Bài 4. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - Toán 12 Cùng khám phá

Lý thuyết Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Toán 12 Cùng khám phá

1. Sơ đồ khảo sát hàm số

1. Tìm tập xác định của hàm số. 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số. - Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có). - Lập BBT của hàm số bao gồm: tìm đạo hàm của hàm số, xét dấu đạo hàm, mô tả chiều biến thiên và cực trị của hàm số (nếu có), điền đầy đủ các kết quả vào bảng. - Dựa vào bảng, ta có kết luận về chiều biến thiên và cực trị. 3. Vẽ đồ thị hàm số. - Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có). - Xác định thêm một số điểm đặc biệt của đồ thị, chẳng hạn tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ (nếu đồ thị không cắt các trục tọa độ hoặc việc tìm các tọa độ giao điểm phức tạp thì bỏ qua phần này). - Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị.

2. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số .

Tập xác định của hàm số: R.

Sự biến thiên:

Ta có: . Vậy y’ = 0 khi x = 0 hoặc x = 2

Trên khoảng , y’ > 0 nên hàm số đồng biến. Trên các khoảng và , y’ < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, giá trị cực tiểu . Hàm số đạt cực đại tại x = 2, giá trị cực đại.

Giới hạn tại vô cực: .

BBT:

Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm .

Ta có: y = 0 x = -1 hoặc x = 2. Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm và .

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm .

3. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số .

Tập xác định của hàm số: R\{2}.

Sự biến thiên:

Ta có: với mọi .

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng và .

Hàm số không có cực trị.

Tiệm cận: .

                .

Do đó, đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là x = 2, tiệm cận ngang là y = 1.

BBT:

Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm .

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm .

Đồ thị hàm số nhận giao điểm I của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm trục đối xứng.

4. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu)

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số .

Tập xác định của hàm số: R\{2}.

Sự biến thiên: Viết .

Ta có: . Vậy y’ = 0 x = 1 hoặc x = 3.

Trên các khoảng và , y’ > 0 nên hàm số đồng biến trên từng khoảng này.

Trên các khoảng và , y’ < 0 nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng này.

Hàm số đạt cực đại tại x = 1 với ; hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 với .

.

.

; .

Do đó, đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là x = 2, tiệm cận xiên là y = x + 1.

BBT:

Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm .

Ta có: . Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm .

Đồ thị hàm số nhận giao điểm I của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm trục đối xứng.

5. Vận dụng đạo hàm và khảo sát hàm số để giải quyết một số vấn đề liên quan thực tiễn

Ví dụ: Khi một vật lạ mắc kẹt trong khí quản khiến ta phải ho, cơ hoành đẩy lên trên gây ra tăng áp lực trong phổi, theo đó cuống họng co thắt làm hẹp khí quản khiến không khí đi qua mạnh hơn. Đối với một lượng không khí bị đẩy ra trong một khoảng thời gian cố định, khí quản càng nhỏ thì luồng không khí càng đẩy ra nhanh hơn. Vận tốc luồng khí thoát ra càng cao, lực tác động lên vật càng lớn. Qua nghiên cứu một số trường hợp, người ta nhận thấy vận tốc v của luồng khí liên hệ với bán kính x của khí quản theo công thức:

với

trong đó k là hằng số (k > 0) và là bán kính khí quản ở trạng thái bình thường. Tìm x theo để vận tốc của luồng khí một cơn ho trong trường hợp này là lớn nhất.

Giải:

Xét hàm số với cố định và .

Do k là hằng số nên vận tốc của luồng khí một cơn ho lớn nhất khi f(x) đạt giá trị lớn nhất.

Ta có:

BBT:

Dựa vào BBT, ta có .

Vậy vận tốc của luồng khí một cơn ho lớn nhất khi .

