Bài 3. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn - Toán 9 Cùng khám phá

Lý thuyết Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Toán 9 Cùng khám phá

Đường thẳng và đường tròn được gọi là cắt nhau nếu chúng có đúng hai điểm chung phân biệt.

Đường thẳng và đường tròn được gọi là tiếp xúc nhau nếu chúng có đúng một điểm chung.

Đường thẳng và đường tròn được gọi là không giao nhau nếu chúng không có điểm chung nào.

Lưu ý:

- Nếu đường thẳng cắt đường tròn thì nó được gọi là cát tuyến của đường tròn. Điểm chung của đường tròn và cát tuyến được gọi là giao điểm của chúng.

- Khi đường thẳng tiếp xúc với đường tròn thì điểm chung của chúng được gọi là tiếp điểm và đường thẳng được gọi là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm đó.

Vị trí tương đối của đường thẳng a và đường tròn (O;R) có thể được xác định dựa vào mối quan hệ giữa R và d như trong bảng dưới đây:

Giải câu hỏi khởi động trang 107 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Vị trí của mặt trời so với đường chân trời có gì khác biệt trong các Hình 5.24a, b và c?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Quan sát hình và nêu vị trí của mặt trời so với đường chân trời.

Lời giải chi tiết

Hình 5.24a: Mặt trời bị khuất một phần bởi đường chân trời.

Hình 5.24b: Mặt trời “tiếp xúc” với đường chân trời.

Hình 5.24c: Mặt trời nằm phía trên so với đường chân trời.

Giải câu hỏi trang 107, 108, 109 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

HĐ

Trả lời câu hỏi Hoạt động trang 107 SGK Toán 9 Cùng khám phá

Hình 5.25 thể hiện vị trí tương đối khác nhau của đường thẳng a và đường tròn (O) khi đường thẳng a di chuyển từ ngoài về gần tâm O của đường tròn. Nêu số điểm chung của đường thẳng a và đường tròn (O) trong mỗi trường hợp.

Phương pháp giải:

Quan sát hình và đếm số điểm chung của đường thẳng a đường tròn (O).

Lời giải chi tiết:

Hình 5.25a: Đường thẳng a và đường tròn (O) không có điểm chung.

Hình 5.25b: Đường thẳng a và đường tròn (O) có 1 điểm chung.

Hình 5.25c: Đường thẳng a và đường tròn (O) có 2 điểm chung.

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 108 SGK Toán 9 Cùng khám phá

Xác định vị trí tương đối của đường tròn (O) với các đường thẳng a, b và c trong Hình 5.26. Chỉ ra tiếp điểm, giao điểm của chúng (nếu có).

Phương pháp giải:

Đường thẳng và đường tròn được gọi là cắt nhau nếu chúng có đúng 2 điểm chung phân biệt.

Đường thẳng và đường tròn được gọi là tiếp xúc nhau nếu chúng có đúng 1 điểm chung.

Đường thẳng và đường tròn được gọi là không giao nhau nếu chúng không có điểm chung nào.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng a và đường tròn (O) không giao nhau.

Đường thẳng b và đường tròn (O) tiếp xúc nhau tại tiếp điểm M.

Đường thẳng c và đường tròn (O) cắt nhau tại hai điểm N và P.

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 109 SGK Toán 9 Cùng khám phá

Xác định vị trí tương đối của đường thẳng a đến đường tròn (O; 7cm) nếu khoảng cách từ O đến a bằng:

a) 4cm;

b) 9cm;

c) 7cm.

Phương pháp giải:

Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng a. Đặt d là khoảng cách từ O đến đường thẳng a. Vị trí tương đối của đường thẳng a và đường tròn (O; R) có thể được xác định dựa vào mối quan hệ giữa R và d như sau:

+ Nếu thì đường thẳng a và đường tròn (O) không giao nhau.

+ Nếu thì đường thẳng a và đường tròn (O) tiếp xúc nhau.

+ Nếu thì đường thẳng a và đường tròn (O) cắt nhau.

Lời giải chi tiết:

a) Vì nên đường thẳng a và đường tròn (O) cắt nhau.

b) Vì nên đường thẳng a và đường tròn (O) không giao nhau.

c) Vì nên đường thẳng a và đường tròn (O) tiếp xúc nhau.

VD

Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 105 SGK Toán 9 Cùng khám phá

Trong Hình 5.27, mỗi ô vuông tương ứng với độ dài 1m. Có thể quây một hàng rào tròn bán kính 5m với tâm tại vị trí cây xanh O mà không cắt vào đường bao XY và YZ không?

Phương pháp giải:

+ Dựa vào định lí Pythagore tính độ dài OA, OB.

+ So sánh OA, OB với 5m để rút ra kết luận.

Lời giải chi tiết:

Ta có: _,.

Vì nên .

Do đó, không thể quây một hàng rào tròn bán kính 5m với tâm tại vị trí cây xanh O mà không cắt vào đường bao XY và YZ.

Giải bài tập 5.11 trang 109 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Thay các ô ? trong bảng dưới đây bằng một độ dài hoặc một khẳng định thích hợp.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng a. Đặt d là khoảng cách từ O đến đường thẳng a. Vị trí tương đối của đường thẳng a và đường tròn (O; R) có thể được xác định dựa vào mối quan hệ giữa R và d như sau:

+ Nếu thì đường thẳng a và đường tròn (O) không giao nhau.

+ Nếu thì đường thẳng a và đường tròn (O) tiếp xúc nhau.

+ Nếu thì đường thẳng a và đường tròn (O) cắt nhau.

