Bài 34. Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác trang 76, 77, 78, 79 Vở thực hành Toán 7

Giải câu hỏi trắc nghiệm trang 76, 77 vở thực hành Toán 7 tập 2

Giải bài 1 (9.20) trang 77 vở thực hành Toán 7 tập 2

Đề bài

Cho tam giác ABC với hai đường trung tuyến BN, CP và trọng tâm G. Hãy tìm số thích hợp đặt vào dấu “?” để được các đẳng thức: .

Lời giải chi tiết

(H.9.21)

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có: .

Giải bài 2 (9.21) trang 77, 78 vở thực hành Toán 7 tập 2

Đề bài

Chứng minh rằng:

a) Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên là hai đoạn thẳng bằng nhau.

b) Ngược lại, nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.

Lời giải chi tiết

(H.9.22)

a) Tam giác ABC cân tại A và có BN, CP là hai đường trung tuyến. Ta cần chứng minh .

Tam giác ABC cân tại A nên .

Do N, P lần lượt là trung điểm của AC, AB nên , do đó .

Xét hai tam giác BCP và CBN, ta có:

, , BC chung nên .

Suy ra .

b) BN, CP là hai đường trung tuyến của tam giác ABC, . Ta sẽ chứng minh .

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Xét hai tam giác PGB và NGC, ta có:

(đối đỉnh)

Vậy , suy ra .

Do đó,

Vậy tam giác ABC cân tại A.

Giải bài 3 (9.22) trang 78 vở thực hành Toán 7 tập 2

Đề bài

Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Biết góc GBC lớn hơn góc GCB. Hãy so sánh BM và CN.

Lời giải chi tiết

Trong tam giác GBC, vì nên hay . Suy ra .

Giải bài 4 (9.23) trang 78 vở thực hành Toán 7 tập 2

Đề bài

Kí hiệu I là điểm đồng quy của ba đường phân giác trong tam giác ABC. Tính góc BIC khi biết góc BAC bằng 120^o.

Lời giải chi tiết

Xét \(\Delta ABC\) có I là giao điểm của ba đường phân giác nên:
\(\widehat {IBC} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2}, \widehat {ICB} = \frac{{\widehat {ACB}}}{2}\)
Xét \(\Delta BIC\) có:
\(\widehat {BIC} ={180^o} -(\widehat {IBC}+\widehat {ICB})= {180^o} - \left( {\frac{{\widehat ABC}}{2} + \frac{{\widehat {ACB}}}{2}} \right)\)

mà \(\frac{{\widehat {ABC}}}{2} + \frac{{\widehat {ACB}}}{2} = \frac{{\widehat {ABC} + \widehat {ACB}}}{2} = \frac{{{{180}^o} - \widehat {BAC}}}{2} = \frac{{{{180}^o} - {{120}^o}}}{2} = {30^o}\)

Do đó, \(\widehat {BIC} = {180^o} - {30^o} = {150^o}\).

Giải bài 5 (9.24) trang 79 vở thực hành Toán 7 tập 2

Đề bài

Gọi BE và CF là hai đường phân giác của tam giác ABC cân tại A. Chứng minh .

Lời giải chi tiết

Tam giác ABC cân tại A nên .

Xét và có:

BC chung, ,

Do đó,

Suy ra .

Giải bài 6 trang 79 vở thực hành Toán 7 tập 2

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A có góc B bằng . Tia phân giác của góc ABC cắt AC ở E. Kẻ EM vuông góc với BC .

a) Chứng minh .

b) Chứng minh .

c) Gọi I là giao điểm của BA và ME. Chứng minh .

Lời giải chi tiết

a) Xét hai tam giác vuông ABE và MBE, ta có:

Do đó, (cạnh huyền – góc nhọn)

b) Trong tam giác vuông ABC, ta có nên .

Vì BE là phân giác của nên

Vậy tam giác BEC có nên tam giác BEC cân tại E.

Tam giác BEC cân tại E và có EM là đường cao đồng thời là đường trung tuyến, suy ra .

c) Ta có góc BAE kề bù với góc IAE nên .

Trong tam giác vuông AEI có cạnh IE là cạnh huyền nên (1)

Theo câu a) nên (2)

Từ (1) và (2) suy ra .