Bài 4. Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto - Toán 12 Cùng khám phá

Lý thuyết Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto Toán 12 Cùng khám phá

1. Biểu thức tọa độ của tổng, hiệu các vecto và tích của một số với một vecto

Trong không gian Oxyz, cho hai vecto và . Ta có:

+) .

+) với k là một số thực.

Ví dụ: Cho . Tìm tọa độ của vecto .

Lời giải:

Ta có: .

Do đó hay .

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng . Khi đó:

+) Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là .

+) Tọa độ trọng tâm tam giác ABC là

.

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho tam giác MNP có M(3;7;2), N(5;1;-1) và P(4;-4;-2). Tìm tọa độ:

a) Trung điểm I của đoạn thẳng MN.

b) Trọng tâm G của tam giác MNP.

Lời giải:

a) Áp dụng công thức tính tọa độ trung điểm M(3;7;2) và N(5;1;-1), ta có hay I(4;4;).

b) Áp dụng công thức tính tọa độ trọng tâm theo tọa độ các đỉnh của tam giác MNP, ta có hay .

2. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng hai vecto

Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vecto

và

được xác định bởi công thức

.

Nhận xét: Từ công thức tính tích vô hướng hai vecto theo tọa độ, ta suy ra:

+) Nếu thì

+) Nếu thì khoảng cách giữa hai điểm A, B là:

+) Nếu hai vecto và khác thì:

.

Giải mục 1 trang 74, 75, 76 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 74 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ và .

a) Hãy biểu diễn các vectơ , theo ba vectơ đơn vị , , .

b) Tính theo , , , từ đó tìm tọa độ của vectơ .

Phương pháp giải:

- Mỗi vectơ trong không gian Oxyz với tọa độ (x,y,z) có thể được biểu diễn dưới dạng:

- Cộng các thành phần tương ứng của hai vectơ để tìm tổng:

Lời giải chi tiết:

a) Vectơ có tọa độ nên nó có thể được biểu diễn theo các vectơ đơn vị như sau:

Tương tự, vectơ có tọa độ nên:

b) Tổng của hai vectơ là:

Kết hợp các thành phần tương ứng:

Vậy tọa độ của vectơ là .

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 75 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(5; -3; 0), B(2; 1; -1), C(4; 1; 2).

a) Tìm tọa độ của vectơ .

b) Tìm điểm N sao cho

Phương pháp giải:

a) Tính toạ độ của các vectơ và sau đó thay vào biểu thức để xác định toạ độ của .

b)

- Gọi toạ độ của N là (x,y,z).

- Biểu diễn theo x, y, z.

- Sử dụng điều kiện để thiết lập hệ phương trình.

- Giải hệ phương trình để tìm toạ độ N.

Lời giải chi tiết:

a) Trước hết, chúng ta tính các vectơ , , và :

Bây giờ tính vectơ :

Thay các vectơ đã tính:

Vậy tọa độ của vectơ là .

b) Điều kiện có thể được viết lại như sau:

Giải phương trình này:

Chuyển vế:

Từ đó:

Tính tọa độ của điểm N:

Vậy tọa độ của điểm N là .

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 75 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(4; 1; -1), B(2; -1; 5), C(3; 0; 2). Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Phương pháp giải:

Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi vectơ và cùng phương.

Lời giải chi tiết:

Tính các vectơ và :

Xét tỉ lệ:

Vì , hai vectơ này cùng phương, nên ba điểm A, B, C thẳng hàng.

VD1

Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 75 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong Hình 2.41, gốc tọa độ O là nơi máy bay xuất phát, trục Ox theo hướng Nam, trục Oy theo hướng Đông, trục Oz theo hướng thẳng đứng. Đơn vị trên các trục là km. Vào thời điểm 9h30 sáng, máy bay ở độ cao 9 km, cách điểm xuất phát theo hướng Nam 150 km và theo hướng Đông 300 km. Phi công để chế độ bay tự động, với vận tốc theo hướng Đông 750 km/h, độ cao không đổi. Biết rằng gió thổi theo hướng Bắc với vận tốc 10 m/s. Tìm tọa độ của máy bay lúc 10h30, với giả định là trong khoảng thời gian 9h30 đến 10h30, vận tốc và hướng của gió không thay đổi.

Phương pháp giải:

- Tìm tọa độ của máy bay tại thời điểm ban đầu.

- Tính vận tốc của máy bay theo các trục Ox, Oy (bao gồm cả ảnh hưởng của gió) và xác định vận tốc theo trục Oz.

- Sử dụng công thức , , để tính tọa độ máy bay sau thời gian .

Lời giải chi tiết:

Tọa độ máy bay lúc 9h30 là: A = (150; 300; 9).

Vận tốc gió là 10 m/s = 36 km/h.

Hướng di chuyển của máy bay trong 1 giờ là: .

Tọa độ của máy bay lúc 10h30 là: B = (150 – 36; 300 + 750; 9 + 0) = (114; 1050; 9).

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 76 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong không gian Oxyz, tam giác ABC có , , và

a) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A B. Tìm tọa độ điểm M.

b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ điểm G.

Phương pháp giải:

- Công thức trung điểm: Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng nối hai điểm và được tính theo công thức:

- Công thức trọng tâm: Tọa độ trọng tâm G của tam giác có các đỉnh , và được tính theo công thức:

Lời giải chi tiết:

a) Tọa độ điểm M là:

b) Tọa độ điểm G là:

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 76 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm , , .

a) Tìm tọa độ điểm B sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB.

b) Tìm tọa độ điểm C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC.

Phương pháp giải:

- Tọa độ điểm B: Sử dụng công thức trung điểm:

.

Thay tọa độ A và M để tìm B.

- Tọa độ điểm C: Sử dụng công thức trọng tâm:

.

Thay tọa độ A, B, và G để tìm C.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có tọa độ điểm M là trung điểm của AB nên:

Từ đó, tọa độ điểm B được xác định bằng cách giải phương trình:

Thay toạ độ của điểm A, M vào:

Vậy tọa độ điểm B là B(2; 1; 4).

b)

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC, ta có:

Từ đó, ta có hệ phương trình:

Thay toạ độ của điểm A, B, G vào:

Vậy tọa độ điểm C là C (3; 0; -3).

Giải mục 2 trang 76, 77, 78, 79 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 76 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ và .

a) Biểu diễn và qua các vectơ đơn vị .

b) Tính .

Phương pháp giải:

- Sử dụng định nghĩa toạ độ của một vectơ trong một hệ toạ độ để biểu diễn và

- Sử dụng kết quả của câu a và tính chất của các vectơ đơn vị .

Lời giải chi tiết:

a) Biểu diễn vectơ

b) Tính .

Từ câu a ta có:

(*)

Sử dụng các tính chất của các vectơ đơn vị ta có:

Tính từng phần trong (*):

Cộng tất cả các phần lại:

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 77 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong không gian Oxyz, hình chóp S.ABC có S(3;1;3), A(2;3;1), B(4;3;3), C(2;3;1). M là trung điểm của BC. Tính góc giữa hai vectơ và .

Phương pháp giải:

- Tìm tọa độ các vectơ và

- Tính tích vô hướng

- Tính độ dài của các vectơ và

- Tính góc giữa hai vectơ

Lời giải chi tiết:

- Vectơ :

- Tọa độ của điểm M là trung điểm của BC:

- Vectơ :

- Tích vô hướng

- Độ dài của vectơ :

Tính góc giữa hai vectơ:

Vậy góc giữa hai vectơ và là:

LT5

Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 78 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong không gian Oxyz, cho hình chóp S.ABC với

.

a) Chứng minh rằng hai cạnh bên SA, SB bằng nhau và vuông góc với nhau.

b) Tính số đo của (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Phương pháp giải:

a) Sử dụng tính chất hai vectơ bằng nhau thì tích vô hướng của chúng bằng .

b) Tìm cos của từ tích vô hướng của hai vectơ sau đó suy ra giá trị của

Lời giải chi tiết:

Vectơ có tọa độ:

Độ dài của vectơ là:

Vectơ có tọa độ:

Độ dài của vectơ là:

Suy ra SA và SB bằng nhau.

Tích vô hướng của và là:

, nên SA và SB vuông góc với nhau.

Tích vô hướng của và là:

Độ dài của vectơ là:

Góc giữa hai vectơ và được tính bằng công thức:

Suy ra:

VD2

Trả lời câu hỏi vận dụng 2 trang 79 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Một tòa nhà có dạng hình hộp chữ nhật với kích thước chiều dài 35 m, chiều rộng 15 m, chiều cao 28 m. Người ta định vị các vị trí trong tòa nhà dựa vào một hệ trục tọa độ Oxyz như Hình 2.42.

a) Chị Hương đang đứng ở vị trí A(20; 5; 20) và đi chuyển đến thang máy để xuống sảnh chờ đón khách. Biết vị trí vào thang máy có hoành độ x = 15 và tung độ y = 3. Hỏi chị Hương mất bao nhiêu giây để di chuyển, nếu từ vị trí A có thể đi thẳng đến cửa thang máy và chị ấy đi bộ với tốc độ 1,5 m/s?

