Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Giải bài 1.31 trang 25 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x\);

b) \(y = {x^3} + 3{x^2} + 6x + 4\).

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: \(\mathbb{R}\).

Sự biến thiên:

+ Ta có \(y' = 3{x^2} - 12x + 9\). Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 12x + 9 = 0 \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \(x = 3\).

+ Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;3} \right)\).

+ Hàm số đạt cực đại tại \(x = 1\) với \({y_{CĐ}} = 4\), đạt cực tiểu tại \(x = 3\) với \({y_{CT}} = 0\).

+ Giới hạn tại vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty }  =  - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty }  =  + \infty \).

+ Bảng biến thiên:

Đồ thị: Đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm \(\left( {0;0} \right)\), cắt trục hoành tại hai điểm \(\left( {0;0} \right)\) và \(\left( {3;0} \right)\). Đồ thị nhận \(\left( {2;2} \right)\) làm tâm đối xứng.

b)  Tập xác định: \(\mathbb{R}\).

Sự biến thiên:

+ Ta có \(y' = 3{x^2} + 6x + 6 > 0\) với mọi \(x\).

+ Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

+ Hàm số không có cực trị.

+ Giới hạn tại vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty \).

+ Bảng biến thiên:

Đồ thị: Đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm \(\left( {0;4} \right)\), cắt trục hoành tại điểm \(\left( { - 1;0} \right)\), đồ thị có tâm đối xứng là điểm \(\left( { - 1;0} \right)\).

Giải bài 1.32 trang 25 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{{3x + 5}}{{x + 2}}\);

b) \(y = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\).

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\)

Sự biến thiên:

+ Ta có \(y' = \frac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} > 0\) với mọi \(x \ne  - 2\).

+ Hàm số đồng biến trên từng khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2; + \infty } \right)\).

+ Hàm số không có cực trị.

+ Tiệm cận: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty }  = 3\) suy ra tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 3\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} y =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} y =  - \infty \) suy ra tiệm cận đứng là đường thẳng \(x =  - 2\).

+ Bảng biến thiên:

Đồ thị: Đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm \(\left( {0;\frac{5}{2}} \right)\), cắt trục hoành tại hai điểm \(\left( {\frac{{ - 5}}{3};0} \right)\) và \(\left( {3;0} \right)\). Đồ thị nhận \(\left( { - 2;3} \right)\) làm tâm đối xứng. Hai trục đối xứng của hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận.

b)  Tập xác định: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Sự biến thiên:

+ Ta có \(y' = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0\) với mọi \(x \ne 1\).

+ Hàm số nghịch biến trên từng khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).

+ Hàm số không có cực trị.

+ Tiệm cận: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = 2\) suy ra tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 2\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y =  - \infty \) suy ra tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 1\).

+ Bảng biến thiên:

Đồ thị: Đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm \(\left( {0;1} \right)\), cắt trục hoành tại điểm \(\left( {\frac{1}{2};0} \right)\), đồ thị có tâm đối xứng là điểm \(\left( {1;2} \right)\). Hai trục đối xứng của hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận.

Giải bài 1.33 trang 25 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{{{x^2} - 4x + 8}}{{x - 2}}\);

b) \(y = \frac{{2{x^2} + 3x - 5}}{{x + 1}}\).

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).

Ta có \(y = x - 2 + \frac{4}{{x - 2}}\).

Sự biến thiên:

+ Ta có \(y' = \frac{{{x^2} - 4x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\), khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 4x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 4\).

+ Hàm số đồng biến trên từng khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {4; + \infty } \right)\); hàm số nghịch biến trên từng khoảng \(\left( {0;2} \right)\) và \(\left( {2;4} \right)\).

+ Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) với \({y_{CĐ =- 4}}\); hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 4\) với \({y_{CT = 4}}\).

+ Tiệm cận: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y =  - \infty \) suy ra tiệm cận đứng là đường thẳng \(x =  - 2\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {\left( {x - 2} \right) - \left( {x - 2 + \frac{4}{{x - 2}}} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{ - 4}}{{x - 2}} = 0\) suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y = x - 2\).

+ Bảng biến thiên:

Đồ thị: Đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm \(\left( {0; - 4} \right)\), không cắt trục hoành. Đồ thị nhận \(\left( {2;0} \right)\) làm tâm đối xứng. Hai trục đối xứng của hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận.

b)  Tập xác định: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

Ta có \(y = 2x + 1 - \frac{6}{{x + 1}}\)

Sự biến thiên:

+ Ta có \(y' = \frac{{2{x^2} + 4x + 8}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0\) với mọi \(x \ne  - 1\).

