Bài 4. Cấp số nhân
Câu 29 trang 120 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân ? Hãy xác định công bội của cấp số nhân đó.
LG a
Dãy số \(1, -2, 4, -8, 16, -32, 64\)
Lời giải chi tiết:
Dãy số đã cho là một cấp số nhân với công bội \(q = -2\).
LG b
Dãy số (un) với \({u_n} = n{.6^{n + 1}}\)
Lời giải chi tiết:
\(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{\left( {n + 1} \right){6^{n + 1}}}}{{n{{.6}^n}}} = \frac{{6\left( {n + 1} \right)}}{n}\) với mọi \(n ≥ 1\).
Do \(\frac{{6\left( {n + 1} \right)}}{n}\) không phải là hằng số nên (un) không phải là cấp số nhân.
LG c
Dãy số (vn) với \({v_n} = {\left( { - 1} \right)^n}{.3^{2n}}\)
Lời giải chi tiết:
\({{{v_{n + 1}}} \over {{v_n}}} = {{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}{{.3}^{2\left( {n + 1} \right)}}} \over {{{\left( { - 1} \right)}^n}{{.3}^{2n}}}} = \frac{{ - {{1.3}^{2n + 2}}}}{{{3^{2n}}}} = - 9\) với mọi \(n ≥ 1\).
Suy ra (vn) là một cấp số nhân với công bội \(q = -9\).
LG d
Dãy số (xn) với \({x_n} = {\left( { - 4} \right)^{2n + 1}}\) .
Lời giải chi tiết:
\({{{x_{n + 1}}} \over {{x_n}}} = {{{{\left( { - 4} \right)}^{2n + 3}}} \over {{{\left( { - 4} \right)}^{2n + 1}}}} = \frac{{{{\left( { - 4} \right)}^{2n + 1}}.{{\left( { - 4} \right)}^2}}}{{{{\left( { - 4} \right)}^{2n + 1}}}}= 16\) với mọi \(n ≥ 1\).
Suy ra (xn) là một cấp số nhân với công bội \(q = 16\).
trithuchub.com
Câu 30 trang 120 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Trong mỗi câu sau, hãy đánh dấu “x” vào phần kết luận mà em cho là đúng :
LG a
Mỗi cấp số nhân có số hạng đầu dương và công bội \(0 < q < 1\), là một dãy số
Tăng
Giảm
Không tăng cũng không giảm
Lời giải chi tiết:
Giảm
LG b
Mỗi cấp số nhân có số hạng đầu dương và công bội \(q > 1\) là một dãy số
Tăng
Giảm
Không tăng cũng không giảm
Lời giải chi tiết:
Tăng
trithuchub.com
Câu 31 trang 121 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Đề bài
Cho cấp số nhân \(({u_n}) \) có công bội \(q < 0\). Biết \({u_2} = 4\) và \({u_4} = 9\), hãy tìm \(u_1\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}\)
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\displaystyle \left\{ {\matrix{{{u_2} = 4} \cr {{u_4} = 9} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{{u_1}q = 4\left( 1 \right)} \cr {{u_1}{q^3} = 9\left( 2 \right)} \cr} } \right.\)
Lấy (2) chia (1) ta được : \(\displaystyle {q^2} = {9 \over 4} \Rightarrow q = - {3 \over 2}\) (vì \(\displaystyle q < 0\))
Từ (1) suy ra \(\displaystyle {u_1} = {4 \over q} = - {8 \over 3}\)
trithuchub.com
Câu 32 trang 121 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Đề bài
Một cấp số nhân có năm số hạng mà hai số hạng đầu tiên là những số dương, tích của số hạng đầu và số hạng thứ ba bằng 1, tích của số hạng thứ ba và số hạng cuối bằng \({1 \over {16}}\) . Hãy tìm cấp số nhân đó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng tính chất của CSN: \[{u_{k + 1}}{u_{k - 1}} = u_k^2\]
Lời giải chi tiết
Với mỗi \(n \in \left\{ {1,{\rm{ }}2,{\rm{ }}3,{\rm{ }}4,{\rm{ }}5} \right\}\), kí hiệu un là số hạng thứ n của cấp số nhân đã cho.
