Bài 4.45 trang 103

Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, A’B‘. Chứng minh rằng:

a) BD // B'D', (A'BD) // (CB’D’) và MN // (BDD'B').

b) Đường thẳng AC' đi qua trọng tâm G của tam giác A'BD.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: (ABCD) // (A’B’C’D’)

$\left(B^{\prime }{D}^{\prime }DB\right)\cap \left(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }\right)=B^{\prime }{D}^{\prime },$

$\left(B^{\prime }{D}^{\prime }DB\right)\cap \left(ABCD\right)=BD$.

Suy ra B'D' // DB.

Xét (A'BD) và (CB'D') có BD // B'D', A'B // CD'.

Suy ra (A'BD) // (CB'D').

Xét tứ giác B'NMO ta có: B'N = MO, B'N // MO.

Suy ra B'NMO là hình bình hành.

Suy ra B'O // MN hay MN // (BDD'B').

b) Xét tứ giác A'C'OA ta có: A'C' // AO, A'C' = 2AO.

Suy ra A'G = 2GO.

Mà O là trung điểm BD.

Suy ra G là trọng tâm tam giác A'BD.

Như vậy AC' đi qua trọng tâm G của tam giác A'BD.