Bài 4. Hai mặt phẳng song song Toán 11 Cùng khám phá

Hoạt động 1

Xét hai bậc thang liên tiếp của một cầu thang ở Hình 4.66. Xem hai bề mặt bậc thang là hình ảnh của hai mặt phẳng (P₁), (P₂). Hãy nhận xét về số điểm chung của mặt phẳng (P₁) và (P₂).

Phương pháp giải:

Quan sát hình ảnh.

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng (P₁) và (P₂) không có điểm chung nào.

Luyện tập 1

Khẳng định sau đây đúng hay sai? Vì sao?

"Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong (P) đều song song hoặc chéo với mọi đường thẳng nằm trong (Q)."

Phương pháp giải:

Các đường thẳng không đồng phẳng thì chỉ có thể song song hoặc chéo nhau.

Lời giải chi tiết:

Khẳng định sau đúng vì (P) và (Q) song song với nhau, tức là (P) và (Q) không có điểm chung. Do đó các đường thẳng nằm trong (P) và các đường thẳng nằm trong (Q) không cùng nằm trong một mặt phẳng. Các đường thẳng không đồng phẳng là các đường thẳng song song với nhau hoặc chéo nhau.

Hoạt động 2

Cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\). Biết rằng hai đường thẳng a và b nằm trong \(\left( \alpha  \right)\) sao cho \(a\,{\rm{//}}\left( \beta  \right)\) và \(b\,{\rm{//}}\left( \beta  \right)\).

a) Vì sao \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) là hai mặt phẳng phân biệt?

b) Nếu \(\left( \alpha  \right)\) cắt \(\left( \beta  \right)\) theo giao tuyến c thì c có song song với a và b hay không?

c) Nếu a cắt b tại M thì \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) có thể có điểm chung hay không ?

Phương pháp giải:

a) Hai mặt phẳng phân biệt là hai mặt phẳng không trùng nhau.

b) Cho a // (P). Nếu (Q) chứa a và (Q) cắt (P) theo giao tuyến b thì a // b.

c) Chứng minh phản chứng (Giả sử \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) có điểm chung).

Lời giải chi tiết:

a) Nếu \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) trùng nhau thì a, b song song với \(\left( \alpha  \right)\)

Mà a, b nằm trong \(\left( \alpha  \right)\) (Mâu thuẫn)

Vậy \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) là hai mặt phẳng phân biệt.

b) \(a\,{\rm{//}}\left( \beta  \right)\), \(b\,{\rm{//}}\left( \beta  \right)\)

Mà \(\left( \alpha  \right)\) cắt \(\left( \beta  \right)\) theo giao tuyến c nên a // c, b // c.

c) Giả sử \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) có điểm chung. Vì \(\left( \alpha  \right)\) cắt \(\left( \beta  \right)\) là 2 mặt phẳng phân biệt nên \(\left( \alpha  \right)\) cắt \(\left( \beta  \right)\)

Theo phần b, suy ra a // c // b (Mâu thuẫn)

Vậy nếu a cắt b tại M thì \(\left( \alpha  \right)\) cắt \(\left( \beta  \right)\) không có điểm chung.

Luyện tập 2

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC. Chứng minh rằng mặt phẳng (MNP) song song với mặt phẳng (ABCD).

Phương pháp giải:

Nếu mặt phẳng (P) chứa 2 đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q).

Lời giải chi tiết:

Xét tam giác SAB có M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB nên MN // AB. Suy ra MN // (ABCD).

Xét tam giác SBC có N, P lần lượt là trung điểm của SB, SC nên NP // BC. Suy ra NP // (ABCD).

Vậy (MNP) // (ABCD).

Hoạt động 3

Cho điểm A nằm ngoài một mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\). Trong \(\left( \beta  \right)\), lấy hai đường thẳng cắt nhau a và b. Vẽ các đường thẳng \({d_1}\), \({d_2}\) qua A và lần lượt song song với a, b. Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng xác định bởi \({d_1}\) và \({d_2}\). Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) có điểm chung không? Vì sao?

Phương pháp giải:

Nếu mặt phẳng (P) chứa 2 đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{d_1}\,{\rm{//}}\,a\\a \subset \left( \beta  \right)\end{array} \right. \Rightarrow {d_1}\,{\rm{//}}\,\left( \beta  \right)\\\left\{ \begin{array}{l}{d_2}\,{\rm{//}}\,b\\b \subset \left( \beta  \right)\end{array} \right. \Rightarrow {d_2}\,{\rm{//}}\,\left( \beta  \right)\end{array}\)

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) chứa \({d_1}\), \({d_2}\) cắt nhau tại A và cùng song song với \(\left( \beta  \right)\) nên \(\left( \alpha  \right)\) song song với \(\left( \beta  \right)\).

