Bài 4. Khoảng cách Toán 11 Cùng khám phá

Lý thuyết Khoảng cách - SGK Toán 11 Cùng khám phá

A. Lý thuyết

1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho điểm O không thuộc đường thẳng a. H là hình chiếu của O trên a. Độ dài OH được gọi là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a, kí hiệu d(O,a).

Lưu ý:

- d(O,a) là nhỏ nhất so với khoảng cách từ O đến mọi điểm thuộc a.

- d(O,a) = 0 khi và chỉ khi O thuộc a.

2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song, giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song

a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song a, b là khoảng cách từ một điểm bất kì trên đường thẳng a đến đường thẳng b, kí hiệu là d(a,b).

b) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng \((\alpha )\) song song với a là khoảng cách từ một điểm A bất kì thuộc a đến \((\alpha )\). Khoảng cách giữa a và \((\alpha )\) được kí hiệu là \(d(a,(\alpha ))\).

c) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song \((\alpha )\) và \((\beta )\) là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia, kí hiệu là \(d((\alpha ),(\beta ))\).

Lưu ý: \(d((\alpha ),(\beta )) = d(M,(\beta ))\) với \(M \in (\alpha )\) và \(d((\alpha ),(\beta )) = d(M',(\alpha ))\), với \(M' \in (\beta )\).

3. Đường vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

a) Khái niệm

Đường thẳng Δ cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy được gọi là đường vuông góc chung của a và b.

Nếu đường vuông góc chung Δ cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b lần lượt tại M, N thì độ dài đoạn MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b, kí hiệu d(a,b).

b) Tính chất

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó chứa đường thẳng còn lại.

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.

Lưu ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là khoảng cách nhỏ nhất trong các khoảng cách giữa hai điểm bất kì lần lượt nằm trên hai đường thẳng đó.

B. Bài tập

Bài 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính khoảng cách từ điểm B đến đường chéo AC’.

Giải:

Khoảng cách từ B đến AC’ là chiều cao BH của tam giác BAC’.

Ta có:

ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên \(AB \bot (BB'C'C) \Rightarrow AB \bot BC'\); hay tam giác ABC’ vuông tại B.

AB = a, \(BC' = \sqrt 2 a\) (BB’C’C là hình vuông cạnh a) nên \(AC' = \sqrt 3 a\) (đường chéo hình lập phương cạnh a).

\(BA.BC' = BH.AC = 2{S_{\Delta ABC}}\). Suy ra \(BH = \frac{{\sqrt 6 }}{3}a\).

Vậy \(d(B;AC') = BH = \frac{{\sqrt 6 }}{3}a\).

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng các từ S đến mặt phẳng (ABCD).

Giải:

Hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) vuông góc nhau theo giao tuyến AB.

Gọi H là trung điểm của AB thì \(SH \bot AB\). Suy ra \(SH \bot (ABCD)\) tại H.

Vậy \(d(S,ABCD) = SH = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a\) (chiều cao của tam giác đều cạnh a).

Bài 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ và AD’.

Giải:

Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên ABC’D’ là hình chữ nhật.

Do đó BC’ // AD’.

Vậy \(d(BC',AD') = d(A,BC') = AB = a\).

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết \(SA \bot (ABCD)\) và SA = 2a. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (SCD).

Giải:

AB // CD, \(CD \subset (SCD)\) nên AB // (SCD).

Vậy \(d(AB,(SCD)) = d(A,(SCD))\).

Ta có \(CD \bot SA\) và \(CD \bot AD\) nên \(CD \bot (SAD)\). Vậy \((SAD) \bot (SCD)\).

Mà \((SAD) \cap (SCD) = SD\) nên gọi H là hình chiếu của A trên SD thì \(AH \bot (SCD)\) và \(d(A,(SCD)) = AH\).

Xét tam giác SAD vuông tại A có SA = 2a, AD = a nên \(S{D^2} = A{D^2} + S{A^2} = 5{a^2}\) hay \(SD = \sqrt 5 a\).

Suy ra \(AH.SD = SA.AD \Rightarrow AH = \frac{{SA.AD}}{{SD}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}a\).

Vậy \(d(AB,(SCD)) = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}a\).

