Bài 4. Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0). Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau - Toán 8

Hoạt động 1

Hình 5.26 biểu diễn đồ thị của các hàm số bậc nhất và . So sánh hệ số a của các hàm số trên. So sánh các góc .

Phương pháp giải:

Quan sát Hình 5.26 và các hàm số ta có thể xác định được các hệ số , sau đó so sánh hệ số của các hàm số đó và so sánh các góc .

Lời giải chi tiết:

Hàm số có

Hàm số có

Hàm số có

Từ đó ta thấy các hệ số góc của ba hàm số này bằng nhau.

Các góc bằng nhau.

Hoạt động 2

a)     Hình 5.28a biểu diễn đồ thị của các hàm số bậc nhất với hệ số a > 0:

So sánh các góc và so sánh các hệ số tương ứng của các hàm số trên rồi rút ra nhận xét.

b)    Hình 5.28b biểu diễn đồ thị của các hàm số bậc nhất với hệ số a < 0:

So sánh các góc và so sánh các hệ số tương ứng của các hàm số trên rồi rút ra nhận xét.

Phương pháp giải:

Quan sát Hình 5.28 và các hàm số ta có thể xác định được các hệ số , sau đó so sánh hệ số của các hàm số đó và so sánh các góc .

Lời giải chi tiết:

a)     Quan sát hình 5.28a ta thấy các góc

Hàm số có hệ số

Hàm số có hệ số

Hàm số có hệ số

Vậy qua đó ta được

b)    Quan sát hình 5.28b ta thấy các góc

Hàm số có hệ số

Hàm số có hệ số

Hàm số có hệ số

Vậy qua đó ta được

Luyện tập 1

Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng d như Hình 5.29. Tìm hệ số góc a.

Phương pháp giải:

Hệ số được gọi là hệ số góc của đường thẳng hay là hệ số góc của đồ thị hàm số

Lời giải chi tiết:

Quan sát hình 5.29, ta thấy hàm số bậc nhất có hệ số góc .

Vận dụng 1

Bạn Trọng tham gia cuộc thi trực tuyến “Tinh hoa Việt Nam” về những nét đặc sắc trong văn hóa nước ta. Khi mới tạo tài khoản dự thi, Trọng được tặng 50 điểm tích lũy. Mỗi khi trả lời đúng một câu hỏi, số điểm tích lũy T của Trọng được tăng theeo 5 điểm. Nếu trả lời sai câu hỏi thì không bị trừ điểm.

a)     Tìm công thức biểu diễn hàm số T theo số câu hỏi n mà Trọng trả lời đúng

b)    Tìm số điểm tích lũy của Trọng, biết rẳng Trọng đã trả lời đúng 18 câu hỏi.

Phương pháp giải:

Gọi số câu hỏi mà Trọng trả lời được là . Dựa vào các dữ liệu mà đề bài cho về mối quan hệ giữa các câu hỏi và điểm tích lũy, ta biểu diễn được hàm số T theo số câu hỏi mà Trọng trả lời đúng, sau đó tìm số điểm tích lũy của Trọng khi trả lời được 18 câu hỏi.

Lời giải chi tiết:

a)     Gọi số câu hỏi mà Trọng trả lời được là . Thì công thức biểu diễn hàm số T theo số câu hỏi mà Trọng trả lời đúng là:

b)    Số điểm tích lũy của Trọng khi trả lời đúng 18 câu hỏi là: (điểm)

Vận dụng 2

Trong Hình 5.30, các đường thẳng và lần lượt chứa đồ thị quãng đường – thời gian của hai ô tô A và B chuyển động đều.

a)     Tìm các số thích hợp cho ô trống trong Bảng 5.16.

b)    Xác định hệ số góc của mỗi đường thẳng.

c)     Tính tốc độ của mỗi xe. Em có nhận xét gì về tốc độ của mỗi xe và hệ số góc của đồ thị quãng đường – thời gian tương ứng?

Phương pháp giải:

Dựa vào cách xác định tọa độ trong mặt phẳng tọa độ học ở bài trước để tìm các số thích hợp cho Bảng 5.16.

Xác định hệ số góc của mỗi đường thẳng bằng cách thay các giá trị vừa tìm được vào công thức . Sau đó tính tốc độ của mỗi xe dựa vào công thức .

Lời giải chi tiết:

a)     Quan sát Hình 5.30 ta được Bảng 5.16 như sau: 

b)    Quan sát Hình 5.30 ta thấy cả hai đường thẳng d và d’ đều đi qua gốc tọa độ , vậy cả hai đường thẳng đều có dạng .

