Bài 34. Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác

Giải Bài 9.14 trang 55 sách bài tập toán 7 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho góc xAy và một điểm G trong góc đó. Lấy hai điểm M, N trên tia AG sao cho \(AM = \dfrac{3}{2}AG;AN = 2AM\). Qua N kẻ đường thẳng song song với đường thẳng chứa tia Ax, nó cắt Ay tại C. Đường thẳng CM cắt Ax tại B.

a)Chứng minh hai tam giác ABM và NCM bằng nhau, từ đó suy ra AM là đường trung tuyến của tam giác ABC.

b) Chứng minh rằng G là trọng tâm của tam giác ABC vừa dựng được. 

Lời giải chi tiết

a)

Xét \(\Delta ABM\)và \(\Delta NCM\) có:

\(\widehat {MAB} = \widehat {MNC}\)(2 góc so le trong NC // Ax)

\(\widehat {AMB} = \widehat {NMC}\)(2 góc đối đỉnh)

AN = 2AM =>AM = NM

\( \Rightarrow \Delta ABM = \Delta NCM\left( {g - c - g} \right)\)

\( \Rightarrow MB = MC\)(cạnh tương ứng)

\( \Rightarrow M\)là trung điểm của BC

Vậy AM là đường trung tuyến của tam giác ABC.

b)

Ta có: Điểm G nằm trên đường trung tuyến AM của tam giác ABC

\(AM = \dfrac{3}{2}AG \Rightarrow AG = \dfrac{2}{3}AM\)

Vậy G là trọng tâm tam giác ABC. 

Giải Bài 9.15 trang 55 sách bài tập toán 7 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Gọi M là trung điểm của cạnh BC của tam giác ABC và D là điểm sao cho M là trung điểm của AD. Đường thẳng qua D và trung điểm của AB cắt BC tại U, đường thẳng qua D và trung điểm của AC cắt BC tại V. Chứng minh BU = UV = VC.

Lời giải chi tiết

-Xét tam giác ABD có:

M là trung điểm của AD, DU đi qua trung điểm AB

=>BM và DU là 2 đường trung tuyến của tam giác

Mà BM cắt DU tại U

=>U là trọng tâm tam giác ABD.

\( \Rightarrow BU = 2UM = \dfrac{2}{3}BM\)(1)

-Xét tam giác ACD:

M là trung điểm của AD, DV đi qua trung điểm AC

=>CM và DV là 2 đường trung tuyến của tam giác

Mà CM cắt DV tại V

=>V là trọng tâm tam giác ACD.

\( \Rightarrow CV = 2MV = \dfrac{2}{3}MC\)(2)

Mà M là trung điểm BC

\( \Rightarrow MB = MC\)

Lại có: UV = UM + MV = \(\dfrac{1}{3}BM + \dfrac{1}{3}CM = \dfrac{1}{3}BM + \dfrac{1}{3}BM = \dfrac{2}{3}BM\) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:

BU = UV = VC. 

Giải Bài 9.16 trang 55 sách bài tập toán 7 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

a)Gọi I là giao điểm của hai đường phân giác BE và CF của tam giác ABC. Đường thẳng qua I song song với BC cắt AB tại J và cắt AC tại K. Chứng minh: JK = BJ + CK.

b)Đường thẳng qua B vuông góc với BI cắt đường thẳng qua C vuông góc với CI tại điểm I’. Qua I’ kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại J’, cắt AC tại K’. Chứng minh J’K’ = BJ’ + CK’.

Lời giải chi tiết

a)

Ta có: BI là phân giác góc FBC

Lại có: JK // BC

(2 góc so le trong)

cân tại J

Chứng minh tương tự: KI = KC

Ta có:

          

b)

Ta có:

là tia phân giác của góc tạo bởi BC và tia đối của tia BA (phân giác góc ngoài tại B)

(Tính chất tia phân giác)

Lại có: BC // J’K’

(2 góc so le trong)

cân tại J’

Chứng minh tương tự: K’C = K’I’

Ta có:

J’K’ = J’I’ + I’K’ = BJ’ + CK’ (đpcm) 

Giải Bài 9.17 trang 55 sách bài tập toán 7 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tam giác ABC có AD, BE là hai đường phân giác và . Chứng minh rằng DE là tia phân giác của góc ADC.

Lời giải chi tiết

Gọi Ax là tia đối của tia AB (2 góc kề bù)

AD là phân giác góc BAC

Hạ

Ta có:

EH = EK (vì BE là phân giác góc ABC)

EH = EI (vì AE là phân giác góc DAx)

Vậy E nằm trên tia phân giác của góc ADC. 

Giải Bài 9.18 trang 55 sách bài tập toán 7 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam giác ABC với M là trung điểm của BC. Lấy điểm N sao cho C là trung điểm của đoạn thẳng BN. Lấy điểm P sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AP. Chứng minh đường thẳng AC đi qua trung điểm của PN, đường thẳng PC đi qua trung điểm của AN.

Lời giải chi tiết

Ta có:

M là trung điểm BC nên BM = CM =

C là trung điểm BN nên BC = CN

Xét tam giác ANP có NM là đường trung tuyến

Mà: CN = 2CM (cmt)

C là trọng tâm tam giác ANP

AC, PC là hai tiếp tuyến của tam giác đó

AC đi qua trung điểm của PN

    PC đi qua trung điểm của AN.