Bài 5: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, A’ cách đều A, B, C và AA’ = 2a. Tính khoảng cách giữa hai đáy của hình lăng trụ này.

Giải:

Do (ABC) // (A’B’C’) nên \(d((ABC),(A'B'C')) = d(A',(ABC))\).

Vì tam giác ABC đều và AA’ = A’B = A’C nên A’.ABC là hình chóp tam giác đều.

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta có: A’.ABC là hình chóp đều nên A’O vuông góc với (ABC) tại O. Vậy d(A’,(ABC)) = A’O.

Ta có \(A'O = \sqrt {A'{A^2} - A{O^2}} = \frac{{\sqrt {33} }}{3}a\).

Vậy \(d((ABC),(A'B'C')) = \frac{{\sqrt {33} }}{3}a\).

Bài 6: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau:

a) BB’ và AC.

b) BB’ và A’C.

c) AC và B’D’.

Giải:

a) Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Ta có:

\(BO \bot AC\) (ABCD là hình vuông).

\(BO \bot BB'\) (do ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên \(BB' \bot (ABCD)\)); BO cắt AC, BB’ lần lượt tại O, B.

Suy ra BO là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng BB’ và AC.

Mà ABCD là hình vuông cạnh a, nên \(BO = \frac{{\sqrt 2 }}{2}a\).

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BB’ và AC là \(BO = \frac{{\sqrt 2 }}{2}a\).

b) Ta có: BB’ // AA’, suy ra (ACA’) chứa AC và song song với BB’.

Suy ra \(d(BB';AC) = d(BB';(ACA')) = d(B;(ACA')) = BO = \frac{{\sqrt 2 }}{2}a\).

c) Ta có AC và B’D’ lần lượt nằm trên hai mặt phẳng song song nhau là (ABCD) và (A’B’C’D’) nên \(d(AC,B'D') = d((ABCD),(A'B'C'D')) = AA' = a\).

Giải mục 1 trang 73, 74 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Hoạt động 1

Cho đường thẳng a và một điểm O không thuộc a. H là hình chiếu của O trên đường thẳng a và M là một điểm bất kì thuộc a (Hình 8.49). Trong hai điểm H và M điểm nào có khoảng cách đến O ngắn hơn? Vì sao?

Phương pháp giải:

Quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu.

Lời giải chi tiết:

Trong điểm H và M thì điểm H gần O hơn.

Vì tam giác OHM vuông tại H nên ta có OH < OM (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)

Luyện tập 1

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Tính khoảng cách từ G đến đường thẳng A’C’.

Phương pháp giải:

Cho O không thuộc a. H là hình chiếu của O trên a. Độ dài OH là khoảng cách từ O đến a.

Lời giải chi tiết:

Gọi G’ là trọng tâm tam giác A’B’C’, M là trung điểm AC, M’ là trung điểm của A’C’

Ta có: GG’ vuông góc với (A’B’C’) nên GG’ vuông góc với A’C’

G’M’ là trung tuyến của A’B’C’ nên G’M’ vuông góc với A’C’ (Vì tam giác A’B’C’ đều)

Suy ra (GG’M’) vuông góc với A’C’

\( \Rightarrow \)GM’ vuông góc với A’C’

Vậy GM’ là khoảng cách từ G đến A’C’

Tam giác A’B’C’ đều cạnh a nên B’M’ = \(B'M' = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a\)

Suy ra G’M’ = \(G'M' = \frac{{\sqrt 3 }}{6}a\)

Xét tam giác vuông GM’G’ tại M’ có:

\(GM' = \sqrt {GG{'^2} + G'M{'^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{6}a} \right)}^2}} = \frac{{7\sqrt 3 }}{6}a\)

Hoạt động 2

Cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và O là một điểm không thuộc \(\left( \alpha \right)\). H là hình chiếu của O trên \(\left( \alpha \right)\). Lấy tuy ý điểm M thuộc \(\left( \alpha \right)\). Trong các diểm H và M, điểm nào có khoảng cách đến O ngắn hơn? Vì sao?

Phương pháp giải:

Quan hệ đường xiên và hình chiếu.

Lời giải chi tiết:

Tam giác OHM vuông tại H nên OH < OM (Quan hệ đường xiên và hình chiếu).