Vậy mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) không điểm chung.

Luyện tập 3

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Lấy M là trung điểm của đoạn AD. Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng qua M và song song với mặt phẳng (SAC). Xác định giao tuyến của \(\left( \alpha  \right)\) với các mặt của hình chóp đã cho.

Phương pháp giải:

Kẻ 2 đường thẳng đi qua M và song song với 2 đường thẳng trong (SAC).

Lời giải chi tiết:

Trong tam giác SAD, vẽ đường thẳng đi qua M, song song với SA, cắt SD tại E (tức ME là đường trung bình của tam giác SAD), suy ra ME // (SAC) (1).

Trong tam giác ACD, vẽ đường thẳng đi qua M, song song với AC, cắt CD tại F (tức MF là đường trung bình của tam giác ACD), suy ra MF // (SAC) (2).

Từ (1) và (2) suy ra (ME, MF) // (SAC), do đó (MEF) là \(\left( \alpha  \right)\).

\(\begin{array}{l}\left( {MEF} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = MF\\\left( {MEF} \right) \cap \left( {SAD} \right) = ME\\\left( {MEF} \right) \cap \left( {SCD} \right) = EF\end{array}\)

Luyện tập 4

Cho hình chóp S.ABC. Gọi M là trung điểm của SA. Một đường thẳng d đi qua M và song song với mặt phẳng (ABC) nhưng không song song với BC. Xác định giao điểm của d với mặt phẳng (SBC).

Phương pháp giải:

Kẻ đường thẳng đi qua M và song song với một đường thẳng nằm trong (SBC) khác BC.

Lời giải chi tiết:

Trong tam giác SAB, vẽ đường thẳng d đi qua M và song song với AB, cắt SB tại D (tức MD là đường trung bình của tam giác SAB), suy ra MD // (ABC).

Vậy giao điểm của d với (ABC) là D.

Hoạt động 4

Cho mặt phẳng \(\left( \gamma  \right)\) cắt hai mặt phẳng song song \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) lần lượt theo hai giao tuyến a và b. Hỏi a và b có điểm chung hay không? Vì sao?

Phương pháp giải:

Hai đường thẳng lần lượt nằm trong 2 mặt phẳng song song thì song song hoặc chéo nhau.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng a, b lần lượt nằm trong 2 mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) song song với nhau nên a và b song song hoặc chéo nhau.

Luyện tập 5

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD với đáy lớn AD = 2BC. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AD và SD.

a) Chứng minh rằng (SAB) // (CIK).

b) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC, BD. Lấy M là điểm bất kì trên đoạn CD, đường thẳng OM cắt CI, AB lần lượt tại N, P và SM cắt CK tại Q. Chứng minh rằng SP // NQ.

Phương pháp giải:

a) Nếu mặt phẳng (P) chứa 2 đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q).

b) Cho 2 mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.

Lời giải chi tiết:

a) Xét tam giác SAD có I, K lần lượt là trung điểm của AD, SD nên IK // SA.

Ta có có AD // BC (ABCD là hình thang), AI = BC nên ABCI là hình bình hành. Suy ra IC // AB.

Vậy (CIK) // (SAB).

b)

\(\begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {SPM} \right) = SP\\\left( {CIK} \right) \cap \left( {SPM} \right) = NQ\end{array}\)

Mà (SAB) // (CIK) (cmt) nên SP // NQ.

Hoạt động 5

Cho ba mặt phẳng dôi một song song (P), (Q), (R) cắt hai đường thẳng d, d' lần lượt tại A, B, C và A', B', C'. Gọi B₁, là giao điểm của đường thẳng AC' và mặt phẳng (Q). Tìm mối liên hệ giữa các tỉ số \(\frac{{AB}}{{BC}}\) và \(\frac{{A{B_1}}}{{{B_1}C}}\); \(\frac{{A'}{B'}}{{B'}{C'}}\) và \(\frac{{A{B_1}}}{{{B_1}C}}\); \(\frac{{AB}}{{BC}}\) và \(\frac{{A'}{B'}}{{B'}{C'}}\).

Phương pháp giải:

- Cho 2 mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.

- Áp dụng định lý Thalès trong tam giác.

Lời giải chi tiết:

(ACC') lần lượt cắt (Q) và (R) theo hai giao tuyến BB₁ và CC'. Do đó, BB₁ // CC'.

