Bài 35. Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác

Giải Bài 9.19 trang 58 sách bài tập toán 7 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông. Kẻ đường thẳng vuông góc với cạnh huyền BC của tam giác ABC tại điểm D không thuộc đoạn BC. Nó cắt đường thẳng chứa cạnh AB tại E và cắt đường thẳng chứa cạnh AC tại F. Xác định trực tâm của tam giác BEF.

Lời giải chi tiết

Xét tam giác BEF, có:

=> Đường cao xuất phát từ B là đường thẳng BD

=> Đường cao xuất phát từ F là đường thẳng FA

Mà FA cắt BD tại C

=> C là trực tâm của tam giác BEF.

Giải Bài 9.20 trang 58 sách bài tập toán 7 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho P là một điểm nằm trong góc nhọn xOy. Gọi M là điểm sao cho Ox là đường trung trực của đoạn thẳng PM, gọi N là điểm sao cho Oy là đường trung trực của đoạn thẳng PN. Đường thẳng MN cắt Ox tại R, cắt Oy tại S.Chứng minh tia PO là tia phân giác của góc RPS.

Lời giải chi tiết

Ta có: O, R nằm trên đường trung trực của PM

(1)

Tam giác OPM cân tại O, tam giác RPM cân tại R.

Tương tự: O, S nằm trên đường trung trực của PN

(2)

Tam giác OPN cân tại O, tam giác SPN cân tại S.

Từ (1) và (2) suy ra: OM = ON = OP hay OM = ON

Tam giác OMN cân tại O

Hay

Vậy tia PO là tia phân giác của góc RPS. 

Giải Bài 9.21 trang 58 sách bài tập toán 7 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Gọi H là trực tâm của tam giác nhọn ABC. Khi AH = BC, hãy chứng minh .

Lời giải chi tiết

Gọi BJ là đường cao xuất phát từ B của tam giác ABC

Xét và có:

(cạnh tương ứng)

Mà tam giác JAB vuông tại J nên JAB là tam giác vuông cân.

Vậy  

Giải Bài 9.22 trang 58 sách bài tập toán 7 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

a)Giả sử đường trung trực d của cạnh BC của tam giác ABC cắt cạnh AC tại một điểm D nằm giữa A và C. Chứng minh AC > AB.

b) Hỏi đảo lại có đúng không tức là nếu tam giác ABC có AC > AB thì đường trung trực d của cạnh BC có cắt AC tại điểm nằm giữa A và C không?

c) Vẫn giả sử đường trung trực d của cạnh BC của tam giác ABC cắt cạnh AC tại một điển D nằm giữa A và C. Với M là một điểm tuỳ ý thuộc d, M khác D, hãy chứng minh MA + MB > DA + DB.

Lời giải chi tiết

a)

Đường trung trực của cạnh BC cắt AC tại M, M nằm giữa A và C thì: MB = MC

=>AC = AM + MC = AM + MB

Áp dụng bất đẳng thức cho tam giác cho tam giác ABM có:

AM + MB > AB

=>AC > AB.

b)

Điều đảo lại cũng đúng: đường trung trực của BC không thể đi qua A vì nếu thế thì AC = AB,

=>d phải cắt đoạn thẳng AB tại điểm nằm giữa A và B, khi đó AB > AC (cm tương tự câu a) hoặc phải cắt đoạn thẳng AC tại điểm nằm giữa A và C, lúc đó AC > AB

Mà gt AC > AB nên đường trung trực của đoạn thẳng BC phải cắt đoạn thẳng AC tại điểm nằm giữa A và C.
c)

Do MB = MC nên MA + MB = MA + MC

Vì M khác D, trong tam giác AMC theo bất đẳng thức tam giác, ta có:

MA + MC > AC = AD + DC = AD + DB.