Vì \({u_1} > 0,{u_2} > 0\) nên cấp số nhân (un) có công bội \(q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} > 0\).
Do đó \({u_n} > 0{\rm{ }}\;\forall {\rm{ }}n \in \left\{ {1,{\rm{ }}2,{\rm{ }}3,{\rm{ }}4,{\rm{ }}5} \right\}\).
Từ đó :
\(\eqalign{
& 1 = {u_1}.{u_3} = u_2^2 \Rightarrow {u_2} = 1 \cr
& {1 \over {16}} = {u_3}.{u_5} = u_4^2 \Rightarrow {u_4} = {1 \over 4} \cr
& u_3^2 = {u_2}.{u_4} = {1 \over 4} \Rightarrow {u_3} = {1 \over 2} \cr} \)
Do đó \({u_1} = {1 \over {{u_3}}} = 2\,\text{ và }\,{u_5} = {1 \over {16}}:{u_3} = {1 \over 8}\)
Vậy cấp số nhân cần tìm là : \(2,1,{1 \over 2},{1 \over 4},{1 \over 8}\)
trithuchub.com
Câu 33 trang 121 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Cho cấp số nhân (un) với công bội \(q ≠ 0\) và \({u_1} \ne 0\). Cho các số nguyên dương m và k, với \(m ≥ k\). Chứng minh rằng \({u_m} = {u_k}.{q^{m - k}}\)
a) Áp dụng:
Tìm công bội q của cấp số nhân (un) có \({u_4} = 2\) và \({u_7} = - 686\).
b) Hỏi có tồn tại hay không một cấp số nhân (un) mà \({u_2} = 5\) và \({u_{22}} = - 2000\) ?
LG a
- Chứng minh rằng \({u_m} = {u_k}.{q^{m - k}}\)
- Tìm công bội q của cấp số nhân (un) có \({u_4} = 2\) và \({u_7} = - 686\).
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát của CSN: \[{u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{
& {u_m} = {u_1}.{q^{m - 1}}\,\,\left( 1 \right) \cr
& {u_k} = {u_1}.{q^{k - 1}}\,\,\left( 2 \right) \cr} \)
Lấy (1) chia (2) ta được :
\({{{u_m}} \over {{u_k}}} = {q^{m - k}} \Rightarrow {u_m} = {u_k}.{q^{m - k}}\)
Áp dụng :
Ta có:
\({u_7} = {u_4}{q^{7 - 4}} \Rightarrow - 686 = 2.{q^3} \)\(\Leftrightarrow {q^3} = - 343 \Leftrightarrow q = - 7\)
LG b
Hỏi có tồn tại hay không một cấp số nhân (un) mà \({u_2} = 5\) và \({u_{22}} = - 2000\) ?
Lời giải chi tiết:
Không tồn tại. Thật vậy,
Giả sử ta có
\(\begin{array}{l}
{u_{22}} = {u_2}{q^{22 - 2}}\\
\Rightarrow - 2000 = 5.{q^{20}}\\
\Leftrightarrow {q^{20}} = - 400 < 0
\end{array}\)
(vô lí)
Vậy không tồn tại CSN như trên.
trithuchub.com
Câu 34 trang 121 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Đề bài
Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân (un) , biết rằng \({u_3} = - 5\) và \({u_6} = 135\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kết quả bài 33: \[{u_m} = {u_k}.{q^{m - k}} \Leftrightarrow {q^{m - k}} = \frac{{{u_m}}}{{{u_k}}}\]
Công thức số hạng TQ của CSN: \[{u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}\]
Lời giải chi tiết
Gọi \(q\) là công bội của cấp số nhân đã cho.