(AA'C') lần lượt cắt (P) và (Q) theo hai giao tuyến AA' và B'B₁. Do đó, AA' // B'B₁.

Xét tam giác ACC' có BB₁ // CC', suy ra: \(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{A{B_1}}}{{{B_1}C}}\) (Định lý Thalès)

Xét tam giác AA'C' có AA' // B'B₁, suy ra: \(\frac{{A'}{B'}}{{B'}{C'}} = \frac{{A{B_1}}}{{{B_1}C}}\) (Định lý Thalès)

\( \Rightarrow \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{A'}{B'}}{{B'}{C'}}\left( { = \frac{{A{B_1}}}{{{B_1}C}}} \right)\).

Luyện tập 6

Các kệ trong ngăn mát của tủ lạnh có thể xem là hình ảnh của các mặt phẳng (Hình 4.80). Thông tin từ nhà sản xuất là các kệ này được lắp song song với nhau. Bề mặt bên trái và bên phải của tủ lạnh có các giá đỡ bên dưới các kệ. Nếu các giá đỡ ở mặt bên trái cách đều nhau một khoảng 15 cm thì các giá đỡ ở mặt bên phải cách nhau bao nhiêu? Vì sao?

Phương pháp giải:

Áp dụng định lý Thalès cho 3 mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

Ba ngăn mát là 3 mặt phẳng song song chắn 2 cạnh tủ thành các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. Mà giá đỡ ở mặt bên trái cách đều nhau một khoảng 15 cm cho nên các giá đỡ ở mặt bên phải cũng cách nhau 15 cm vì

Hoạt động 6

Cho hai mặt phẳng song song \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( {\alpha'}\right)\). Trên \(\left( \alpha  \right)\), lấy tam giác ABC. Qua các đỉnh A, B, C, ta vẽ các đường thẳng song song với nhau và cắt \(\left( {\alpha '} \right)\) lần lượt tại A, B, C. Các tứ giác ABB′A′, BCC′B′, ACC′A′ là hình gì? Hãy nhận xét về hai tam giác ABC và A′B′C′.

Phương pháp giải:

- Cho 2 mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.

- Hình bình hành là tứ giác có 2 cặp cạnh đối song song với nhau.

Lời giải chi tiết:

(ABB′A′) cắt 2 mặt phẳng song song \(\left( \alpha  \right)\), \(\left( {\alpha '} \right)\) lần lượt theo giao tuyến AB, A’B’. Suy ra AB // A’B’.

Mà AA’ // BB’ nên  ABB′A′ là hình bình hành. Do đó AB = A'B'.

(BCC′B′) cắt cắt 2 mặt phẳng song song \(\left( \alpha  \right)\), \(\left( {\alpha '} \right)\) lần lượt theo giao tuyến BC, B’C’. Suy ra BC // B’C’.

Mà BB’ // CC’ nên  BCC′B′ là hình bình hành. Do đó BC = B'C'.

(ACC′A′) cắt 2 mặt phẳng song song \(\left( \alpha  \right)\), \(\left( {\alpha '} \right)\) lần lượt theo giao tuyến AC, A’C’. Suy ra AC // A’C’.

Mà AA’ // CC’ nên  ACC′A′ là hình bình hành. Do đó AC = A'C'.

Tam giác ABC và tam giác A'B'C' bằng nhau vì AB = A'B', BC = B'C', AC = A'C'.

Luyện tập 7

Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A'B'C'D'. Gọi O là giao điểm của AC và BD, O' là giao điểm của A'C' và B'D'. Chứng minh rằng AO song song A'O '.

Phương pháp giải:

Cho 2 mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.

Lời giải chi tiết:

(AA'O'O) cắt 2 mặt phẳng song song (ABCD), (A'B'C'D') theo giao tuyến AO, A'O'. Suy ra AO // A'O'.

Luyện tập 8

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng bốn đường chéo của hình hộp cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Phương pháp giải:

Hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Lời giải chi tiết:

Ta có ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên AB // C'D' (vì cùng // CD) và AB = C'D' (vì cùng = CD). Suy ra ABC'D' là hình bình hành. Do đó AC' và BD' cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (1)

A'B // CD (vì cùng // AB) và A'B = CD (vì cùng = AB). Suy ra A'BCD là hình bình hành. Do đó A'C và B'D cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (2)

AA' // CC' (vì cùng // BB') và AA' = CC' (vì cùng = BB'). Suy ra ACC'A' là hình bình hành. Do đó AC' và BD' cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra bốn đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.