Giải mục 1 trang 24, 25 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Giải mục 2 trang 26 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Giải mục 3 trang 28 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Giải mục 4 trang 30 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Giải mục 5 trang 33, 34 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Giải bài tập 1.20 trang 34 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) \(y = {x^3} + 3{x^2} - 4\)

b) \(y = {x^3} + 4{x^2} + 4x\)

c) \(y =  - 2{x^3} + 2\)

d) \(y =  - {x^3} - {x^2} - x + 1\)

Lời giải chi tiết

a)

- Tập xác định: D = R.

- Sự biến thiên:

Giới hạn:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {{x^3} + 3{x^2} - 4} \right) = \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {{x^3} + 3{x^2} - 4} \right) =  - \infty \)

_{Ta có:} \({y^\prime } = 3{x^2} + 6x\)

\({y^\prime } = 0 \leftrightarrow 3{x^2} + 6x = 0 \leftrightarrow x =  - 2{\rm{ hoac }}x = 0\)

Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞,-2) và (0,∞), nghịch biến trên khoảng (-2,0).

Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0,{y_{CT}} =  - 4\)

Hàm số đạt cực đại tại \(x =  - 2,{y_{CD}} = 0\)

- Vẽ đồ thị:

Giao điểm với trục Oy là (0,-4).

Giao điểm với trục Ox là (-2,0), (1,0).

b)

- Tập xác định: D = R.

- Sự biến thiên:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {{x^3} + 4{x^2} + 4x} \right) = \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {{x^3} + 4{x^2} + 4x} \right) =  - \infty \)

Ta có: \({y^\prime } = 3{x^2} + 8x + 4\)

\({y^\prime } = 0 \leftrightarrow 3{x^2} + 8x + 4 = 0 \leftrightarrow x =  - 2{\rm{  }}\)hoặc \(x = \frac{{ - 2}}{3}\)

Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số đồng biến trên các khoảng \(( - \infty , - 2)\) và \(\left( {\frac{{ - 2}}{3},\infty } \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 2,\frac{{ - 2}}{3}} \right)\).

Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = \frac{{ - 2}}{3},{y_{CT}} =  - \frac{{32}}{{27}}\)

Hàm số đạt cực đại tại \(x =  - 2,{y_{CD}} = 0\)

- Vẽ đồ thị:

Đi qua gốc tọa độ O(0,0).

Giao điểm với trục Ox là (-2,0).

c)

- Tập xác định: D = R.

- Sự biến thiên:

Giới hạn:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( { - 2{x^3} + 2} \right) =  - \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y{\rm{ }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( { - 2{x^3} + 2} \right) = \infty \)

Ta có: \({y^\prime } =  - 6{x^2} \le 0\forall x \in R\)

 \({y^\prime } = 0 \leftrightarrow  - 6x = 0 \leftrightarrow x = 0{\rm{  }}\)

Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên R.

Cực trị: Hàm số không có cực trị

- Vẽ đồ thị:

Giao điểm với trục Oy là (0,2).

Giao điểm với trục Ox là (1,0).

d) \(\)

- Tập xác định: D = R.

- Sự biến thiên:

Giới hạn:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( { - {x^3} - {x^2} - x + 1} \right) =  - \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y{\rm{ }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( { - {x^3} - {x^2} - x + 1} \right) = \infty \)

Ta có: \({y^\prime } =  - 3{x^2} - 2x - 1 < 0\forall x \in R\)

Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên R.

Cực trị: Hàm số không có cực trị

- Vẽ đồ thị

Giao với trục Oy tại điểm (0,1)

Giao với trục Ox tại điểm (0.5437,0)

Giải bài tập 1.21 trang 34 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:

a)

b)

Lời giải chi tiết

a)

- Tập xác định:

- Sự biến thiên:

Giới hạn, tiệm cận:

Suy ra đường thẳng là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho

Suy ra đường thẳng là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho

Ta có:

Suy ra hàm số đồng biến trên tập xác định

Bảng biến thiên:

Cực trị: Hàm số không có cực trị

- Vẽ đồ thị

Tiệm cận đứng: và tiệm cận ngang

Giao với trục Oy tại điểm (0,-2)