Luyện tập 2

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = 2a; tam giác ABC đều bằng a. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).

Phương pháp giải:

Tìm khoảng cách từ M đến (P):

+ Tìm (Q) chứa M và vuông góc với (P) theo giao tuyến d.

+ Từ M hạ MH vuông góc với d (H thuộc d).

+ Khi đó MH chính là khoảng cách cần tìm.

Lời giải chi tiết:

Gọi H là trung điểm của BC

Tam giác ABC đều nên AH vuông góc với BC

Suy ra \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH\)

\(AH = \sqrt {A{C^2} - C{H^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {a^2}} = \sqrt 3 a\)

Giải mục 2 trang 74, 75, 76, 77 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Hoạt động 3

Vẽ hai đường thẳng song song a và b.

Trên a, lấy hai điểm phân biệt tùy ý A và A’.

Hãy xác định d(A,b) và d(A’,b) rồi so sánh hai khoảng các này.

Phương pháp giải:

Tứ giác có 2 cặp cạnh song song là hình bình hành. Hình bình hành có 2 cặp cạnh đối song song và bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

Kẻ AI vuông góc với b, A’J vuông góc với a

Mà a // b nên A’J vuông góc với b. Suy ra AI song song với A’J

Mặt khác, AA’ song song với IJ

Suy ra AA’JI là hình bình hành

Nên AI = A’J

Vậy d(A,b) = d(A’,b).

Luyện tập 3

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Mặt phẳng (GA’C’) cắt AB, BC lần lượt tại M, N. Tính diện tích tứ giác A’C’NM.

Phương pháp giải:

Diện tích hình thang: \(S = h.\frac{{a + b}}{2}\)

Với h là đường cao, a là đáy lớn, b là đáy nhỏ.

Lời giải chi tiết:

Kẻ đường thẳng đi qua G và song song với A’C’ cắt AB, AC tại M, N

Suy ra A’C’MN là hình thang

Xét tam giác ABC có: MN // AC (cùng // A’C’) nên MN = \(\frac{2}{3}\)AC \(\frac{2}{3}\)a

Gọi M’ là trung điểm của A’C’, G’ là trọng tâm tam giác A’B’C’

Ta có: GG’ vuông góc với (A’B’C’) nên GG’ vuông góc với A’C’

G’M’ là trung tuyến của A’B’C’ nên G’M’ vuông góc với A’C’ (Vì tam giác A’B’C’ đều)

Suy ra (GG’M’) vuông góc với A’C’

\( \Rightarrow \)GM’ vuông góc với A’C’

Tam giác A’B’C’ đều cạnh a nên B’M’ = \(B'M' = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a\)

Suy ra G’M’ = \(G'M' = \frac{{\sqrt 3 }}{6}a\)

Xét tam giác vuông GM’G’ tại M’ có:

\(GM' = \sqrt {GG{'^2} + G'M{'^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{6}a} \right)}^2}} = \frac{{7\sqrt 3 }}{6}a\)

\(S = GM'.\frac{{MN + A'C'}}{2} = \frac{{7\sqrt 3 }}{6}a.\frac{{\frac{2}{3}a + a}}{2} = \frac{{35\sqrt 3 }}{{36}}{a^2}\)

Hoạt động 4

Cho đường thẳng a và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song với nhau. Trên a lấy hai điểm tuỳ ý A, B. Gọi A’, B’ lần lượt là các hình chiếu của A, B trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) (Hình 8,56).

a) Hỏi ABB'A' là hình gì? Vì sao?

b) Hãy xác định các khoảng cách d(A, \(\left( \alpha \right)\)) và d(B, \(\left( \alpha \right)\)). So sánh các khoảng cách đó.

Phương pháp giải:

Hình bình hành là tứ giác có 2 cặp cạnh đối song song với nhau

Lời giải chi tiết:

a) AA’ và BB’ cùng vuông góc với a nên AA’ // BB’

a song song với \(\left( \alpha \right)\) nên AB // A’B’

Suy ra ABB’A’ là hình bình hành

b) ABB’A’ là hình bình hành nên AA’ = BB’

Vậy d(A, \(\left( \alpha \right)\)) = d(B, \(\left( \alpha \right)\))

Luyện tập 4

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Các cạnh bên của hình lăng trụ tạo với đáy một góc 60⁰ và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của BC. Tính d(B’C’, (ABC)).