Lời giải chi tiết

Giải bài tập 5.12 trang 110 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(2; 5). Xác định:

a) Vị trí tương đối của đường tròn tâm M, bán kính 3 với hai trục Ox và Oy;

b) Bán kính của đường tròn tâm M tiếp xúc với trục Ox.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng a. Đặt d là khoảng cách từ O đến đường thẳng a. Vị trí tương đối của đường thẳng a và đường tròn (O; R) có thể được xác định dựa vào mối quan hệ giữa R và d như sau:

+ Nếu thì đường thẳng a và đường tròn (O) không giao nhau.

+ Nếu thì đường thẳng a và đường tròn (O) tiếp xúc nhau.

+ Nếu thì đường thẳng a và đường tròn (O) cắt nhau.

Lời giải chi tiết

a) Khoảng cách từ M đến trục Oy bằng 2. Vì nên đường tròn tâm M, bán kính 3 cắt trục Oy.

Khoảng cách từ M đến trục Ox bằng 5. Vì nên đường tròn tâm M, bán kính 3 và trục Ox không giao nhau.

b) Để đường tròn tâm M tiếp xúc với trục Ox thì bán kính đường tròn tâm M bằng khoảng cách từ M đến trục Ox. Do đó, bán kính đường tròn tâm M bằng 5.

Giải bài tập 5.13 trang 110 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho đường tròn (O; 12cm) và điểm A cách O là 8cm. Hãy xác định vị trí tương đối của (O) và đường thẳng d đi qua A vuông góc OA.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng a. Đặt d là khoảng cách từ O đến đường thẳng a. Vị trí tương đối của đường thẳng a và đường tròn (O; R) có thể được xác định dựa vào mối quan hệ giữa R và d như sau:

+ Nếu thì đường thẳng a và đường tròn (O) không giao nhau.

+ Nếu thì đường thẳng a và đường tròn (O) tiếp xúc nhau.

+ Nếu thì đường thẳng a và đường tròn (O) cắt nhau.

Lời giải chi tiết

Vì d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với OA nên khoảng cách từ O đến đường thẳng d là .

Vì nên đường thẳng d và đường tròn (O) cắt nhau.

Giải bài tập 5.14 trang 110 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm A nằm trong (O) . Vẽ đường thẳng a bất kì đi qua A. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng a và đường tròn (O).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng a. Đặt d là khoảng cách từ O đến đường thẳng a. Vị trí tương đối của đường thẳng a và đường tròn (O; R) có thể được xác định dựa vào mối quan hệ giữa R và d như sau:

+ Nếu thì đường thẳng a và đường tròn (O) không giao nhau.

+ Nếu thì đường thẳng a và đường tròn (O) tiếp xúc nhau.

+ Nếu thì đường thẳng a và đường tròn (O) cắt nhau.

Lời giải chi tiết

Qua O dựng đường thẳng vuông góc với đường thẳng a tại D. Khi đó, OD là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a.

Vì tại D nên tam giác OAD vuông tại D. Do đó, .

Mà nên .

Do đó, đường thẳng a và đường tròn (O) cắt nhau.

Giải bài tập 5.15 trang 110 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Trong Hình 5.28, các cuộn thép được đặt chồng lên nhau. Đường kính của mỗi cuộn thép là 1,2m. Gọi A, B, C lần lượt là tâm của mặt cắt các cuộn thép, H là tiếp điểm của hai cuộn thép phía dưới.

a) Chứng minh là tam giác đều và tính độ dài AH.

b) Tính khoảng cách từ B và C đến mặt đất.

c) Tính chiều cao h của khối ba cuộn thép.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) + Gọi I là tiếp điểm của mặt cắt của các cuộn thép tâm A và tâm C, K là tiếp điểm của mặt cắt của các cuộn thép tâm A và tâm B.

+ Tính bán kính của các đường tròn (A), (B), (C).

+ Từ đó tính được nên tam giác ABC đều.

+ Chứng minh AH là đường trung tuyến đồng thời là đường cao trong tam giác ABC đều.

+ Áp dụng định lí Pythagore để tính AH.

b) Đường tròn tâm (B), (C) tiếp xúc với mặt đất nên khoảng cách từ B, C đến mặt đất bằng bán kính của đường tròn tâm (B), (C).

c) + Chiều cao của ba cuộn thép bằng tổng đường kính của hai đường tròn tâm A và tâm C.

Lời giải chi tiết

Gọi I là tiếp điểm của mặt cắt của các cuộn thép tâm A và tâm C, K là tiếp điểm của mặt cắt của các cuộn thép tâm A và tâm B.

a) Vì AI, AK là bán kính đường tròn (A) nên

.

Vì BH, BK là bán kính đường tròn (B) nên

.

Vì CI, CH là bán kính đường tròn (C) nên

.

Vì các cuộn thép tâm A, B, C đặt chồng lên nhau nên các mặt cắt của các cuộn thép tâm A, B, C tiếp xúc ngoài nhau.

Do đó,

Suy ra: .

Vậy là tam giác đều

Mà AH là đường trung tuyến của tam giác ABC (vì ) nên AH là đường cao của tam giác ABC. Suy ra, tam giác AHC vuông tại H.

Do đó, (định lí Pythagore), suy ra

b) Vì đường tròn tâm (B), (C) tiếp xúc với mặt đất nên khoảng cách từ B, C đến mặt đất bằng bán kính của đường tròn tâm (B), (C).

Do đó, khoảng cách từ B và C đến mặt đất đều bằng 0,6m.

c) Vì các cuộn thép tâm A, B, C tiếp xúc ngoài nhau nên chiều cao h của khối ba cuộn thép là:

Bài 3. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn - Toán 9 Cùng khám phá

Luyện trắc nghiệm Toán lớp 1 Lớp LOP9

Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub

Tải ứng dụng Tri Thức Hub