Bài 4.11 trang 100

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB, SAD. Lấy I là trung điểm của đoạn BC.

a) Chứng minh rằng MN // BD.

b) Gọi L, H lần lượt là giao điểm của SB, SD với mặt phẳng (MNI). Chứng minh rằng LH // BD.

Lời giải chi tiết

a) Gọi E là trung điểm của AB, F là trung điểm AD

$\Rightarrow SM=\frac{2}{3}SE,SN=\frac{2}{3}SF$

Xét tam giác SEF có: $\frac{SM}{SE}=\frac{SN}{SF}=\frac{2}{3}\Rightarrow MN/EF$

Xét tam giác ABD có E, F lần lượt là trung điểm của AB, AD nên $EF//BD$

Vậy $MN//BD$.

b) Trong (ABCD), gọi $G\left(G\in CD\right)$ sao cho $IG//BD$, gọi $P=AB\cap IG,Q=AD\cap IG$.

Mở rộng (MNI) thành (MNQP)

Ta có:

$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}M\in SE\subset \left(SAB\right)\\ P\in AB\subset \left(SAB\right)\end{array}\Rightarrow MP\subset \left(SAB\right)\\ MP\subset \left(MNQP\right)\\ \Rightarrow MP=\left(SAB\right)\cap \left(MNQP\right)\end{array}$

Gọi $L=SB\cap MP$$\Rightarrow L=SB\cap \left(MNQP\right)$(1)

$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}N\in SF\subset \left(SAD\right)\\ Q\in AD\subset \left(SAD\right)\end{array}\Rightarrow NQ\subset \left(SAD\right)\\ NQ\subset \left(MNQP\right)\\ \Rightarrow NQ=\left(SAD\right)\cap \left(MNQP\right)\end{array}$

Gọi $H=SD\cap NQ$$\Rightarrow H=SD\cap \left(MNQP\right)$(2)

Từ (1) và (2) suy ra $LH=\left(SBD\right)\cap \left(MNQP\right)$

Mà $BD//MN$ (phần a)

$\Rightarrow LH//BD//MN$.