Bài 32. Các quy tắc tính đạo hàm

Giải bài 9.8 trang 60 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) ;

b) .

Lời giải chi tiết

Dùng quy tắc và công thức đạo hàm của hàm số hợp.

a)

.

b) .

Giải bài 9.9 trang 60 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) ;

b) .

Lời giải chi tiết

a) .

b) .

Giải bài 9.10 trang 60 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}$ và $g\left(x\right)=\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}+x^2$. Tính $f^{\prime }\left(0\right)-g^{\prime }\left(1\right)$.

Lời giải chi tiết

Dùng quy tắc tính đạo hàm $f^{\prime }\left(x\right),g^{\prime }\left(x\right)$ và thay giá trị tương ứng.

 Ta có:

$f^{\prime }\left(x\right)=\frac{\sqrt{4-x^2}+\frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}}{{\left(\sqrt{4-x^2}\right)}^2}=\frac{4}{\left(4-x^2\right)\sqrt{4-x^2}}$

$g^{\prime }\left(x\right)=-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{2x\sqrt{x}}+2x$.

Do đó, $f^{\prime }\left(0\right)=\frac{1}{2},g^{\prime }\left(1\right)=\frac{1}{2}$ và $f^{\prime }\left(0\right)-g^{\prime }\left(1\right)=0$.

Giải bài 9.11 trang 60 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tính đạo hàm của hàm số .

Lời giải chi tiết

.

Giải bài 9.12 trang 60 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hàm số $f\left(x\right)={\cos }^{2}x+{\cos }^2\left(\frac{2\pi }{3}+x\right)+{\cos }^2\left(\frac{2\pi }{3}-x\right)$. Tính đạo hàm và chứng tỏ với mọi .

Lời giải chi tiết

.

Giải bài 9.13 trang 60 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hàm số $f\left(x\right)=4{\sin }^2\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$. Chứng minh rằng $\left|f^{\prime }\left(x\right)\right|\le 8$ với mọi . Tìm để .

Lời giải chi tiết

Ta có:

Từ đó suy ra: .

.

Giải bài 9.14 trang 60 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Biết y là hàm số của x thoả mãn phương trình xy = 1 + lny. Tính y'(0).

Lời giải chi tiết

Tại x = 0, thay vào phương trình ta được:

$1+\ln y=0\iff y=e^{-1}=\frac{1}{e}$.

Đạo hàm hai vế phương trình, ta có:

${\left(xy\right)}^{\prime }={\left(1+\ln y\right)}^{\prime }\iff x^{\prime }y+x{y}^{\prime }=1^{\prime }+{\left(\ln y\right)}^{\prime }$

$\iff y+x{y}^{\prime }=\frac{y^{\prime }}{y}\iff y=\frac{y^{\prime }}{y}-x{y}^{\prime }\iff y=y^{\prime }\left(\frac{1}{y}-x\right)$

$\iff y=y^{\prime }\left(\frac{1}{y}-x\right)\iff y=y^{\prime }\left(\frac{1-xy}{y}\right)$

$\iff y^2=y^{\prime }\left(1-xy\right)\iff y^{\prime }=\frac{y^2}{1-xy}$.

Vậy $y^{\prime }\left(0\right)=\frac{{\left(\frac{1}{e}\right)}^2}{1-0.\frac{1}{e}}=\frac{1}{e^2}$.

Giải bài 9.15 trang 60 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc ban đầu là (bỏ qua sức cản của không khí) thì độ cao của vật (tính bằng mét) sau giây được cho bởi công thức ( là gia tốc trọng trường). Tìm vận tốc của vật khi chạm đất.

Lời giải chi tiết

Tại thời điểm vật chạm đất: .

Giải phương trình ta được .

Vận tốc của vật khi chạm đất là .

Giải bài 9.16 trang 60 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Chuyển động của một hạt trên một dây rung được cho bởi công thức \(s\left( t \right) = 10 + \sqrt 2 \sin \left( {4\pi t + \frac{\pi }{6}} \right)\), trong đó \(s\) tính bằng centimét và \(t\) tính bằng giây. Tính vận tốc của hạt sau \(t\) giây. Vận tốc cực đại của hạt là bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Lời giải chi tiết

Vận tốc của hạt sau \(t\) giây là: \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = 4\pi \sqrt 2 {\rm{cos}}\left( {4\pi t + \frac{\pi }{6}} \right)\).

Vận tốc cực đại của hạt là: \({v_{{\rm{max}}}} = 4\pi \sqrt 2  \approx 17,8{\rm{\;m}}/{\rm{s}}\), đạt được khi:\(\left| {{\rm{cos}}\left( {4\pi t + \frac{\pi }{6}} \right)} \right| = 1 \Leftrightarrow 4\pi t + \frac{\pi }{6} = \pi  + k\pi  \Leftrightarrow t = \frac{5}{{24}} + \frac{k}{4},k \in \mathbb{N}.\)