Bài 4.21 trang 114

Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng:

a) Hai mặt phẳng (BDA') và (B'D'C) song song với nhau.

b) Đường chéo AC' đi qua các trọng tâm G₁ và G₂ của hai tam giác BDA' và B'D'C.

c) G₁và G₂ chia đoạn AC' thành ba phần bằng nhau.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Nếu mặt phẳng (P) chứa 2 đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q).

b) Trọng tâm là giao điểm của các đường trung tuyến.

c) Khoảng cách từ trọng tâm đến mỗi đỉnh bằng 2/3 đường trung tuyến tương ứng của đỉnh đó.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: BB' // DD' (cùng // CC') và BB' = DD' (cùng = CC') nên BB'D'D là hình bình hành

Suy ra BD // B'D'. Nên BD // (B'D'C) (1)

BC // A'D' (cùng // AD) và BC = A'D' (cùng = AD) nên BCD'A' là hình bình hành

Suy ra A'B // CD'. Nên A'B // (B'D'C) (2)

Từ (1) và (2) suy ra (BDA') song song với (B'D'C)

b) Gọi O, O' lần lượt là giao điểm của AC và BD, A'C' và B'D'. Suy ra O, O' là trung điểm của AC, A'C'

Gọi I là giao điểm của AC' và A'C

AA' // CC' (cùng // BB') và AA' = CC' (cùng = BB') nên ACC'A' là hình bình hành. Suy ra I là trung điểm của AC' và A'C

Nên AI và A'O là trung tuyến của tam giác AA'C

Mà G₁là trọng tâm tam giác BDA'. Suy ra G₁ là giao điểm của AI và A'O

Tương tự, G₂là giao điểm của CO' và C'I

G₁ thuộc AI, G₂ thuộc CI nên G₁ và G₂ đều thuộc AC'.

c) G₁ và G₂ là trọng tâm của hai tam giác BDA' và B'D'C nên $A G_{1} = \frac{2}{3} A I, G_{1} I = \frac{1}{3} A I$ và $C^{'} G_{2} = \frac{2}{3} C^{'} I, G_{2} I = \frac{1}{3} C I$

Ta có: $G_{1} I + G_{2} I = \frac{1}{3} A I + \frac{1}{3} C I = \frac{1}{3} A I + \frac{1}{3} A I = \frac{2}{3} A I$

Suy ra AG₁ = G₁G₂ = C'G₂(cùng = $\frac{2}{3} A I$ )

Vậy G₁và G₂ chia đoạn AC' thành ba phần bằng nhau.