Bài 4.20 trang 114
Đề bài
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi M, M' lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, B'C'.
a) Tìm giao điểm của mặt phẳng (AB'C') với đường thẳng A'M.
b) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (AB'C') và (BA'C').
c) Tìm giao điểm G của đường thẳng d với mặt phẳng (AM'M). Chứng minh G là trọng tâm của tam giác AB'C'.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Cách tìm giao điểm của a và (P)
+ Tìm (Q) chứa a. Tìm giao tuyến b của (P) và (Q).
+ Tìm giao điểm I của a và b. I chính là giao điểm của a và (P).
b) Cách tìm giao tuyến của (P) và (Q)
+ Tìm điểm chung của (P) và (Q).
c) Trọng tâm là giao điểm của các đường trung tuyến trong tam giác.
Lời giải chi tiết
a) (AMM'A') và (AB'C') có giao tuyến là AM'
Gọi E là giao điểm của AM' và A'M
Vậy E là giao điểm của A'M và (AB'C')
b) Trong (ABB'A'), gọi giao điểm của AB' và A'B là F
Vậy giao tuyến của (AB'C') và (BA'C') là FC'.
c) Trong (AB'C'), gọi G là giao điểm của C'F và AM'
Suy ra G là giao điểm của C'F là (AMM')
Vì ABB'A' là hình bình hành nên F là trung điểm của A'B. Suy ra C'F là trung tuyến của tam giác AB'C'
AM' là trung tuyến của tam giác AB'C'. Mà AM' cắt C'F tại G
Suy ra G là trọng tâm tam giác AB'C'.