Bài 31. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
Giải bài 9.1 trang 57 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Đề bài
Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của hàm số \(y = 2{x^2} + 3x - 1\) tại điểm \({x_0} = 1\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Để tính đạo hàm của hàm số \(y = f(x)\) tại điểm \({x_0} \in (a;b)\), ta thực hiện theo các bước sau:
1. Tính \(f(x) - f\left( {{x_0}} \right)\).
2. Lập và rút gọn tỉ số \(\frac{{f(x) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) với \(x \in (a;b),x \ne {x_0}\).
3. Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\).
Lời giải chi tiết
\(y'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2{x^2} + 3x - 1 - 4}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2{x^2} + 3x - 5}}{{x - 1}}\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)(2x + 5)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (2x + 5) = 7\).
Giải bài 9.2 trang 57 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Đề bài
Cho hàm số \(f\left( x \right) = x{\left( {2x - 1} \right)^2}\). Tính \(f'\left( 0 \right)\) và \(f'\left( 1 \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Để tính đạo hàm của hàm số \(y = f(x)\) tại điểm \({x_0} \in (a;b)\), ta thực hiện theo các bước sau:
1. Tính \(f(x) - f\left( {{x_0}} \right)\).
2. Lập và rút gọn tỉ số \(\frac{{f(x) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) với \(x \in (a;b),x \ne {x_0}\).
3. Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\).
Lời giải chi tiết
\(f'(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x{{(2x - 1)}^2}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {{{(2x - 1)}^2}} \right] = {( - 1)^2} = 1\).
Để tính \(f'\left( 1 \right)\), ta phân tích:
\({f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}= x{{(2x - 1)}^2} - 1 \)
\(= \left( {x - 1} \right){{(2x - 1)}^2} + {{(2x - 1)}^2} - 1\)
\( = \left( {x - 1} \right){(2x - 1)^2} + 4x\left( {x - 1} \right).\)
Khi đó, \(f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {{{\left( {2x - 1} \right)}^2} + 4x} \right] = 5\).
Giải bài 9.3 trang 57 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Đề bài
Cho hàm số . Tính .
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tìm giới hạn bên phải và bên trái tại điểm .
Ta có và , .
Nếu thì .
Lời giải chi tiết
Tìm giới hạn bên phải và bên trái tại điểm .
Ta có và
.
Vậy .
Giải bài 9.4 trang 57 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Đề bài
Tính đạo hàm của hàm số
a) \(y = a{x^2}\) (\(a\) là hằng số) tại điểm \({x_0}\) bất kì.
b) \(y = \frac{1}{{x - 1}}\) tại điểm \({x_0}\) bất kì, \({x_0} \ne 1\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Để tính đạo hàm của hàm số \(y = f(x)\) tại điểm \({x_0} \in (a;b)\), ta thực hiện theo các bước sau:
1. Tính \(f(x) - f\left( {{x_0}} \right)\).
2. Lập và rút gọn tỉ số \(\frac{{f(x) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) với \(x \in (a;b),x \ne {x_0}\).
3. Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\).
Lời giải chi tiết
a) \(y'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ax_{}^2 - ax_0^2}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} a\left( {x + {x_0}} \right) = 2a{x_0}\)
b) \(y'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\frac{1}{{x - 1}} - \frac{1}{{{x_0} - 1}}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ { - \frac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x_0} - 1} \right)}}} \right] = - \frac{1}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}},{x_0} \ne 1\)
Giải bài 9.5 trang 57 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Đề bài
Tìm tọa độ điểm trên đồ thị hàm số , biết hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại bằng .
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Nếu hàm số có đạo hàm tại điểm tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hệ số góc .
Gọi là toạ độ điểm cần tìm.
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại là .
Theo giả thiết: .
Tìm toạ độ điểm M.
Lời giải chi tiết
Gọi là toạ độ điểm cần tìm.
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại là .
Theo giả thiết: .
Vậy và là toạ độ các điểm cần tìm.
Giải bài 9.6 trang 57 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Đề bài
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=−3x2, biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng có phương trình .
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng ý nghĩa hình học của đạo hàm.
Tính đạo hàm của hàm số .
Giả sử là tiếp điểm của tiếp tuyến với parabol .
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng .
Ta suy ra .
Từ đó suy ra phương trình tiếp tuyến.
Lời giải chi tiết
Ta có .
Giả sử là tiếp điểm của tiếp tuyến với parabol .
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng nên .
Phương trình tiếp tuyến là thoả mãn.
Giải bài 9.7 trang 57 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Đề bài
Vị trí của một vật chuyển động thẳng được cho bởi phương trình , trong đó tính bằng giây và tính bằng mét. Tính vận tốc của vật tại các thời điểm giây và giây.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Nếu phương trình chuyển đợng của vật là thì là vận tốc tức thời của vật tại thời điểm .
Lời giải chi tiết
.
Vận tốc của vật tại thời điểm giây là m/s.
Tương tự, m/s.
Luyện trắc nghiệm Toán lớp 1 Lớp LOP11
Học đi đôi với hành! Làm ngay các bộ đề trắc nghiệm chấm điểm tức thì, có đáp án chi tiết giúp ghi nhớ kiến thức sâu và chuẩn bị tốt cho các bài kiểm tra.
Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub
Tải ứng dụng Tri Thức Hub trên điện thoại hoặc máy tính bảng (hỗ trợ Android & iOS) để làm bài kiểm tra, luyện tập và lưu tiến độ học tập!