Bài 4.43 trang 103

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trên cạnh SC và cạnh AB lần lượt lấy các điểm M và N sao cho CM = 2SM và BN = 2AN.

a) Xác định giao điểm K của mặt phẳng (ABM) với đường thẳng SD. Tính tỉ số $\frac{SK}{SD}$.

b) Chứng minh rằng MN // (SAD).

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $\left(ABM\right)\cap \left(ABCD\right)=AB,\left(ABCD\right)\cap \left(SCD\right)=CD,AB//CD$.

Suy ra giao tuyến của (ABM) và (SCD) là đường thẳng qua M song song với AB và CD.

Qua M kẻ MK song song với CD (K thuộc SD).

Vậy, K là giao điểm của (AMN) và SD.

Xét tam giác SCD ta có: MK // CD suy ra $\frac{SK}{SD}=\frac{SM}{SC}=\frac{1}{3}$.

b) Xét tam giác SCD ta có: MK // CD suy ra $\frac{MK}{CD}=\frac{SM}{SC}=\frac{1}{3}$.

Lại có $\frac{AN}{AB}=\frac{1}{3}$, AB = CD suy ra AN = MK.

Xét tứ giác ANMK ta có: AN = MK, AN // MK suy ra ANMK là hình bình hành.

Do đó MN // AK hay MN // (SAD).