứ giác tìm được trong ý b, từ đó dự đoán về mức lợi nhuận cao nhất.

Phương pháp giải:

Dựa trên dữ kiện đề bài và các kiến thức đã học về bất phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Lời giải chi tiết:

a) Lợi nhuận đem lại từ x kg sản phẩm loại I là 40x nghìn đồng.

Lợi nhuận đem lại từ y kg sản phẩm loại II là 30y nghìn đồng.

Khi đó, $F\left(x;y\right)=40x+30y$ (nghìn đồng).

b) Số kg nguyên liệu để sản xuất x kg sản phẩm loại I và y kg loại II là: 2x + 4y (kg).

Số giờ làm để sản xuất x kg sản phẩm loại I và y kg loại II là: 30x + 15y (giờ).

Vì xí nghiệp có 200 kg nguyên liệu và tối đa 1 200 giờ làm việc nên ta có:

c) Miền nghiệm của hệ bất phương trình trong ý b là miền tứ giác OABC được tô màu trong hình vẽ dưới đây, trong đó đường thẳng d₁: x + 2y = 100 và đường thẳng d₂: 2x + y = 80.

A là giao điểm của đường thẳng d₁ với trục tung nên A(0; 50).

B là giao điểm của hai đường thẳng d₁ và d­₂ nên B(20; 40).

C là giao điểm của đường thẳng d₂ với trục hoành nên C(40; 0).

Vậy các đỉnh của miền nghiệm là: O(0; 0), A(0; 50), B(20; 40), C(40; 0).

d) Ta có:

Dự đoán mức lợi nhuận cao nhất là 2 000 nghìn đồng, hay 2 triệu đồng.

Luyện tập 1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 26 Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức

Người ta dự định dùng hai loại nguyên liệu để chiết xuất ít nhất 140 kg chất X và 9 kg chất Y. Từ mỗi tấn nguyên liệu loại I giá 4 triệu đồng có thể chiết xuất được 20 kg chất X và 0,6 kg chất Y. Từ mỗi tấn nguyên liệu loại II giá 3 triệu đồng, có thể chiết xuất được 10 kg chất X và 1,5 kg chất Y. Cơ sở cung cấp nguyên liệu chỉ có thể cung cấp không quá 10 tấn nguyên liệu loại I và không quá 9 tấn nguyên liệu loại II.

Phải dùng bao nhiêu tấn nguyên liệu mỗi loại để chi phí mua nguyên liệu là ít nhất mà vẫn đáp ứng được các yêu cầu đặt ra ở trên?

a) Đặt ẩn và viết bài toán quy hoạch tuyến tính diễn tả yêu cầu của bài toán trên.

b) Biểu diễn tập các phương án chấp nhận được và tìm các phương án cực biên.

Phương pháp giải:

Giải tương tự ví dụ 1,2

Lời giải chi tiết:

a) Gọi x, y lần lượt là số tấn nguyên liệu loại I và loại II cần dùng (x ≥ 0, y ≥ 0).

Do cơ sở cung cấp nguyên liệu chỉ có thể cung cấp không quá 10 tấn nguyên liệu loại I và không quá 9 tấn nguyên liệu loại II nên x ≤ 10, y ≤ 9.

Số kg chất X chiết xuất được từ x tấn nguyên liệu loại I và y tấn nguyên liệu loại II là: 20x + 10y (kg).

Số kg chất Y chiết xuất được từ x tấn nguyên liệu loại I và y tấn nguyên liệu loại II là: 0,6x + 1,5y (kg).

Theo bài, cần chiết xuất ít nhất 140 kg chất X và 9 kg chất Y nên ta có hệ phương trình:

Gọi F(x; y) là chi phí mua nguyen liệu, khi đó F(x; y) = 4x + 3y (triệu đồng).

Vậy ta có bài toán quy hoạch tuyến tính như sau:

F(x; y) = 4x + 3y → min

với các ràng buộc 

b) Tập các phương án chấp nhận được là miền tứ giác ABCD được tô màu trong hình vẽ dưới đây:

Các đỉnh của miền nghiệm là: A(2,5; 9), B(10; 9), C(10; 2), D(5; 4).

Các đỉnh A,B,C, D là các phương án cực biên.

Hoạt động 2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 16 Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức

Ta giải bài toán Tình huống mở đầu.

Từ HĐ1 ta có bài toán quy hoạch tuyến tính sau:

F(x; y) = 40x + 30y → max

Với các ràng buộc

$\{\begin{array}{c}x+2y\le 100\\ 2x+y\le 80\\ x\ge 0,y\ge 0\end{array}$

Miền chấp nhận được S của bài toán là miền tứ giác tô màu trong Hình 2.3.

a) Tìm tập hợp các điểm M(x; y) thỏa mãn F(x; y) = 40x + 30y = 1 200.

b) Với mỗi số thực m xét đường thẳng d_m­: 40x + 30y = m.

Từ hình vẽ, tìm điều kiện của m để d_m ∩ S ≠ ∅.

c) Từ câu b suy ra giá trị lớn nhất của F(x; y) trên miền S, từ đó suy ra lời giải của bài toán.

Phương pháp giải:

Vẽ miền nghiệm. Tìm giao điểm các đường thẳng bờ của miền nghiệm, thay tọa độ vào hàm số xem giá trị nào lớn nhất.

Lời giải chi tiết:

a) Tập hợp điểm M(x; y) là tập các điểm nằm trên đường thẳng d: 4x + 3y = 120 nằm trong miền chấp nhận S, chính là tập hợp các điểm nằm trên đoạn thẳng đi qua điểm (30;0) và (0;40).

b) Từ hình vẽ, ta thấy đường thẳng d_m: 40x + 30y = m luôn cắt trục tung tại điểm có tung độ $y=\frac{m}{30}$.

Để d_m ∩ S ≠ ∅ thì $0\le \frac{m}{30}\le \frac{200}{3}$ hay $0\le m\le 2000$.

Vậy 0 ≤ m ≤ 2 000.

c) Ta có: F(x; y) = 40x + 30y = m, mà theo kết quả của câu b, ta có 0 ≤ m ≤ 2 000 nên 0 ≤ F(x; y) ≤ 2 000.

Vậy giá trị lớn nhất của F(x; y) trên miền S là 2 000.

Lời giải của bài toán:

Gọi x và y lần lượt là số kilôgam sản phẩm loại I và loại II cần sản xuất.

Lợi nhuận của xí nghiệp khi sản xuất x kg sản phẩm loại I và y kg sản phẩm loại II là: F(x; y) = 40x + 30y (nghìn đồng).

Số kg nguyên liệu để sản xuất x kg sản phẩm loại I và y kg loại II là: 2x + 4y (kg).

Số giờ làm để sản xuất x kg sản phẩm loại I và y kg loại II là: 30x + 15y (giờ).

Vì xí nghiệp có 200 kg nguyên liệu (lượng nguyên liệu sử dụng không vượt quá lượng có sẵn) và tối đa 1 200 giờ làm việc nên ta có hệ:

$\{\begin{array}{c}2x+4y\le 200\\ 30x+15y\le 1200\\ x\ge 0,y\ge 0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x+2y\le 100\\ 2x+y\le 80\\ x\ge 0,y\ge 0\end{array}$

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền tứ giác OABC được tô màu trong hình vẽ dưới đây, trong đó đường thẳng d₁: x + 2y = 100 và đường thẳng d₂: 2x + y = 80.

Ta có: F(20;40) = 2 000; F(0;50) = 1 500; F(0;40) = 1 200; F(0;0) = 0.

Giá trị lớn nhất của F(x; y) trên miền S là 2 000.

