Bài 4. Phép quay và phép đối xứng tâm

Hoạt động 1

Ở mặt bàn ăn quay nói trên, trong một lần quay, nếu một đĩa thức ăn trên bàn được quay một phần tư vòng tới vị trí người mới, thì mỗi đĩa không đặt ở chính giữa bàn có được quay một phần tư vòng tới vị trí mới hay không?

Phương pháp giải:

Suy luận thực tiễn để trả lời

Lời giải chi tiết:

Mỗi đĩa thức ăn không đặt ở chính giữa bàn nhưng đặt ở trên phần bàn xoay đều quay được một phần tư vòng tới vị trí mới.

Mỗi đĩa thức ăn không đặt ở giữa bàn và không đặt ở trên phần bàn xoay thì không quay được một phần tư vòng tới vị trí mới.

Câu hỏi

Phép quay với góc quay bằng 0 có gì đặc biệt?

Phương pháp giải:

Dựa vào phép quay \({Q_{\left( {O,\alpha } \right)}}\) với \(\alpha  = {0^o}\).

Trong mặt phẳng, cho điểm O cố định và góc lượng giác \(\alpha \) không đổi. Phép biến hình biến điểm O thành điểm O và biến mỗi điểm M khác O thành M’ sao cho \(OM = OM'\) và góc lượng giác \(\left( {OM,OM'} \right) = \alpha \) được gọi là phép quay tâm O với góc quay \(\alpha \), kí hiệu \({Q_{\left( {O,\alpha } \right)}}\). O gọi là tâm quay, \(\alpha \) gọi là góc quay.

Lời giải chi tiết:

Phép quay tâm O với góc quay bằng 0 biến điểm O thành điểm O và biến mỗi điểm M khác O thành chính nó.

Luyện tập 1

Trong Hình 1.22, tam giác ABC đều.

Hãy chỉ ra ảnh của điểm B qua phép quay \({Q_{\left( {A,{\rm{ }}60^\circ } \right)}}\)

Gọi D là ảnh của C qua phép quay \({Q_{\left( {A,{\rm{ }}60^\circ } \right)}}\)

Hỏi B và D có mối quan hệ gì đối với đường thẳng AC?

Phương pháp giải:

- Tam giác đều có 3 góc bằng \({60^o}\).

- Trong mặt phẳng, cho điểm O cố định và góc lượng giác \(\alpha \) không đổi. Phép biến hình biến điểm O thành điểm O và biến mỗi điểm M khác O thành M’ sao cho \(OM = OM'\) và góc lượng giác \(\left( {OM,OM'} \right) = \alpha \) được gọi là phép quay tâm O với góc quay \(\alpha \), kí hiệu \({Q_{\left( {O,\alpha } \right)}}\). O gọi là tâm quay, \(\alpha \) gọi là góc quay.

Lời giải chi tiết:

Tam giác ABC đều nên AB = AC và \(\widehat {BAC} = 60^\circ \). Do đó phép quay \({Q_{\left( {A,{\rm{ }}60^\circ } \right)}}\) biến điểm B thành điểm C.

Vì D là ảnh của C qua phép quay Q_{(A, 60°)} nên AC = AD và \(\widehat {CAD} = 60^\circ \)

Khi đó tam giác ACD là tam giác đều nên AC = AD = DC.

Mà AB = AC = BC (tam giác ABC đều).

Do đó, AB = BC = CD = AD, suy ra tứ giác ABCD là hình thoi.

Khi đó hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên AC là đường trung trực của đoạn thẳng BD.

Vậy B và D đối xứng nhau qua đường thẳng AC hay B là ảnh của D qua phép đối xứng trục AC.

Hoạt động 2

Khi mặt bàn ăn quay, mặc dù các đĩa thức ăn trên bàn đều dịch chuyển tới vị trí mới nhưng khoảng cách giữa hai đĩa thức ăn có bị thay đổi hay không?

Phương pháp giải:

Suy luận thực tiễn để trả lời

Lời giải chi tiết:

Khoảng cách giữa hai đĩa thức ăn không bị thay đổi khi mặt bàn ăn quay.

Luyện tập 2

Trong Hình 1.26, ABCDEF là lục giác đều có tâm O. Tìm ảnh của tam giác ACE qua các phép quay $Q_{\left(O,\frac{\pi }{3}\right)},Q_{\left(O,-\frac{2\pi }{3}\right)}$

Phương pháp giải:

Phép quay tâm O, góc quay  :

Khi đó,

Lời giải chi tiết:

Ta có: ABCDEF là lục giác đều nên 

và .