Ta có:
\(\eqalign{
& {q^3} = {{{u_6}} \over {{u_3}}} = {{135} \over { - 5}} = - 27 \Leftrightarrow q = - 3 \cr
& - 5 = {u_3} = {u_1}.{q^2} = 9{u_1} \Leftrightarrow {u_1} = - {5 \over 9} \cr} \)
Số hạng tổng quát : \({u_n} = - {5 \over 9}.{\left( { - 3} \right)^{n - 1}} = - 5.{\left( { - 3} \right)^{n - 3}}\)
Cách khác:
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}
{u_3} = - 5\\
{u_6} = 135
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1}{q^2} = - 5\,\,\,\left( 1 \right)\\
{u_1}{q^5} = 135\,\,\left( 2 \right)
\end{array} \right.\)
Lấy (2) chia (1) ta được:
\(\frac{{{u_1}{q^5}}}{{{u_1}{q^2}}} = \frac{{135}}{{ - 5}} \Leftrightarrow {q^3} = - 27 \Leftrightarrow q = - 3\)
Thay q=-3 vào (1) ta được:
\( 9{u_1} =-5\Leftrightarrow {u_1} = - {5 \over 9}\)
trithuchub.com
Câu 35 trang 121 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Đề bài
Chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ poloni 210 là 138 ngày (nghĩa là sau 138 ngày khối lượng của nguyên tố chỉ còn một nửa). Tính (chính xác đến hàng phần trăm) khối lượng còn lại của 20 gam poloni 210 sau 7314 ngày (khoảng 20 năm).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Kí hiệu un (gam) là khối lượng còn lại của 20 gam poloni sau n chu kì bán rã.
Tìm các yếu tố của CSN như \(u_1\) và q.
Từ đó tính số hạng \(u_{53}\).
Lời giải chi tiết
Kí hiệu un (gam) là khối lượng còn lại của 20 gam poloni sau n chu kì bán rã.
Sau 1 chu kì bán rã thì \({u_1} = \frac{{20}}{2} = 10\left( {gam} \right)\)
Ta có 7314 ngày gồm \(7314 : 138=53\) chu kì bán rã.
Như thế, theo đề bài, ta cần tính u53.
Từ giả thiết của bài toán suy ra dãy số (un) là một cấp số nhân với số hạng đầu \({u_1} = {\rm{ }}10\) và công bội \(q = {1 \over 2}\).
Do đó :
\({u_{53}} = 10.{\left( {{1 \over 2}} \right)^{52}} \approx 2,{22.10^{ - 15}}\) (gam)
trithuchub.com
Câu 36 trang 121 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Tính các tổng sau :
LG a
Tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân, biết rằng số hạng đầu bằng 18, số hạng thứ hai bằng 54 và số hạng cuối bằng 39 366;
Phương pháp giải:
- Tính \(q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}}\)
- Tính số các số hạng của CSN theo công thức \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}\)
- Tính tổng \[{S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\]
Lời giải chi tiết:
Gọi q là công bội của cấp số nhân đã cho.
Ta có: \(q = {{{u_2}} \over {{u_1}}} = {{54} \over {18}} = 3\)
Giả sử cấp số nhân có n số hạng ta có :
\(\eqalign{
& 39366 = {u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} = {18.3^{n - 1}} \cr
& \Rightarrow {3^{n - 1}} = {{39366} \over {18}} = 2187 = {3^7} \cr&\Rightarrow n = 8 \cr
& \Rightarrow {S_8} = {u_1}.{{1 - {q^8}} \over {1 - q}} = 18.{{1 - {3^8}} \over {1 - 3}} \cr&= 59040 \cr} \)
LG b
Tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân, biết rằng số hạng đầu bằng \({1 \over {256}}\) , số hạng thứ hai bằng \({{ - 1} \over {512}}\) và số hạng cuối bằng \({1 \over {1048576}}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{
& q = {{{u_2}} \over {{u_1}}} = - {1 \over 2} \cr
& {u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} \cr&\Rightarrow {1 \over {1048576}} = {1 \over {256}}.{\left( { - {1 \over 2}} \right)^{n - 1}} \cr
& \Leftrightarrow {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^{n - 1}} = \frac{1}{{4096}} = {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^{12}} \cr&\Leftrightarrow n - 1 = 12 \Leftrightarrow n = 13\cr& \Rightarrow {S_{13}} = {1 \over {256}}.{{1 - {{\left( {{{ - 1} \over 2}} \right)}^{13}}} \over {1 - \left( { - {1 \over 2}} \right)}}\cr& = {{2731} \over {1048576}} \cr} \)
trithuchub.com
Câu 37 trang 121 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Đề bài
Số đo bốn góc của một tứ giác lồi lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm bốn góc đó, biết rằng số đo của góc lớn nhất gấp 8 lần số đo của góc nhỏ nhất.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Sử dụng tổng số đo các góc của một tứ giác bằng \(360^0\)
- Công thức số hạng tổng quát tìm q:\[{u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}\]
- Công thức tổng n số hạng đầu tìm số đo góc nhỏ nhất: \[{S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\]
Lời giải chi tiết
Kí hiệu A, B, C, D là số đo bốn góc (tính theo đơn vị độ) của tứ giác lồi đã cho.