Giao với trục Ox tại điểm (2,0)

b)

- Tập xác định:

- Sự biến thiên:

Giới hạn, tiệm cận:

Suy ra đường thẳng là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho

Suy ra đường thẳng . là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho

Ta có:

Suy ra hàm số nghịch biến trên tập xác định

Bảng biến thiên:

Cực trị: Hàm số không có cực trị

- Vẽ đồ thị

Tiệm cận đứng: và tiệm cận ngang

Giao với trục Oy tại điểm (0,)

Giao với trục Ox tại điểm (,0)

Giải bài tập 1.22 trang 34 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau đây:

a)

b)

c)

d)

Lời giải chi tiết

a)

- Tập xác định: D = R \ {-1}.

- Sự biến thiên:

Giới hạn:

Suy ra x = -1 là tiệm cận đứng của hàm số

Suy ra hàm số không có tiệm cận ngang

Khi nên là tiệm cận xiên của hàm số

Ta có:

Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞,-2) và (-1,0), đồng biến trên khoảng (-2,-1) và (-1,0).

Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại

Hàm số đạt cực đại tại

- Vẽ đồ thị:

Tiệm cận đứng , tiệm cận xiên

Giao điểm với trục Oy là

b)

- Tập xác định: D = R \ {2}.

- Sự biến thiên:

Giới hạn:

Suy ra x = 2 là tiệm cận đứng của hàm số

Suy ra hàm số không có tiệm cận ngang

_{Khi nên là tiệm cận xiên của hàm số}

_{Ta có:}

Vậy hàm số đồng biến trên tập xác định

Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số đồng biến trên khoảng (-) và (2, ).

Cực trị: Hàm số không có cực trị

- Vẽ đồ thị:

Tiệm cận đứng x = 2, tiệm cận xiên y = x.

Giao điểm với trục Oy là (0,)

Giao điểm với trục Ox là (-1,0) và (3,0)

c)

- Tập xác định: D = R \ {-1}.

- Sự biến thiên:

Giới hạn:

Suy ra x = -1 là tiệm cận đứng của hàm số

Suy ra hàm số không có tiệm cận ngang

_{Khi nên là tiệm cận xiên của hàm số}

_{Ta có:}

Vậy hàm số nghịch biến trên tập xác định

Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên khoảng (-,-1).và (-1, ).

Cực trị: Hàm số không có cực trị

- Vẽ đồ thị:

Tiệm cận đứng x = -1, tiệm cận xiên y =- x-1.

Đi qua gốc toạ độ O(0,0) và giao với trục hoành tại điểm (-2,0)

d)

- Tập xác định: D = R \ {1}.

- Sự biến thiên:

Giới hạn:

Suy ra x = -1 là tiệm cận đứng của hàm số

Suy ra hàm số không có tiệm cận ngang

_{Khi nên là tiệm cận xiên của hàm số}

_{Ta có:}

Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên khoảng (-,0) và (2, ), đồng biến trên khoảng (0,1) và (1,2).

Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại

Hàm số đạt cực đại tại

- Vẽ đồ thị:

Tiệm cận đứng x = 1, tiệm cận xiên y =-2x-1.

Giao điểm với trục Oy là (0,1)

Giải bài tập 1.23 trang 35 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Một người chèo thuyền từ điểm A trên bờ một con sông thẳng, rộng 3 km và muốn đến điểm B, cách bờ đối diện 8 km về phía hạ lưu, càng nhanh càng tốt như Hình 1.39. Người ấy có thể chèo thuyền qua sông đến điểm C rồi chạy bộ đến B, hoặc anh ta có thể chèo thuyền đến D nào đó giữa C và B rồi chạy bộ đến B. Tốc độ chèo thuyền là 6 km/h và tốc độ chạy bộ là 8 km/h. Tìm thời gian ngắn nhất mà người này có thể đi từ A đến B (bỏ qua vận tốc của nước và làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Lời giải chi tiết

- Gọi 𝑥 là khoảng cách từ điểm C đến điểm D (BC≥𝑥≥0).