Do đó, phép quay  biến các điểm A, C, E tương ứng thành các điểm B, D, F.

Vậy phép quay  biến tam giác ACE thành tam giác BDF.

Ta có: , tương tự

Vì OA = OE và góc quay  nên phép quay  biến điểm A thành điểm E.

Vì OC = OA và góc quay  nên phép quay  biến điểm C thành điểm A.

Vì OE = OC và góc quay  nên phép quay  biến điểm E thành điểm C.

Vậy phép quay  biến tam giác ACE thành tam giác ECA hay biến tam giác ACE thành chính nó.

Vận dụng 1

Trong tình huống mở đầu, mặt bàn tròn đặt đồ ăn được thiết kế để có thể quay quanh tâm mặt bàn. Coi mặt bàn tròn là hình tròn tâm O, bán kính R. Hỏi, khi thực hiện phép quay tâm O với góc quay bất kì thì:

- Điểm O biến thành điểm nào?

- Đường tròn (O, R) biến thành đường tròn nào?

- Vị trí của mặt bàn có bị dịch chuyển hay không?

Phương pháp giải:

Trong mặt phẳng, cho điểm O cố định và góc lượng giác không đổi. Phép biến hình biến điểm O thành điểm O và biến mỗi điểm M khác O thành M’ sao cho và góc lượng giác được gọi là phép quay tâm O với góc quay , kí hiệu . O gọi là tâm quay, gọi là góc quay.

Lời giải chi tiết:

Điểm O là tâm quay nên khi thực hiện phép quay tâm O với góc quay α bất kì thì điểm O biến thành điểm O, đường tròn (O; R) biến thành đường tròn (O; R).

Vậy vị trí của mặt bàn không bị dịch chuyển.

Hoạt động 3

Trong hình 1.27, hãy chỉ ra ảnh của các điểm A, B, C, M, N, P qua phép quay tâm O, quay quay .

Phương pháp giải:

Trong mặt phẳng, cho điểm O cố định và góc lượng giác không đổi. Phép biến hình biến điểm O thành điểm O và biến mỗi điểm M khác O thành M’ sao cho và góc lượng giác được gọi là phép quay tâm O với góc quay , kí hiệu . O gọi là tâm quay, gọi là góc quay.

Lời giải chi tiết:

Ảnh của các điểm A, B, C, M, N, P qua phép quay tâm O, quay quay lần lượt là M, N, P, A, B, C.

Luyện tập 3

Cho hình hình hành ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Tìm ảnh của đường thẳng AB qua

Phương pháp giải:

- Tìm ảnh của từng điểm A, B qua . Sau đó nối chúng với nhau ta được ảnh của AB qua  

- Cho điểm O, phép biến hình biến điểm O thành chính nó và biến mỗi điểm thành điểm M’ sao cho O  là trung điểm của MM’ được gọi là phép đối xứn tâm O, kí hiệu . Điểm O được gọi là tâm đối xứng.

Lời giải chi tiết:

Vì ABCD là hình bình hành nên AC cắt BD tại O với O là trung điểm của AC và BD.

Do đó, C là ảnh của A qua phép đối xứng tâm O; D là ảnh của B qua phép đối xứng tâm O. 

Vậy CD là ảnh của AB qua phép đối xứng tâm O.

Vận dụng 2

Quan sát Hình 1.30, những phát biểu nào trong các phát biểu sau là đúng?

a) Hình vẽ nhận điểm O (được tô đỏ) làm tâm đối xứng.

b) Một đường thẳng bất kì đi qua điểm O sẽ chia hình vẽ thành hai nửa A và B giống nhau. Nếu thực hiện phép quay tâm O, góc quay 180∘ thì nửa A biến thành nửa B, tức là, B là ảnh của A qua một phép đối xứng tâm O.

c) Có thể chia hình vẽ thành bốn phần giống nhau.

Phương pháp giải:

Quan sát hình 1.30 và dựa vào kiến thức: Cho điểm O, phép biến hình biến điểm O thành chính nó và biến mỗi điểm thành điểm M’ sao cho O  là trung điểm của MM’ được gọi là phép đối xứn tâm O, kí hiệu . Điểm O được gọi là tâm đối xứng.

Lời giải chi tiết:

Phát biểu a, b, c đều đúng.