Đường thẳng d đi qua điểm có tọa độ thay vào hàm số , ta có:

Vậy hệ số góc của đường thẳng d là

Đường thẳng d’ đi qua điểm có tọa độ thay vào hàm số , ta có:

Vậy hệ số góc của đường thẳng d’ là

c)     Tốc độ của xe A là:

Tốc độ của xe B là:

Ta thấy tốc độ của mỗi xe bằng với hệ số góc của đồ thị quãng đường – thời gian tương ứng.

Hoạt động 3

a)     Vẽ đồ thị hai hàm số và trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b)    Giải thích vì sao hai đường thẳng và song song với nhau.

Phương pháp giải:

Vẽ hai đồ thị hàm số trên cùng mặt phẳng tọa độ sau đó giải thích hai đường thẳng song song với nhau bằng cách chứng minh hai góc bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

a)     Vẽ hệ trục tọa độ

Hàm số

Cho

Cho

Vậy đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm

Hàm số

Cho

Cho

Vậy đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm

b)    Gọi góc tạo bởi đường thẳng và trục là

Góc tạo bởi đường thẳng và trục là

Mà ta thấy cả hai đường thẳng đều có hệ số góc

→   Góc

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị

→   Đường thẳng

Luyện tập 2

Cho hàm số . Xác định hệ số a, biết đồ thị của hàm số đã cho song song với đường thẳng .

Phương pháp giải:

Hai đường thẳng và song song với nhau khi và ngược lại.

Lời giải chi tiết:

Áp dụng điều kiện hai đường thẳng song song, ta suy ra hệ số góc của đường thẳng là

Hoạt động 4

Cho hai đường thẳng và .

a)     Hai đường thẳng này có song song với nhau không? Từ đó kết luận về số giao điểm của chúng

b)    Vẽ hai đường thẳng đó trên cùng một hệ trục tọa độ và tìm tọa độ giao điểm (nếu có).

Phương pháp giải:

Điều kiện của hai đường thẳng cắt nhau là và ngược lại. Sau đó vẽ hai đường thẳng đó trên cùng một hệ trục tọa độ và tìm tọa độ giao điểm.

Lời giải chi tiết:

a)     Hai đường thẳng này không song song với nhau vì hệ số góc không bằng nhau. Vì vậy hai đường thẳng này sẽ cắt nhau và chỉ có một giao điểm

b)    Vẽ hệ trục tọa độ .

Hàm số

Cho

Cho

Vậy đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm

Hàm số

Cho

Cho

Vậy đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm

Giao điểm .

Luyện tập 3

Cho hai hàm số bậc nhất và . Tìm giá trị của m và n để đồ thị của hai hàm số đã cho là:

a)     Hai đường thẳng song song

b)    Hai đường thẳng cắt nhau.

Phương pháp giải:

Dựa vào điều kiện của hai đường thẳng song song và hai đường thẳng cắt nhau để tìm giá trị của m và n.

Lời giải chi tiết:

a)     Để hai hàm số bậc nhất và là hai đường thẳng song song thì =>

b)    Để hai hàm số bậc nhất và là hai đường thẳng cắt nhau thì => .

Vận dụng 3

Một bè gỗ trôi theo dòng nước trên một khúc sông từ bến A đến bến B với tốc độ 4 km/h. Xuất phát cùng lúc với bè gỗ, một thuyền ngược dòng từ B về A với tốc độ 8 km/h. Hai bến sông A, B cách nhau 12 km.

a)     Viết hàm số biểu thị quãng đường bè gỗ đi được sau x giờ

b)    Viết hàm số biểu thị quãng đường thuyền còn phải đi để đến A sau x giờ.

c)     Vẽ đồ thị của hai hàm số trên cùng một hệ trục tọa độ. Từ đồ thị hãy cho biết sau bao lâu kể từ khi cùng xuất phát thì bè gỗ và thuyền gặp nhau.

Phương pháp giải:

Dựa vào mối quan hệ giữa quãng đường và tốc độ đề bài đưa ra viết hàm số biểu thị quãng đường bè gỗ đi được sau x giờ và hàm số biểu thị quãng đường thuyền còn phải đi để đến A sau x giờ. Sau đó vẽ đồ thị của hai hàm số, áp dụng điều kiện đồ thị hai đường thẳng cắt nhau xác định giao điểm.

Lời giải chi tiết:

a)     Hàm số biểu thị quãng đường bè gỗ đi được sau x giờ là:

b)    Hàm số biểu thị quãng đường thuyền còn phải đi để đến A sau x giờ là:

c)     Vẽ hệ trục tọa độ

Hàm số đi qua gốc tọa độ

Cho

Vậy hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm

Hàm số

Cho

Cho

Vậy hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm

Từ đồ thị của hai hàm số trên ta thấy hai đường thẳng giao nhau tại có nghĩa là sau 1 giờ kể từ khi cùng xuất phát thì bè gỗ và thuyền gặp nhau.