+ Hàm số đồng biến trên từng khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).

+ Hàm số không có cực trị.

+ Tiệm cận: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} y =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} y =  - \infty \) suy ra tiệm cận đứng là đường thẳng \(x =  - 1\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {\left( {2x + 1} \right) - \left( {2x + 1 - \frac{6}{{x + 1}}} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{6}{{x + 1}} = 0\) suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y = 2x + 1\).

+ Bảng biến thiên:

Đồ thị: Đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm \(\left( {0; - 5} \right)\), cắt trục hoành tại các điểm \(\left( {\frac{{ - 5}}{2};0} \right)\)và \(\left( {1;0} \right)\), đồ thị có tâm đối xứng là điểm \(\left( { - 1; - 1} \right)\). Hai trục đối xứng của hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận.

Giải bài 1.34 trang 25 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) và \(f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ sau:

Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến và các điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết

Từ đồ thị của hàm \(f'\left( x \right)\) ta có \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x =  - 1\) hoặc \(x = 2\).

Ta có \(f'\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(x \in \left( {2; + \infty } \right)\) do đó \(f\left( x \right)\) đồng biến trên từng khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\); \(f'\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \in \left( { - 1;2} \right)\) do đó \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( { - 1;2} \right)\).

Lập bảng biến thiên

Hàm số đạt cực đại tại \(x =  - 1\), đạt cực tiểu tại \(x = 2\).

Giải bài 1.35 trang 25 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Gia tốc của một vật chuyển động, tính theo giây, từ giây thứ nhất đến giây thứ là một hàm liên tục có đồ thị như sau:

a) Lập bảng biến thiên của hàm vận tốc của vật, với .

b) Tại thời điểm nào vật chuyển động với vận tốc lớn nhất?

Lời giải chi tiết

a) Ta có .

Từ đồ thị ta có .

Ta thấy với mọi , với mọi .

Lập bảng biến thiên

b) Từ bảng biến thiên suy ra vận tốc lớn nhất đạt tại giây thứ ().

Giải bài 1.36 trang 26 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một mẫu giấy in hình chữ nhật được thiết kế với vùng in có diện tích \(300\) cm², lề trái và lề phải là \(2\) cm, lề trên và lề dưới là \(3\) cm. Gọi \(x\) (cm) là chiều rộng của tờ giấy.

a) Tính diện tích của tờ giấy theo \(x\).

b) Kí hiệu diện tích tờ giấy là \(S\left( x \right)\). Khảo sát sự biến thiên của hàm số \(y = S\left( x \right)\).

c) Tìm kích thước của tờ giấy sao cho nguyên liệu giấy được sử dụng là ít nhất.

Lời giải chi tiết

Gọi \(y\) (cm) là chiều dài của tờ giấy. 

Khi đó diện tích vùng in của tờ giấy là \(\left( {x - 4} \right)\left( {y - 6} \right) = 300\) (cm²)

Suy ra \(y = 6 + \frac{{300}}{{x - 4}}\).

a) Diện tích của tờ giấy là \(S\left( x \right) = xy = x\left( {6 + \frac{{300}}{{x - 4}}} \right) = \frac{{x\left( {6x + 276} \right)}}{{x - 4}}\)

b) Tập xác định \(\left( {4; + \infty } \right)\).

Sự biến thiên: \(S\left( x \right) = 6x + 300 + \frac{{1200}}{{x - 4}}\) khi đó \(S'\left( x \right) = \frac{{6{{\left( {x - 4} \right)}^2} - 1200}}{{{{\left( {x - 4} \right)}^2}}}\)

+ Ta có \(S'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{6{{\left( {x - 4} \right)}^2} - 1200}}{{{{\left( {x - 4} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow 6{\left( {x - 4} \right)^2} - 1200 = 0 \Leftrightarrow x = 4 + 10\sqrt 2 \).

+ Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {4 + 10\sqrt 2 ; + \infty } \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( {4;4 + 10\sqrt 2 } \right)\).

+ Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 4 + 10\sqrt 2 \).

+ Bảng biến thiên:

c) Để sử dụng ít nguyên liệu nhất thì tờ giấy có diện tích bé nhất hay \(S\left( x \right)\) nhỏ nhất.

Từ bảng biến thiên ta suy ra \(S\left( x \right)\) nhỏ nhất tại \(x = 4 + 10\sqrt 2 \) suy ra \(y = 6 + \frac{{300}}{{x - 4}} = 6 + \frac{{30}}{{\sqrt 2 }}\). Vậy chiều rộng bằng \(4 + 10\sqrt 2 \), chiều dài bằng \(6 + \frac{{30}}{{\sqrt 2 }}\) thì nguyên liệu giấy được sử dụng ít nhất.