- Quãng đường từ A đến D là: km.

- Thời gian chèo thuyền là: giờ.

- Thời gian chạy bộ từ D đến B là: giờ.

→ Tổng thời gian:

- Khảo sát hàm số 𝑇(𝑥):

Tính đạo hàm:

Giải phương trình :

Bảng biến thiên:

Thời gian ngắn nhất mà người này có thể đi từ A đến B là 1.33 giờ.

Giải bài tập 1.24 trang 35 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Một chất điểm chuyển động theo quy luật , với 𝑡 (đơn vị: giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và 𝑠 (đơn vị: mét) là quãng đường chất điểm di chuyển được trong khoảng thời gian đó.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 𝑠=𝑠(𝑡) trên hệ trục tọa độ 𝑡0𝑠.

b) Trong khoảng thời gian 2 giây kể từ khi bắt đầu chuyển động, chất điểm đạt được vận tốc lớn nhất là bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

a)

- Tập xác định:

- Tính đạo hàm:

Giải phương trình:

- Giới hạn

- Bảng biến thiên:

- Vẽ đồ thị

Hàm số nghịch biến trên khoảng (0, ) và (1,∞)

Hàm số đồng biến trên khoảng (,1)

Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại

Hàm số đạt cực đại tại

b)

Ta có vận tốc:

Điểm cực trị của vận tốc:

Giải :

 Vận tốc tại các điểm biên và cực trị:

Vậy, vận tốc lớn nhất trong khoảng thời gian 2 giây là m/s.

Giải bài tập 1.25 trang 35 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Người ta cần rào một mảnh đất hình chữ nhật ABCD có diện tích là 600 m². Trên mảnh đất này, người ta chia làm ba miếng đất hình chữ nhật có diện tích bằng nhau (Hình 1.40). Giá tiền để xây dựng hàng rào bên trong và bao bên ngoài là 60.000 đồng mỗi mét, biết rằng chiều dài hình chữ nhật ABCD không vượt quá 60 m. Tìm chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật ABCD sao cho chi phí xây dựng hàng rào là thấp nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Lời giải chi tiết

Gọi chiều dài là $x$ $(0<x\le 60)$ và chiều rộng là của hình chữ nhật ABCD.

Diện tích của hình chữ nhật ABCD là:

- Chi phí hàng rào ngoài là 2x+2y.

- Chi phí hàng rào bên trong là 2y.

-Tổng chi phí là:

Viết hàm mục tiêu:

Tìm giá trị cực trị:

- Tính đạo hàm:

- Cho đạo hàm bằng 0:

Bảng biến thiên:

Nhận thấy tại vị trí x=34,64 thì giá trị của f(x) là nhỏ nhất

Tính :

Tính chi phí:

Kết luận: Để chi phí xây dựng hàng rào là thấp nhất thì

- Chiều dài của hình chữ nhật ABCD: m

- Chiều rộng của hình chữ nhật ABCD: m

- Tổng chi phí xây dựng hàng rào: 8313600 đồng.

Giải bài tập 1.26 trang 36 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Người ta cần thiết kế một cái lon có dạng hình trụ có thể tích là 1 lít (Hình 1.41). Tính tỉ lệ chiều cao và bán kính đáy hình trụ này để tổng chi phí làm vỏ lon (bao gồm cả hai đáy) là nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết

Gọi bán kính đáy là 𝑟 (𝑟 >0) và chiều cao là ℎ (ℎ>0) của hình trụ.

Thể tích hình trụ:

Diện tích xung quanh của hình trụ là:

Diện tích của hai đáy là:

Tổng diện tích bề mặt:

Tìm giá trị cực trị:

- Tính đạo hàm:

- Cho đạo hàm bằng 0:

Bảng biến thiên:

Nhận thấy f(r) đạt giá trị nhỏ nhất tại r ≈ 5,42

Vậy để tổng chi phí làm vỏ lon nhỏ nhất thì:

- Bán kính đáy của hình trụ: r ≈ 5,42 cm

- Chiều cao của hình trụ: cm

- Tỉ lệ chiều cao và bán kính:

Giải bài tập 1.27 trang 36 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Trong Vật lý, điện trở tương đương của hai điện trở mắc song song được xác định bởi công thức. Biết rằng . Đặt .

a) Tính theo , xem biểu thức tính được này là một hàm số . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với .

b) Khi tăng, điện trở thay đổi như thế nào? không thể vượt qua giá trị bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

a)

- Tính theo :

Vậy hàm số cần khảo sát là:

- Tập xác định:

- Đạo hàm:

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng .

- Giới hạn:

- Vẽ đồ thị:

Đồ thị hàm số 𝑓(𝑥) là đường cong đi qua các điểm (0,0) và (𝑥,𝑦) với 𝑥>0, tiệm cận ngang 𝑦=3.

b)

- Khi x tăng, cũng tăng nhưng tiệm cận về giá trị 3.

- Vậy, không thể vượt quá giá trị 3.

Giải bài tập 1.28 trang 36 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Một công ty muốn làm một đường ống dẫn từ vị trí A trên bờ biển đến vị trí B trên hòn đảo. Khoảng cách từ điểm B đến bờ biển là BH=6 km (Hình 1.42). Giá tiền để xây dựng đường ống trên bờ là 50.000 USD mỗi kilomet và giá tiền xây dựng đường ống trên biển là 130.000 USD mỗi kilomet, biết rằng AH=9 km. Xác định vị trí điểm C trên đoạn AH để khi lắp ống dẫn theo đường gấp khúc ACB thì chi phí công ty bỏ ra là thấp nhất.

Lời giải chi tiết

- Đặt HC = 𝑥. Khi đó, AC = 9 – 𝑥. (0≤𝑥≤9)

$CB=\sqrt{x^2+6^2}=\sqrt{x^2+36}$

- Chi phí xây dựng đường ống trên bờ: $50.000\times (9-x)$

- Chi phí xây dựng đường ống trên biển: $130.000\times \sqrt{x^2+36}$

- Tổng chi phí: $50.000\times (9-x)+130.000\times \sqrt{x^2+36}$

3. Tìm giá trị tối thiểu:

- Đặt hàm chi phí: $f\left(x\right)=50.000\times (9-x)+130.000\times \sqrt{x^2+36}$

- Lấy đạo hàm của hàm chi phí:

$f^{\prime }\left(x\right)=-50.000+130.000\times \frac{x}{\sqrt{x^2+36}}$

- Giải phương trình $f^{\prime }\left(x\right)=0$:

$\begin{array}{c}-50.000+130.000\times \frac{x}{\sqrt{x^2+36}}=0\\ \iff 130.000\times \frac{x}{\sqrt{x^2+36}}=50.000\\ \iff \frac{x}{\sqrt{x^2+36}}=\frac{5}{13}\\ \iff 13x=5\sqrt{x^2+36}\\ \iff 169x^2=25(x^2+36)\\ \iff 169x^2=25x^2+900\\ \iff 144x^2=900\\ \iff x=\pm 2.5\end{array}$

Loại x=−2.5 vì x ≥0

$\underset{x\to 0^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{lim}[50.000\times (9-x)+130.000\times \sqrt{x^2+36}]=1230000$

$\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{lim}[50.000\times (9-x)+130.000\times \sqrt{x^2+36}]=\infty$

- Bảng biến thiên:

Vậy khi điểm C cách điểm H 1 khoảng là 2,5km thì chi phí công ty bỏ ra để lắp ống dẫn theo đường gấp khúc ACB là nhỏ nhất.