b) Chị Hương vừa đặt một bộ phát sóng wifi trong phòng làm việc của mình tại vị trí có tọa độ (20; 5; 20). Do yêu cầu của công việc, sáng nay chị Hương phải đứng ở bàn lễ tân có tọa độ (5; 0; 0) để đón khách. Hỏi trong lúc đứng ở bàn lễ tân chờ khách thì điện thoại của chị có bắt được sóng wifi phát ra từ phòng làm việc của mình hay không? Biết rằng vùng phủ sóng bộ phát wifi nói trên có bán kính 30 mét.

Phương pháp giải:

a) Để tính thời gian chị Hương di chuyển từ vị trí A(20; 5; 20) đến vị trí thang máy, ta cần tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian Oxyz bằng công thức:

Sau đó, thời gian di chuyển được tính bằng: với v là tốc độ di chuyển.

b) Để kiểm tra xem chị Hương có thể bắt được sóng wifi hay không, ta cần tính khoảng cách giữa hai điểm (20; 5; 20) và (5; 0; 0), và so sánh với bán kính phủ sóng của bộ phát wifi.

Lời giải chi tiết:

a) Tính khoảng cách giữa điểm A(20; 5; 20) và vị trí thang máy (15; 3; 0):

Thời gian di chuyển:

b) Tính khoảng cách từ phòng làm việc (20; 5; 20) đến bàn lễ tân (5; 0; 0):

Vì khoảng cách này (25.5 m) nhỏ hơn bán kính phủ sóng của wifi (30 m), nên chị Hương có thể bắt được sóng wifi từ phòng làm việc.

Giải bài tập 2.17 trang 79 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ , , . Tìm:

a) ;

b) .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Tính toán tích vô hướng của vectơ với tổng của và .

b) Độ dài của hiệu hai vectơ được tính theo công thức:

với và .

Lời giải chi tiết

a) Tích vô hướng:

b) Độ dài của hiệu hai vectơ:

Giải bài tập 2.18 trang 79 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC. Biết tọa độ các đỉnh là $A (0; 1; 1)$ , $B (0; 1; 2)$ , $C (- 1; 1; 1)$ .

a) Tính độ dài các cạnh của tam giác.

b) Tính $\hat{A B C}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Độ dài các cạnh được tính bằng công thức:

$A B = \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2} + {(z_{B} - z_{A})}^{2}}$

b) Sử dụng công thức tích vô hướng để tính góc giữa hai vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{B C}$ :

$\cos θ = \frac{\vec{A B} \cdot \vec{B C}}{| \vec{A B} | | \vec{B C} |}$

Lời giải chi tiết

a) Độ dài các cạnh:

$A B = \sqrt{{(0 - 0)}^{2} + {(1 - 1)}^{2} + {(2 - 1)}^{2}} = \sqrt{1} = 1$

$B C = \sqrt{{(0 - (- 1))}^{2} + {(1 - 1)}^{2} + {(2 - 1)}^{2}} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

$C A = \sqrt{{(0 - (- 1))}^{2} + {(1 - 1)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}} = \sqrt{1} = 1$

b) Tích vô hướng và độ lớn:

$\vec{A B} \cdot \vec{B C} = (0; 0; 1) \cdot (- 1; 0; - 1) = 0 \times (- 1) + 0 \times 0 + 1 \times (- 1) = - 1$

$| \vec{A B} | = 1, | \vec{B C} | = \sqrt{2}$

$\cos θ = \frac{- 1}{\sqrt{2}} \Rightarrow θ = 135^{\circ}$

Giải bài tập 2.19 trang 79 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hình tứ diện ABCD. Biết rằng , , , .

a) Tìm tọa độ của điểm E sao cho .

b) Tìm tọa độ trung điểm M của cạnh AB và trọng tâm G của tam giác ABC.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng công thức tính toán các phép cộng và trừ vectơ:

b) Tọa độ trung điểm được tính theo công thức:

Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC:

Lời giải chi tiết

a) Tọa độ điểm E:

b) Trung điểm M của AB:

Trọng tâm G:

Giải bài tập 2.20 trang 79 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho , và .

a) Tìm góc giữa hai vectơ và .

b) Tìm m để vectơ vuông góc với .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng công thức tích vô hướng để tính góc:

b) Điều kiện để vuông góc với là:

Lời giải chi tiết

a) Tính góc giữa hai vectơ và :

Góc giữa hai vectơ và được tính bởi:

Vậy .

b) Tìm để vectơ vuông góc với :

Tọa độ của là:

Điều kiện để vuông góc với là:

Giải phương trình:

Vậy là giá trị cần tìm.