Giải bài 1.37 trang 26 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Giả sử chi phí để sản xuất sản phẩm của một nhà máy được cho bởi (triệu đồng). Khi đó chi phí trung bình để sản xuất một đơn vị sản phẩm là .

a) Khảo sát sự biến thiên của hàm số .

b) Số lượng sản phẩm cần sản xuất là bao nhiêu để chi phí trung bình là thấp nhất?

Lời giải chi tiết

a) Xét hàm số .

Tập xác định .

Sự biến thiên: .

Khi đó do .

+ Ta có .

+ Hàm số đồng biến trên khoảng , nghịch biến trên khoảng .

+ Hàm số đạt cực tiểu tại với .

+ Giới hạn tại vô cực

+ Bảng biến thiên:

b) Từ bảng biến thiên suy ra số lượng sản phẩm cần sản xuất là để chi phí sản xuất trung bình là thấp nhất: .

Giải bài 1.38 trang 26 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho điểm $A\left(3;2\right)$ trên mặt phẳng tọa độ. Một đường thẳng đi qua cắt trục hoành tại , cắt trục tung tại tạo thành một tam giác nằm trong góc phần tư thứ nhất, với là gốc tọa độ.

a) Biết hoành độ điểm là với . Tính diện tích tam giác theo . Kí hiệu diện tích này là .

b) Khảo sát sự biến thiên của hàm số .

c) Tìm vị trí điểm để diện tích tam giác nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng đi qua và có phương trình hay .

Suy ra có tung độ là .

Diện tích tam giác là .

b) Xét hàm số .

Tập xác định: .

Sự biến thiên: .

Khi đó do .

+ Hàm số đồng biến trên khoảng , nghịch biến trên khoảng .

+ Hàm số đạt cực tiểu tại với .

+ Giới hạn tại vô cực

+ Bảng biến thiên:

c) Để diện tích tam giác nhỏ nhất thì đạt giá trị nhỏ nhất.

Từ bảng biến thiên suy ra, giá trị nhỏ nhất của tam giác là khi khi đó

Giải bài 1.39 trang 26 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một quần thể cá được nuôi trong một hồ nhân tạo lúc ban đầu có con. Sau năm số lượng quần thể cá nói trên được xác định bởi

(nghìn con).

a) Khảo sát sự biến thiên của hàm số .

b) Số lượng tối đa có thể chứa của quần thể cá không vượt quá ngưỡng trên là bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

a) Xét hàm số .

Tập xác định: .

Sự biến thiên: với mọi .

+ Hàm số đồng biến trên khoảng .

+ Hàm số không có cực trị.

+ Giới hạn tại vô cực

+ Bảng biến thiên:

b)  Hồ có số lượng cá tối đa khi hàm số đạt giá trị lớn nhất.

Từ bảng biến thiên suy ra giá trị lớn nhất của hàm số là .

Vậy hồ có thể chứa tối đa 1200 nghìn con hay 1 200 000 con cá.

Giải bài 1.40 trang 27 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một khối bưu kiện hình hộp chữ nhật được quy định về kích cỡ như sau: tổng chiều dài và chu vi thiết diện ngang (hình vuông) là \(240\) cm. Gọi \(x\) là độ dài cạnh của thiết diện ngang.

a) Tính thể tích của khối bưu kiện theo \(x\).

b) Kí hiệu \(V\left( x \right)\) là thể tích của khối bưu kiện. Khảo sát sự biến thiên của hàm số \(y = V\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết

a) Giả sử chiều dài là \(y\), ta có \(y + 4x = 240\) suy ra \(y =  - 4x + 240\).

Khi đó thể tích khối bưu kiện là \(x \cdot y \cdot x = x \cdot \left( { - 4x + 240} \right) \cdot x = {x^2} \cdot \left( { - 4x + 240} \right)\) (cm³)

b) Xét hàm số \(V\left( x \right) = {x^2} \cdot \left( { - 4x + 240} \right)\).

Tập xác định: \(\left( {0;60} \right)\).

Sự biến thiên: \(V'\left( x \right) = 480x - 12{x^2}\) khi đó \(V'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 480x - 12{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 40\) do \(x > 0\).

+ Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;40} \right)\), nghịch biến trên \(\left( {40;60} \right)\).

+ Hàm số đạt cực đại tại \(x = 40\) với  \({{V}_{C}}=128000\)cm³.

+ Giới hạn tại vô cực \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } N\left( t \right) = 1200\)

+ Bảng biến thiên: