Bài 4. Giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc hai - Toán 9 Cùng khám phá

Lý thuyết Giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc hai Toán 9 Cùng khám phá

Bước 1: Lập phương trình: - Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn số. - Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết. - Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 2. Giải phương trình. Bước 3. Kiểm tra xem nghiệm có thỏa mãn điều kiện của ẩn hay không rồi kết luận.

Ví dụ: Một ca nô xuất phát từ một bến và có chuyển động thẳng theo hướng Đông. Cùng lúc đó, một tàu thủy rời bến và chuyển động thẳng theo hướng Nam với tốc độ lớn hơn tốc độ của ca nô 8km/h. Tính tốc độ của ca nô, biết sau một giờ kể từ lúc xuất phát, khoảng cách giữa ca nô với tàu thủy là 40km.

Lời giải:

Gọi tốc độ của ca nô là \(x\left( {km/h} \right)\left( {x > 0} \right)\).

Tốc độ của tàu thủy là \(x + 8\left( {km/h} \right)\).

Gọi A là vị trí của bến, gọi B, C lần lượt là vị trí của ca nô và tàu thủy sau khi rời bến 1 giờ (như hình vẽ).

Quãng đường ca nô đi được sau 1 giờ là:

\(AB = x.1 = x\left( {km} \right)\)

Quãng đường tàu thủy đi được sau 1 giờ là:

\(AC = \left( {x + 8} \right).1 = x + 8\left( {km} \right)\)

Ca nô và tày thủy chuyển động theo hai hướng vuông góc với nhau nên tam giác ABC vuông tại A.

Ta có: \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) (định lí Pythagore).

\(\begin{array}{l}{x^2} + {\left( {x + 8} \right)^2} - {40^2}\\{x^2} + {x^2} + 16x + 64 = 1600\\2{x^2} + 16x - 1536 = 0\\{x^2} + 8x - 768 = 0\end{array}\)

Ta có: \(\Delta ' = {4^2} + 768 = 784,\sqrt {\Delta '}  = 28\).

Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1} = \frac{{ - 4 - 28}}{1} =  - 32\) (loại); \({x_2} = \frac{{ - 4 + 28}}{1} = 24\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy tốc độ của ca nô là \(24km/h\).

Giải câu hỏi trang 20, 21, 22 SGK Toán 9 tập 2 - Cùng khám phá

Giải bài tập 6.20 trang 22 SGK Toán 9 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 181. Tìm hai số đó.

Lời giải chi tiết

Gọi hai số cần tìm là x và x + 1.

Tích của hai số là: x.(x + 1) = x² + x

Tổng của hai số x + x + 1 = 2x + 1

Ta có tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 181 là:

x² + x – (2x + 1) = 181

x² + x – 2x – 1 = 181

x² – x – 182 = 0

Giải phương trình ta được:

Vậy hai số cần tìm là 14 và 15.

Giải bài tập 6.21 trang 22 SGK Toán 9 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Một tam giác vuông có độ dài ba cạnh là các số tự nhiên liên tiếp. Tính chu vi tam giác vuông đó.

Lời giải chi tiết

Gọi độ dài 3 cạnh tam giác vuông lần lượt là x; x + 1; x + 2 (x > 0)

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông, ta có:

Giải phương trình ta được:

Vậy độ dài 3 cạnh tam giác vuông lần lượt là 3; 4; 5.

Giải bài tập 6.22 trang 22 SGK Toán 9 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Từ một miếng tôn hình chữ nhật, người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông có cạnh bằng 4 dm để tạo thành một cái thùng hình hộp chữ nhật không nắp có dung tích bằng 1536 dm³ (Hình 6.9). Tính kích thước của miếng tôn ban đầu, biết chiều dài của nó gấp đôi chiều rộng.

 

Lời giải chi tiết

Gọi chiều rộng của miếng tôn là x (dm), x > 5. Chiều dài của nó là 2x (dm).

Khi làm thành một cái thùng không đáy thì chiều dài của thùng là 2x - 5 (dm), chiều rộng là x - 5 (dm), chiều cao là 5 (dm).

Dung tích của thùng là 5.(2x-10).(x-10) (dm³)

Theo đầu bài ta có phương trình:

Giải phương trình ta được:

Vậy miếng tôn có chiều rộng bằng 20 (dm), chiều dài bằng 40(dm).

Giải bài tập 6.23 trang 22 SGK Toán 9 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Bác Trung gửi tiết kiệm 50000000 đồng vào ngân hang với kì hạn 1 năm theo hình thức lãi kép (sau 1 năm, tiền lãi sẽ được gộp vào vốn để tính lãi cho năm tiếp theo). Tổng số tiền bác Trung nhận được sau 2 năm là 56180000 đồng. Hỏi lãi suất ngân hàng bác Trung gửi là bao nhiêu phần trăm một năm, biết trong 2 năm gửi lãi suất không thay đổi và bác Trung không rút tiền ra?

Lời giải chi tiết

Gọi số tiền bác Trung gửi là a (đồng), lãi suất x% trong 1 năm nhận cả vốn lẫn lãi là a + a.x% = a(1 + x%) (đồng).

Sau 2 năm nhận cả vốn lẫn lãi là: a(1 + x%) +a(1 + x%).x% = a(1 + x%)² đồng.

Tổng số tiền bác Trung nhận được sau 2 năm là 56180000 đồng nên ta có phương trình:

50000000.(1 + x%)² = 56180000

(1 + x%)² = 1,1236

1 + x% = 1,06

x% = 0,06 = 6%.

Vậy lãi suất ngân hàng là 6% một năm.

Giải bài tập 6.24 trang 22 SGK Toán 9 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Khi nói đến ti vi loại 32 inch, ta hiểu rằng đường chéo màn hình của chiếc ti vi này dài 32 inch (1 inch 2,54 cm). Khi nói đến tỉ lệ khung hình 16 : 9, ta hiểu rằng chiều dài và chiều rộng của màn hình đó lần lượt tỉ lệ với 16; 9. Loại tỉ lệ khung hình này là phổ biến nhất hiện nay. Để sản xuất một chiếc ti vi loại 32 inch với tỉ lệ khung hình 16 : 9 thì cần thiết kế chiều dài và chiều rộng màn hình bằng bao nhiêu centimét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Lời giải chi tiết

Gọi chiều rộng chiếc ti vi là x (cm) (x > 0)

Vì chiếc ti vi có dạng hình chữ nhật tỉ lệ khung hình 16 : 9 nên ta có

Chiếc ti vi có chiều rộng là 9x thì chiều dài là 16x.

Mà đường chéo hình chữ nhật là 32.2,54 = 81,28 cm.

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông là một nửa hình chữ nhật ta có:

Giải phương trình ta được:

Vậy chiều rộng màn hình ti vi là 7,59 cm và chiều dài là cm.