Vậy lợi nhuận cao nhất mà xí nghiệp đạt được là 2 000 nghìn đồng, tức 2 triệu đồng khi sản xuất 20 kg sản phẩm loại I và 40 kg sản phẩm loại II.

Luyện tập 2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 26 Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức

Một công ty cần thuê xe để chở 140 người và 9 tấn hàng. Nơi thuê xe có hai loại xe A và B, trong đó loại xe A có 10 chiếc và loại xe B có 9 chiếc. Một chiếc xe loại A cho thuê với giá 4 triệu đồng, một chiếc xe loại B cho thuê với giá 3 triệu đồng. Biết rằng mỗi xe loại A có thể chở tối đa 20 người và 0,6 tấn hàng; mỗi xe loại B có thể chở tối đa 10 người và 1,5 tấn hàng. Phải thuê bao nhiêu xe loại A và bao nhiêu xe loại B để chi phí bỏ ra là ít nhất mà vẫn chở được hết hàng và người?

Phương pháp giải:

Vẽ miền nghiệm. Tìm giao điểm các đường thẳng bờ của miền nghiệm, thay tọa độ vào hàm số xem giá trị nào lớn nhất.

Lời giải chi tiết:

Gọi x và y lần lượt là số xe loại A và loại B cần thuê.

Chi phí thuê xe là: F(x; y) = 4x + 3y (triệu đồng).

Hệ bất phương trình ràng buộc x và y là:

$\{\begin{array}{c}20x+10y\ge 140\\ 0,6x+1,5y\ge 9\\ 0\le x\le 10\\ 0\le y\le 9\end{array}$

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền tứ giác ABCD trong hình vẽ dưới đây:

Các điểm cực biên là: A(2,5; 9), B(10; 9), C(10; 2), D(5; 4).

Ta có:

F(2,5; 9) = 4.2,5 + 3.9 = 37;

F(10; 9) = 4.10 + 3.9 = 67;

F(10; 2) = 4.10 + 3.2 = 46;

F(5; 4) = 4.5 + 3.4 = 32.

Giá trị nhỏ nhất của F(x; y) bằng 32 tại D(5; 4)

Vậy chi phí thuê xe thấp nhất là 32 triệu đồng khi thuê 5 xe loại A và 4 xe loại B.

Hoạt động 3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức

Xét bài toán quy hoạch tuyến tính

F(x; y) = 3x + 4y → min

với các ràng buộc

a) Kiểm tra lại rằng miền S tô màu trong Hình 2.6 là miền chấp nhận được của bài toán.

b) Tìm tập hợp các điểm M(x; y) thoả mãn

F(x; y) = 3x + 4y = 12.

c) Với mỗi số thực m, xét đường thẳng

d_m: 3x + 4y = m.

Từ hình vẽ, tìm điều kiện của m để d_m ∩ S ≠ ∅.

d) Từ phần c suy ra giá trị nhỏ nhất của F(x; y) trên miền chấp nhận được. Chứng tỏ rằng, giá trị nhỏ nhất này chính là giá trị của F(x; y) tại một điểm cực biên của miền chấp nhận được.

Phương pháp giải:

Bài toán yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất của F(x; y) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình trên. Vì miền chấp nhận được không là miền đa giác và có x ≥ 0, y ≥ 0 nên F(x; y) có giá trị nhỏ nhất trên S và đạt được tại một trong các điểm cực biên của miền chấp nhận được.

Lời giải chi tiết:

a) Ta thấy rằng miền S tô màu trong Hình 2.6 là miền chấp nhận được của bài toán.

b) Theo bài, F(x; y) = 3x + 4y = 12.

Vậy tập hợp điểm M(x; y) thỏa mãn yêu cầu đề bài là tập hợp các điểm nằm trên đường thẳng d: 3x + 4y = 12 nằm trong miền S.

b) Vì đường thẳng d_m song song với đường thẳng (d) nên đường thẳng d_m: 3x + 4y = m luôn cắt trục tung tại điểm có tung độ .