Không mất tổng quát, giả sử \(A ≤ B ≤ C ≤ D\).
Khi đó, từ giả thiết của bài toán ta có \(D = 8A\), và A, B, C, D theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.
Gọi q là công bội của cấp số nhân đó, ta có :
\(8A = D = A.q^3\)\( \Leftrightarrow {q^3} = 8\)\(⇔ q = 2\).
Do đó \(360 ^0= A + B + C + D \)\(= A.{{1 - {2^4}} \over {1 - 2}} = 15A \Leftrightarrow A = 24^0\)
Suy ra \(B = A.2 = 48^0\), \(C = A.2^2= 96^0\) và \(D = A.2^3= 192\)
trithuchub.com
Câu 38 trang 121 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Hãy chọn những khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây :
LG a
Nếu các số thực a, b, c mà \(abc ≠ 0\), theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng với công sai khác 0 thì các số \({1 \over a},{1 \over b},{1 \over c}\) theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số cộng.
Lời giải chi tiết:
Sai vì \(1, 2, 3\) là cấp số cộng nhưng \(1,{1 \over 2},{1 \over 3}\) không là cấp số cộng.
LG b
Nếu các số thực a, b, c mà \(abc ≠ 0\), theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân thì các số \({1 \over a},{1 \over b},{1 \over c}\) theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số nhân.
Lời giải chi tiết:
Đúng vì nếu \(a, b, c\) là cấp số nhân công bội \(q ≠ 0\) thì \({1 \over a},{1 \over b},{1 \over c}\) là cấp số nhân công bội \({1 \over q}.\)
LG c
\(1 + \pi + {\pi ^2} + ... + {\pi ^{100}} = {{{\pi ^{100}} - 1} \over {\pi - 1}}\)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tổng CSN: \[{S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\]
Lời giải chi tiết:
Sai vì dãy \(1,\pi ,{\pi ^2},...{\pi ^{100}}\) là một CSN có 101 số hạng và \({u_1} = 1,q = \pi \).
Tổng 101 số hạng trên là:
\(S_{101}=1 + \pi + {\pi ^2} + ... + {\pi ^{100}} \)
\( = \frac{{1.\left( {1 - {\pi ^{101}}} \right)}}{{1 - \pi }}\) \(= {{{\pi ^{101}} - 1} \over {\pi - 1}}\)
trithuchub.com
Câu 39 trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Đề bài
Các số \(x + 6y, 5x + 2y, 8x + y\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng; đồng thời, các số \(x – 1, y + 2, x – 3y\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm x và y.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng tính chất CSC: \[{u_{k + 1}} + {u_{k - 1}} = 2{u_k}\]
Tính chất CSN: \[{u_{k + 1}}.{u_{k - 1}} = u_k^2\]
- Lập hệ phương trình ẩn x, y.
- Giải hệ và kết luận.
Lời giải chi tiết
Vì các số \(x + 6y, 5x + 2y, 8x + y\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng nên :
\(2\left( {5x + 2y} \right) = \left( {x + 6y} \right) + \left( {8x + y} \right)\)
\( \Leftrightarrow 10x + 4y = 9x + 7y\)
\(\Leftrightarrow x = 3y\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Vì các số \(x – 1, y + 2, x – 3y\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân nên :
\({\left( {y + 2} \right)^2} = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 3y} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Thế (1) vào (2), ta được:
\({\left( {y + 2} \right)^2} = \left( {3y - 1} \right)\left( {3y - 3} \right)\)
\( \Leftrightarrow {\left( {y + 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow y = - 2.\)
Từ đó \(x = -6\).
trithuchub.com
Câu 40 trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Đề bài
Cho cấp số cộng (un) với công sai khác 0. Biết rằng các số u1u2, u2u3 và u3u1 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân với công bội q ≠ 0. Hãy tìm q.
