Bài 4.42 trang 103

Đề bài

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, AA’.

a) Xác định giao điểm của mặt phẳng (MNP) với đường thẳng B‘C.

b) Gọi K là giao điểm của mặt phẳng (MNP) với đường thẳng B’C. Tính tỉ số $\frac{K{B}^{\prime }}{KC}$.

Lời giải chi tiết

a) Trong (AA’B’B), gọi $D=PM\cap B{B}^{\prime }$.

Mặt khác $\{\begin{array}{c}D\in B{B}^{\prime }\subset \left(B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C\right)\\ N\in BC\subset \left(B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C\right)\end{array}\Rightarrow DN\subset \left(B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C\right)$.

Trong (BB’C’C), gọi $K=DN\cap B^{\prime }C$.

Ta có $\{\begin{array}{c}D\in PM\subset \left(MNP\right)\\ N\in \left(MNP\right)\end{array}\Rightarrow DN\subset \left(MNP\right)$

$\begin{array}{c}\Rightarrow K\in DN\subset \left(MNP\right)\\ K\in B^{\prime }C\end{array}\}\Rightarrow K\in B^{\prime }C\cap \left(MNP\right)$.

Vậy giao điểm của mặt phẳng (MNP) với đường thẳng B’C là K.

b) MP là đường trung bình tam giác ABA’ nên MP // A’B hay PD // A’B (1)

ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ nên AA’ // BB’ hay A’P // BD (2)

Từ (1) và (2) suy ra A’PDB là hình bình hành.

Suy ra $BD=A^{\prime }P=\frac{A{A}^{\prime }}{2}=\frac{B{B}^{\prime }}{2}\Rightarrow \frac{BD}{B^{\prime }D}=\frac{1}{3}$.

Mà EN là đường trung bình tam giác KB’D nên ta có:

$EN=\frac{B{B}^{\prime }}{2}=BD\Rightarrow \frac{EN}{B^{\prime }D}=\frac{BD}{B^{\prime }D}=\frac{1}{3}$.

Theo định lí Thales, vì EN // B’D nên $\frac{KE}{K{B}^{\prime }}=\frac{EN}{B^{\prime }D}=\frac{1}{3}$.

$\Rightarrow \frac{KE}{K{B}^{\prime }-KE}=\frac{1}{3-1}\iff \frac{KE}{B^{\prime }E}=\frac{KE}{EC}=\frac{1}{2}$.

Suy ra K là trung điểm của EC. Khi đó $\frac{KC}{K{B}^{\prime }}=\frac{KE}{K{B}^{\prime }}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{K{B}^{\prime }}{KC}=3$.