Phương pháp giải:

Khoảng cách giữa d và (P) song song với d là khoảng cách từ một điểm A bất kì thuộc d đến (P).

Lời giải chi tiết:

Gọi D là trung điểm của BC

A’D vuông góc với (ABC)

Suy ra góc A’AD bằng 60⁰

\(A'D = AA'.\sin {60^0} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a\,\)

Vì B’C’ // BC nên B’C’ // (ABC)

Suy ra \(d\left( {B'C',\left( {ABC} \right)} \right) = d\left( {\left( {A'B'C'} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = A'D = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a\)

Hoạt động 5

Xét hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N là 2 điểm bất kì thuộc đáy (A'B'C'D') và M, N lần lượt là hình chiếu của M, N trên (ABCD). Hải MNN’M’ là hình gì? Vì sao? Có nhận xét gì về d(M, (ABCD)) VÀ d(N,(ABCD))?

Phương pháp giải:

Quan sát hình vẽ.

Lời giải chi tiết:

MNN’M’ là hình bình hành vì 2 đáy song song.

d(M, (ABCD)) = d(N,(ABCD)).

Luyện tập 5

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC = 2a, AA’ = \(\sqrt 2 a\), hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AC. Tính khoảng cách giữa hai đáy của hình lăng trụ này.

Phương pháp giải:

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau. Để tính khoảng cách giữa (P) và (Q) ta thực hiện các bước:

+ Bước 1: Chọn một điểm A trên (P) sao cho khoảng cách từ A đến (Q) có thể được xác định dễ nhất.

+ Bước 2: Kết luận: d((P); (Q)) = d(A; (Q)).

Lời giải chi tiết:

Gọi F là trung điểm của AC nên AF = a

(ABC) // (A’B’C) nên \(d\left( {\left( {ABC} \right),\left( {A'B'C'} \right)} \right) = d\left( {A',\left( {ABC} \right)} \right) = A'F\)

Xét tam giác A’AF vuông tại F có:

\(A'F = \sqrt {AA{'^2} - A{F^2}} = \sqrt {2{a^2} - {a^2}} = a\)

Vận dụng

Trong một tiết học bơi, thầy giáo dạy bơi chỉ về phía bục nhảy và hỏi học sinh của mình: "Làm sao để tính được khoảng cách từ mặt sản của bục nhảy đến mặt nước. Trong lúc các học sinh khác đang suy nghĩ thì có một ban đã đưa ra câu trả lời như sau: "Em sẽ cầm một sợi dây thừng dài, leo lên bục nhảy, thả một dầu dạy xuống cho đến khi nào dầu dây chạm mặt nước thì đánh dấu vị trí của dây tại vị trí mặt sàn của bục nhảy. Sau do, thu dây lại và do chiều dài của đoạn dây (từ dầu dãy đến vị trí đã đánh dấu) thì do chính là khoảng cách cần tim - Cách làm của bạn ấy có dùng không? Vì sao?

Phương pháp giải:

Khoảng cách giữa 2 mặt song song là khoảng cách từ 1 điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

Lời giải chi tiết:

Cách làm của bạn ấy đúng vì khoảng cách giữa 2 mặt song song là khoảng cách từ 1 điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

Giải mục 3 trang 78, 79 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Hoạt động 6

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Xét hai đường thẳng chéo nhau AA’ và DC’

a) Đường thẳng A'D' có đồng thời cắt và vuông góc với hai đường thẳng AA’ và D’C không? Vì sao?

b) Tìm mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa đường thẳng AA’ và song song với D’C. So sánh d(D’C, \(\left( \alpha \right)\)) và A’D’.

Phương pháp giải:

Quan sát hình vẽ.

Lời giải chi tiết:

a) Đường thẳng A'D' không đồng thời cắt và vuông góc với hai đường thẳng AA’ và D’C vì A’D’ không vuông góc với D’C.

b) \(\left( \alpha \right)\) là (AA’B)

d(D’C, (AA’B)) = A’D’.

Luyện tập 6

Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA = 3a; ABCD là hình vuông cạnh a, O là giao điểm của AC và BD. Tính khoảng cách giữa:

a) BD và SC

b) AB và SC.

Phương pháp giải:

a) Tìm khoảng cách giữa a và b:

+ Tìm (P) chứa a và vuông góc với b.

+ Tìm giao điểm H thỏa mãn thuộc b và nằm trong (P).

+ Tại (P), dựng HK vuông góc với a tại K.

+ HK là khoảng cách cần tìm.

b) Tìm khoảng cách giữa a và b:

+ Tìm (P) chứa a và song song với b.

+ \(d\left( {a,b} \right) = d\left( {b,\left( P \right)} \right)\).

Lời giải chi tiết:

a) BD vuông góc với (SAC)

Kẻ OE vuông góc với SC

Vậy OE là khoảng cách cần tìm

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{O{E^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{9{a^2}}} + \frac{1}{{2{a^2}}}\\ \Rightarrow OE = \frac{{3\sqrt {22} }}{{11}}a\end{array}\)

b) Kẻ AK vuông góc với SD

Ta có: AB // CD nên AB // (SCD)

\(d\left( {AB,SC} \right) = d\left( {AB,\left( {SCD} \right)} \right) = AK\)

\(\begin{array}{l}AK.SD = SA.AD\\ \Leftrightarrow AK = \frac{{3a.a}}{{\sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} + {a^2}} }} = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}a\end{array}\)

Bài 8.21 trang 79 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng 4a và cạnh đáy bằng 6a. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Tìm khoảng cách giữa M và (P):

+ Tìm (Q) chứa M và vuông góc với (P) theo giao tuyến d.

+ Từ M hạ MH vuông góc với d (H thuộc d).

+ Khi đó MH là khoảng cách cần tìm.

Lời giải chi tiết

Gọi O là trọng tâm tam giác ABC

Ta có: BC \(\bot\) AF, BC \(\bot\) SF

\(\Rightarrow\) BC \(\bot\) (SAF). Do đó, BC \(\bot\) SO (1)

Tương tự, AB \(\bot\) (SCK). Suy ra, AB \(\bot\) SO (2)

Từ (1) và(2), SO \(\bot\) (ABC)

Vậy d(S,(ABC)) = SO

\(\begin{array}{l}AH = 3\sqrt 3 a\\AO = \frac{2}{3}AH = 2\sqrt 3 \\SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = 2a\end{array}\)

Bài 8.22 trang 79 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tính khoảng cách từ A đến (BCD).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Tìm khoảng cách giữa M và (P):

+ Tìm (Q) chứa M và vuông góc với (P) theo giao tuyến d.

+ Từ M hạ MH vuông góc với d (H thuộc d).

+ Khi đó MH là khoảng cách cần tìm.

Lời giải chi tiết

Gọi N là trung điểm CD, AO vuông góc với BN

AO vuông góc với (BCD) nên O là trọng tâm tam giác BCD

Vậy khoảng cách cần tìm là AO

\(AO = \sqrt {A{B^2} - B{O^2}} = \sqrt {{a^2} - \frac{{3{a^2}}}{9}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\)

Bài 8.23 trang 79 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy (ABCD). Tỉnh khoảng cách từ B đến (SCD).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Tìm khoảng cách giữa M và (P):

+ Tìm (Q) chứa M và vuông góc với (P) theo giao tuyến d.

+ Từ M hạ MH vuông góc với d (H thuộc d).

+ Khi đó MH là khoảng cách cần tìm.

Lời giải chi tiết

Gọi H, M lần lượt là trung điểm của AB, CD. Kẻ HK vuông góc với SM

Vì AB // CD nên AB // (SCD)

Do đó \(d\left( {B'\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right) = HK\)

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{M^2}}}\\ \Rightarrow HK = \frac{{\sqrt {21} }}{7}\end{array}\)

Bài 8.24 trang 79 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác ABC vuông tại A, có BC = 2a, AB = \(\sqrt 3 a\). Tính khoảng cách giữa AA’ và mặt phẳng (BCC’B’).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cho đường thẳng d // (P); để tính khoảng cách giữa d và (P) ta thực hiện các bước:

+ Chọn một điểm A trên d, sao cho khoảng cách từ A đến (P) có thể được xác định dễ nhất.

+ Kết luận: d(d; (P)) = d(A; (P)).