Lời giải chi tiết
Vì cấp số cộng (un) có công sai khác 0 nên các số u1, u2, u3 đôi một khác nhau \(\Rightarrow {\rm{ }}{u_1}.{u_2} \ne {\rm{ }}0\) và \(q\ne1\).
Vì u1u2, u2u3 và u3u1 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}
{u_2}{u_3} = q.{u_1}{u_2}\\
{u_3}{u_1} = {q^2}.{u_1}{u_2}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_3} = q{u_1}\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
{u_3} = {q^2}{u_2}\,\,\left( 2 \right)
\end{array} \right.\)
Lấy (2) chia (1) ta được:\(1 = \frac{{q{u_2}}}{{{u_1}}} \Leftrightarrow {u_1} = q{u_2}\)
Vì \({u_1},{u_2},{u_3}\) là một cấp số cộng nên \({u_1} + {\rm{ }}{u_3} = {\rm{ }}2{u_2}\)
\( \Rightarrow q{u_2} + {q^2}{u_2} = 2{u_2} \)
\(\Leftrightarrow {u_2}\left( {q + {q^2}} \right) = 2{u_2} \)
\(\Leftrightarrow q + {q^2} = 2 \)
\(\Leftrightarrow {q^2} + q - 2 = 0 \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
q = 1\left( {\text{loại vì }q \ne 1} \right)\\
q = - 2
\end{array} \right.\)
trithuchub.com
Câu 41 trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Đề bài
Số hạng thứ hai, số hạng đầu và số hạng thứ ba của một cấp số cộng với công sai khác 0 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm công bội của cấp số nhân đó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tính chất CSC: \[{u_{k + 1}} + {u_{k - 1}} = 2{u_k}\]
Số hạng TQ của CSN: \[{u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}\]
Lời giải chi tiết
Kí hiệu (un) là cấp số cộng đã cho và gọi q là công bội của cấp số nhân u2, u1, u3.
Vì cấp số cộng (un) có công sai khác 0 nên các số u1, u2, u3 đôi một khác nhau, suy ra \(q \ne 0,q \ne 1,{u_2} \ne 0\)
Do u2, u1, u3 là CSN nên u1 = u2q, u3 = u2q2
Do u1, u2, u3 là CSC nên:
u1 + u3 = 2u2
\( \Rightarrow {u_2}q + {u_2}{q^2} = 2{u_2}\)
\( \Leftrightarrow {u_2}\left( {q + {q^2}} \right) = 2{u_2} \)
\(\Leftrightarrow {q^2} + q - 2 = 0\,\left( {\text{vì }\,{u_2} \ne 0} \right) \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
q = 1\left( {loai} \right)\\
q = - 2\left( {TM} \right)
\end{array} \right.\)
trithuchub.com
Câu 42 trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Đề bài
Hãy tìm ba số hạng đầu tiên của một cấp số nhân, biết rằng tổng của chúng bằng \({{148} \over 9}\) và đồng thời các số hạng đó tương ứng là số hạng đầu, số hạng thứ tư và số hạng thứ tám của một cấp số cộng.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng số hạng tổng quát của CSC: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\)
Mở rộng: \({u_m} = {u_k} + \left( {m - k} \right)d\)
Định nghĩa CSN: \({u_n} = q{u_{n - 1}}\)
Lời giải chi tiết
Kí hiệu u1, u2, u3 lần lượt là số hạng thứ nhất, thứ hai và thứ ba của cấp số nhân; gọi q là công bội của cấp số nhân đó.
Gọi d là công sai của cấp số cộng nhận u1, u2 và u3 tương ứng là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám.
Nếu \({u_1} = 0 \Rightarrow {u_2} = {u_3} = 0\) \( \Rightarrow {u_1} + {u_2} + {u_3} = 0 \ne \frac{{148}}{9}\) (mâu thuẫn)
Do đó \({u_1} \ne 0\).
