Bài 4.46 trang 103

Đề bài

Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho BM = 3AM. Mặt phẳng (P) đi qua M song song với hai đường thẳng AD và BC.

a) Xác định giao điểm K của mặt phẳng (P) với đường thẳng CD.

b) Tính tỉ số $\frac{KC}{CD}$.

Lời giải chi tiết

a) Qua M kẻ MH// BC, MI // AD.

mp(P) đi qua M song song với hai đường thẳng AD và BC.

Suy ra mp(P) chứa MH và MI.

Ta có: 

$\begin{array}{c}\left(ABC\right)\cap \left(P\right)=MH\\ \left(ABC\right)\cap \left(BCD\right)=BC\end{array}$

$\Rightarrow$ MH//BC.

Suy ra, giao tuyến của (P) và (BCD) song song với BC và MH.

Qua I kẻ IK // BC (K thuộc CD).

Vậy giao điểm của (P) và CD là K.

b) Ta có: 

$\begin{array}{c}\left(ABD\right)\cap \left(P\right)=MI\\ \left(ABD\right)\cap \left(ACD\right)=AD\\ \left(P\right)\cap \left(ACD\right)=HK\end{array}$

$\Rightarrow$ MI // AD, HK //MI.

Tứ giác MHKI có: MH // KI, MI // HK.

Suy ra MHKI là hình bình hành $\Rightarrow$ MH = KI.

Xét tam giác ABC có MH // BC, BM = 3AM.

Suy ra BC = 4MH suy ra BC = 4KI.

Xét tam giác BCD có IK // BC, BC = 4KI suy ra $\frac{KC}{CD}=\frac{3}{4}$.