Lời giải chi tiết

Kẻ AD vuông góc với BC

Ta có: AA’ // BB’ nên AA’ // (BCC’B’)

\(d\left( {AA',\left( {BCC'B'} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {BCC'B'} \right)} \right) = AD\)

Xét tam giác ABC vuông tại A có đường cao AD:

\(\begin{array}{l}AD.BC = AB.AC\\ \Rightarrow AD = \frac{{a\sqrt 3 .a}}{{2a}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\end{array}\)

Bài 8.25 trang 79 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có ABC là tam giác vuông cân tại A, A’ cách đều A, B, C và AA’ = AB = 2a. Tính khoảng cách giữa hai đáy của hình lăng trụ.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song là khoảng cách từ 1 điểm bất kì của mặt này đến mặt phẳng kia.

Lời giải chi tiết

Gọi D là trung điểm BC, G là trọng tâm tam giác ABC

\(\begin{array}{l}AD = \sqrt 2 a\\ \Rightarrow AG = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}a\end{array}\)

A’G vuông góc với (ABC) nên A’G vuông góc với AG

\(\begin{array}{l}A'G = \sqrt {AA{'^2} - A{G^2}} = \sqrt {4{a^2} - {{\left( {\frac{{2\sqrt 2 }}{3}a} \right)}^2}} = \frac{{2\sqrt 7 }}{3}a\\\end{array}\)

Bài 8.26 trang 79 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, DC, A’D’. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (MNP) và (ACC’).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song là khoảng cách từ 1 điểm bất kì của mặt này đến mặt phẳng kia.

Lời giải chi tiết

Ta có: MN // AC, MP // AA’

Nên (MNP) // (ACC’)

Nên khoảng cách cần tìm bằng khoảng cách giữa P và (ACC’) và bằng một nửa khoảng cách giữa B và (ACC’)

B’O’ vuông góc với A’C’, B’C’ vuông góc với CC’

Suy ra B’O’ vuông góc với (ACC’)

Nên khoảng cách giữa B và (ACC’) là B’O’ = 1/2B’D’ = \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Vậy khoảng cách cần tìm bằng \(\frac{{a\sqrt 2 }}{4}\).

Bài 8.27 trang 79 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BB’ và AC’.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chọn (P) chứa a và song song với b. Khi đó khoảng cách a và b là khoảng cách giữa b và (P).

Lời giải chi tiết

Ta có: CC’ // BB’ nên BB’ // (ACC’A’)

Suy ra khoảng cách giữa BB’ và AC’ là khoảng cách giữa BB’ và (ACC’A’) hay khoảng cách giữa B là (ACC’A’)

Kẻ BH vuông góc với AC

\(\begin{array}{l}AC = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \\AB.BC = BH.AC\\ \Leftrightarrow BH = \frac{{ab}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\end{array}\)

Bài 8.28 trang 79 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Để chuẩn bị cho một buổi triển lãm quốc tế, các trang sức có giá trị lớn được đặt bảo mật trong các khối chóp từ giác như hình 867 và đặt trên phía trên một trụ hình hộp chữ nhật có độ cao 1 m, đây là hình vuông cạnh 50 cm. Ban tổ chức sự kiện dự định dùng các tấm kính cường lực hình tam giác còn có cạnh bên là 60 cm để ráp lại thành khối chóp nói trên. Tỉnh khoảng cách tử đỉnh hình chóp đến mặt sàn nơi diễn ra buổi triển lãm.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Để tìm khoảng cách tử đỉnh hình chóp đến mặt sàn nơi diễn ra buổi triển lãm ta cần tìm độ dài SO.

Lời giải chi tiết

ABCD là hình vuông có cạnh 50 cm nên BD = \(50\sqrt 2 \). Suy ra DO = \(25\sqrt 2 \)

Khoảng cách từ đỉnh hình chóp đến mặt sàn là: \(100 + SO = 100 + \sqrt {S{D^2} - O{D^2}} = 100 + \sqrt {{{60}^2} - {{\left( {25\sqrt 2 } \right)}^2}} \approx 148\)

Bài 4. Khoảng cách Toán 11 Cùng khám phá

Luyện trắc nghiệm Toán lớp 1 Lớp LOP11

Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub

Tải ứng dụng Tri Thức Hub