Theo bài ra ta có:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{u_2} = {u_1}q = {u_1} + 3d\\
{u_3} = {u_2}q = {u_2} + 4d
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1}q - {u_1} = 3d\\
{u_2}q - {u_2} = 4d
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1}\left( {q - 1} \right) = 3d\,\,\,(1)\\
{u_2}\left( {q - 1} \right) = 4d\,\,\,(2)
\end{array} \right.
\end{array}\)
Xét hai trường hợp sau :
* Trường hợp 1 : q ≠ 1.
Khi đó (1) và (2) suy ra d ≠ 0 (do u1≠ 0) và \(q = {{{u_2}} \over {{u_1}}} = {4 \over 3}\)
Từ đó :
\(\eqalign{
& {{148} \over 9} = {u_1} + {u_2} + {u_3} = {u_1}.{{1 - {q^3}} \over {1 - q}} \cr
& = {u_1}.{{1 - {{\left( {{4 \over 3}} \right)}^3}} \over {1 - {4 \over 3}}} = {u_1}.{{37} \over 9} \Rightarrow {u_1} = 4 \cr
& \Rightarrow {u_2} = {u_1}q = {{16} \over 3} \Rightarrow {u_3} = {u_2}q = {{64} \over 9} \cr} \)
Ta có ba số vừa tìm được ở trên là các số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng có công sai \(d = {4 \over 9}.\)
* Trường hợp 2 : q = 1.
Khi đó \({u_1} = {u_2} = {u_3}\).
\( \Rightarrow \frac{{148}}{9} = {u_1} + {u_2} + {u_3} = 3{u_1}\)
\( \Rightarrow {u_1} = \frac{{148}}{{27}}\)
Ba số vừa tìm được ở trên là các số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng với công sai d = 0.
Vậy có hai bộ ba số cần tìm là :
\({u_1} = 4,{u_2} = {{16} \over 3},{u_3} = {{64} \over 9}\) và \({u_1} = {u_2} = {u_3} = {{148} \over {27}}.\)
trithuchub.com
Câu 43 trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Cho dãy số (un) xác định bởi
\(u_1\) = 1 và un + 1 = 5un + 8 với mọi n ≥ 1.
LG a
Chứng minh rằng dãy số (vn), với vn = un + 2, là một cấp số nhân. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đó.
Phương pháp giải:
Cộng cả hai vế của đẳng thức đã cho với 2 để làm xuất hiện \(v_{n+1}\) và \(v_n\)
Lời giải chi tiết:
Với mọi n ≥ 1, ta có :
\({u_{n + 1}} = 5{u_n} + 8\)
\(\Rightarrow {u_{n + 1}} + 2 = 5{u_n} + 10 \)
\(\Leftrightarrow {u_{n + 1}} + 2 = 5\left( {{u_n} + 2} \right) \)
\(\Rightarrow {v_{n + 1}} = 5{v_n}\)
Do đó (vn) là một cấp số nhân với số hạng đầu \({v_1} = {\rm{ }}{u_1} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}3\) và công bội q = 5.
Số hạng tổng quát : \({v_n} = {\rm{ }}{3.5^{n{\rm{ }}-{\rm{ }}1}}\)
LG b
Dựa vào kết quả phần a, hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số (un).
Phương pháp giải:
Sử dụng mối quan hệ giữa \(v_n\) và \(u_n\) kết hợp với số hạng TQ đã tìm được ở câu a để suy ra \(u_n\).
Lời giải chi tiết:
\({v_n} = {u_n} + 2 \)
\(\Rightarrow {u_n} = {v_n} - 2 = {3.5^{n - 1}} - 2\) với mọi \(n ≥ 1\)
trithuchub.com
Luyện trắc nghiệm Toán lớp 1 Lớp LOP11
Học đi đôi với hành! Làm ngay các bộ đề trắc nghiệm chấm điểm tức thì, có đáp án chi tiết giúp ghi nhớ kiến thức sâu và chuẩn bị tốt cho các bài kiểm tra.
Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub
Tải ứng dụng Tri Thức Hub trên điện thoại hoặc máy tính bảng (hỗ trợ Android & iOS) để làm bài kiểm tra, luyện tập và lưu tiến độ học tập!