Giải bài tập 2.21 trang 80 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đỉnh A trùng với gốc tọa độ và các đỉnh B, D, A' tương ứng thuộc các tia Ox, Oy, Oz như trong Hình 2.43. Cho biết AB = a, AD = 3a, AA' = 2a \ (a > 0). Gọi G là trọng tâm của tam giác A'BC.

a) Tìm toạ độ điểm G.

b) Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng (ABCD).

c) Tính thể tích khóp G.ABCD.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng công thức trọng tâm của tam giác trong không gian Oxyz.

b) Sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong không gian.

c) Sử dụng công thức thể tích khối chóp trong không gian.

Lời giải chi tiết

a) Tọa độ các điểm , , . Tọa độ của điểm - trọng tâm tam giác A'BC:

b) Phương trình mặt phẳng là: . Khoảng cách từ đến mặt phẳng là:

c) Thể tích khối chóp G.ABCD: Sử dụng công thức thể tích khối chóp với chiều cao là khoảng cách từ đến mặt phẳng và diện tích đáy là diện tích hình chữ nhật ABCD:

Giải bài tập 2.22 trang 80 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Trong không gian Oxyz (đơn vị trên các trục là km), một máy bay đang bay ở độ cao 10 km, tại vị trí A(500; 200; 10). Theo hành trình dự định, máy bay sẽ phải bay qua vị trí B(700; 200; 10). Tuy nhiên do thời tiết xấu, máy bay phải chuyển hướng bay đến vị trí C(600; 300; 8).

a) Tính khoảng cách từ A đến C.

b) Hỏi trong quãng thời gian tránh vùng thời tiết xấu, máy bay đã phải bay chệch hướng dự định một góc bao nhiêu độ?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian Oxyz.

b) Sử dụng công thức góc giữa hai vectơ để tìm góc giữa hướng ban đầu và hướng di chuyển thực tế.

Lời giải chi tiết

a) Khoảng cách từ A(500; 200; 10) đến C(600; 300; 8) là:

b) Tính góc chệch hướng: Tạo hai vectơ và :

Tính góc giữa hai vectơ:

Vậy .

Giải bài tập 2.23 trang 80 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Trong Hoá học, cấu tạo của phân tử amoniac () có dạng hình chóp tam giác đều mà đỉnh là nguyên tử nitrogen () và đáy là tam giác với , , là vị trí của ba nguyên tử hydrogen (). Góc tạo bởi liên kết , có hai cạnh là hai đoạn thẳng nối với hai trong ba điểm , , (chẳng hạn như ), được gọi là góc liên kết của phân tử . Góc này xấp xỉ .

Trong không gian Oxyz, cho một phân tử được biểu diễn bởi hình chóp tam giác đều với là tâm của đáy. Nguyên tử nitrogen được biểu diễn bởi điểm thuộc trục Oz, ba nguyên tử hydrogen ở các vị trí , , trong đó và song song với trục Ox (Hình 2.44).

a) Tính khoảng cách giữa hai nguyên tử hydrogen.

b) Tính khoảng cách giữa nguyên tử nitrogen với mỗi nguyên tử hydrogen (làm tròn các kết quả tính toán đến hàng phần trăm).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng định lý sin trong công thức để tính khoảng cách giữa hai nguyên tử hydrogen (d) có góc bằng ∝.

b) Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian:

Thay các tọa độ tương ứng để tính khoảng cách , , .

Lời giải chi tiết

a) Vì tam giác là tam giác đều nên áp dụng vào định lý sin trong tam giác, ta có:

.

Trong trường hợp này, O là trọng tâm của tam giác và O cũng là bán kính đường tròn ngoại tiếp nên , ta có: .

b) Để tính khoảng cách giữa nguyên tử nitrogen với nguyên tử hydrogen , ta sử dụng công thức:

.

Vì khoảng cách từ gốc toạ độ O đến là 2, do đó có toạ độ là:

.

Với θ là góc . Và vì là tam giác đều nên .

Vậy có toạ độ là: .

Toạ độ của vectơ , là:

, .

Từ đó ta có : .

Suy ra: .

Bài 4. Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto - Toán 12 Cùng khám phá

Luyện trắc nghiệm Toán lớp 1 Lớp LOP12

Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub

Tải ứng dụng Tri Thức Hub