Để d_m ∩ S ≠ ∅ thì  hay m ≥ 10.

Vậy m ≥ 10.

c) Ta có: F(x; y) = 3x + 4y = m, mà theo kết quả của câu b, ta có m ≥ 10 nên F(x; y) ≥ 10.

Vậy giá trị nhỏ nhất của F(x; y) trên miền S là 10.

Ta có các điểm cực biên của miền S là: (0; 3), (2; 1), (4; 0).

⦁ F(0; 3) = 3.0 + 4.3 = 12;

⦁ F(2; 1) = 3.2 + 4.1 = 10;

⦁ F(4; 0) = 3.4 + 4.0 = 12.

Vậy giá trị nhỏ nhất của F(x; y) trên miền S chính là giá trị của F(x; y) tại điểm cực biên có tọa độ (2; 1) của miền chấp nhận được.

Luyện tập 3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 32 Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức

Giải bài toán quy hoạch tuyến tính sau:

F(x; y) = x + 2y → min

với các ràng buộc

Phương pháp giải:

Bài toán yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất của F(x; y) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình trên. Vì miền chấp nhận được không là miền đa giác và có x ≥ 0, y ≥ 0 nên F(x; y) có giá trị nhỏ nhất trên S và đạt được tại một trong các điểm cực biên của miền chấp nhận được.

Lời giải chi tiết:

Miền nghiệm S của hệ bất phương trình không là miền đa giác và được tô màu như hình vẽ dưới đây:

Có ba điểm cực biên là A(0; 1), B(0,5; 0,5), C(1,5; 0).

Ta có:

F(0; 1) = 2.

F(0,5; 0,5) = 1,5.

F(1,5; 0) = 1,5.

Vậy hệ có hai nghiệm thỏa mãn là B(0,5; 0,5) và C(1,5; 0).

Vận dụng

Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 32 Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức

Một chủ trang trại cần sử dụng phân bón để chăm sóc cho một loại đậu tương. Loại đậu tương này cần ít nhất 18 đơn vị đạm và ít nhất 6 đơn vị phosphate. Ông chủ trang trại có thể sử dụng hai loại phân bón X và Y. Giá cả, hàm lượng đạm và hàm lượng phosphate có trong một tạ phân X và một tạ phân Y được cho bởi bảng sau:

Hãy cho biết cần phải mua bao nhiêu tạ phân loại X, bao nhiêu tạ phân loại Y để chi phí là thấp nhất mà vẫn đảm bảo chế độ dinh dưỡng cho loại đậu tương trên?

Phương pháp giải:

Bài toán yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất của F(x; y) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình trên. Vì miền chấp nhận được không là miền đa giác và có x ≥ 0, y ≥ 0 nên F(x; y) có giá trị nhỏ nhất trên S và đạt được tại một trong các điểm cực biên của miền chấp nhận được.

Lời giải chi tiết:

Gọi x, y lần lượt là số tạ phân bón loại X là Y cần phải mua.

Chi phí mua phân bón là: F(x; y) = 1,7x + 1,2y (triệu đồng).

Hệ bất phương trình ràng buộc x và y là

Miền nghiệm S của hệ bất phương trình không là miền đa giác và được tô màu như hình vẽ dưới đây:

Các điểm cực biên là: A(0; 6), B(2; 2), C(6; 0).

Ta có:

F(0; 6) = 1,7.0 + 1,2.6 = 7,2

F(2; 2) = 1,7.2 + 1,2.2 = 5,8

F(6; 0) = 1,7.6 + 1,2.0 = 10,2

Do đó giá trị nhỏ nhất của F(x; y) bằng 5,8 triệu đồng tại điểm B(2; 2).

Vậy cần phải mua 2 tạ phân bón loại X và 2 tạ phân bón loại Y để chi phí là thấp nhất mà vẫn đảm bảo chế độ dinh dưỡng cho loại đậu tương trên.