Bài 4. Phương trình lượng giác cơ bản

Giải bài 1.25 trang 24 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Giải các phương trình sau:

a) $2 sin (\frac{x}{3} + 15^{0}) + \sqrt{2} = 0$

b) $cos (2 x + \frac{π}{5}) = - 1$

c) $3 tan 2 x + \sqrt{3} = 0$

d) $cot (2 x - 3) = cot 15^{0}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng cách giải phương tình (1)

+ Nếu thì phương trình (1) vô nghiệm.

+ Nếu thì tồn tại duy nhất số thỏa mãn .

Khi đó, phương trình (1) tương đương với:

- Nếu góc được cho bằng đơn vị độ thì công thức nghiệm trở thành:

- Nếu u, v là các biểu thức của x thì:

b) Sử dụng cách giải phương tình (2)

+ Nếu thì phương trình (1) vô nghiệm.

+ Nếu thì tồn tại duy nhất số thỏa mãn .

Khi đó, phương trình (1) tương đương với:

- Nếu góc được cho bằng đơn vị độ thì công thức nghiệm trở thành:

- Nếu u, v là các biểu thức của x thì:

c) Sử dụng cách giải phương trình

Phương trình (3) luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m.

Luôn tồn tại duy nhất số thoả mãn

Khi đó, phương trình (3) tương đương với:

- Nếu góc được cho bằng đơn vị độ thì công thức nghiệm trở thành:

- Nếu u, v là các biểu thức của x thì:

d) Sử dụng cách giải phương trình

Phương trình (3) luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m.

Luôn tồn tại duy nhất số thoả mãn

Khi đó, phương trình (4) tương đương với:

- Nếu góc được cho bằng đơn vị độ thì công thức nghiệm trở thành:

- Nếu u, v là các biểu thức của x thì:

Lời giải chi tiết

Giải bài 1.26 trang 24 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Giải các phương trình sau:

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng cách giải phương trình (1)

+ Nếu thì phương trình (1) vô nghiệm.

+ Nếu thì tồn tại duy nhất số thỏa mãn .

Khi đó, phương trình (1) tương đương với:

- Nếu góc được cho bằng đơn vị độ thì công thức nghiệm trở thành:

- Nếu u, v là các biểu thức của x thì:

b) Sử dụng cách giải phương tình (2)

+ Nếu thì phương trình (1) vô nghiệm.

+ Nếu thì tồn tại duy nhất số thỏa mãn .

Khi đó, phương trình (1) tương đương với:

- Nếu góc được cho bằng đơn vị độ thì công thức nghiệm trở thành:

- Nếu u, v là các biểu thức của x thì:

c) Sử dụng cách giải phương trình

Phương trình (3) luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m.

Luôn tồn tại duy nhất số thoả mãn

Khi đó, phương trình (3) tương đương với:

- Nếu góc được cho bằng đơn vị độ thì công thức nghiệm trở thành:

- Nếu u, v là các biểu thức của x thì:

d) Sử dụng cách giải phương trình

Phương trình (3) luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m.

Luôn tồn tại duy nhất số thoả mãn

Khi đó, phương trình (4) tương đương với:

- Nếu góc được cho bằng đơn vị độ thì công thức nghiệm trở thành:

- Nếu u, v là các biểu thức của x thì:

Lời giải chi tiết

c) Điều kiện:

Vì với mọi . Do đó, phương trình đã cho vô nghiệm.

d) Điều kiện:

Giải bài 1.27 trang 24 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Giải các phương trình sau:

a) $(2 + cos x) (3 cos 2 x - 1) = 0$

b) $2 sin 2 x - sin 4 x = 0$

c) ${cos}^{6} x - {sin}^{6} x = 0$

d) $tan 2 x cot x = 1$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng cách giải phương trình $sin x = m$ (1)

+ Nếu $| m | > 1$ thì phương trình (1) vô nghiệm.

+ Nếu $| m | \leq 1$ thì tồn tại duy nhất số $α \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ thỏa mãn $sin α = m$ .

Khi đó, phương trình (1) tương đương với:

$sin x = m \Leftrightarrow sin x = sin α \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = α + k 2 π x = π - α + k 2 π \end{matrix} (k \in Z)$

- Nếu góc được cho bằng đơn vị độ thì công thức nghiệm trở thành:

- Nếu u, v là các biểu thức của x thì:

b) Sử dụng cách giải phương tình (2)

+ Nếu thì phương trình (1) vô nghiệm.

+ Nếu thì tồn tại duy nhất số thỏa mãn .

Khi đó, phương trình (1) tương đương với:

- Nếu góc được cho bằng đơn vị độ thì công thức nghiệm trở thành:

- Nếu u, v là các biểu thức của x thì:

c) Sử dụng cách giải phương trình

Phương trình (3) luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m.

Luôn tồn tại duy nhất số thoả mãn

Khi đó, phương trình (3) tương đương với:

- Nếu góc được cho bằng đơn vị độ thì công thức nghiệm trở thành:

- Nếu u, v là các biểu thức của x thì:

Lời giải chi tiết

Gọi là góc thỏa mãn Do đó:

d) Điều kiện:

Ta thấy không thỏa mãn điều kiện. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Giải bài 1.28 trang 24 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tìm các giá trị của x để giá trị tương ứng của các hàm số sau bằng nhau:

a) $y = cos (2 x - \frac{π}{3})$ và

b) và

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng cách giải phương trình (1)

+ Nếu thì phương trình (1) vô nghiệm.

+ Nếu thì tồn tại duy nhất số thỏa mãn .

Khi đó, phương trình (1) tương đương với:

- Nếu góc được cho bằng đơn vị độ thì công thức nghiệm trở thành:

- Nếu u, v là các biểu thức của x thì:

b) Sử dụng cách giải phương tình (2)

+ Nếu thì phương trình (1) vô nghiệm.

+ Nếu thì tồn tại duy nhất số thỏa mãn .

Khi đó, phương trình (1) tương đương với:

- Nếu góc được cho bằng đơn vị độ thì công thức nghiệm trở thành:

- Nếu u, v là các biểu thức của x thì:

Lời giải chi tiết

a) Giá trị tương ứng của hai hàm số và bằng nhau khi

b) Giá trị tương ứng của hai hàm số và bằng nhau khi

Giải bài 1.29 trang 24 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Một chiếc guồng nước có dạng hình tròn bán kính 2,5m; trục của nó đặt cách mặt nước 2m (hình bên). Khi guồng quay đều, khoảng cách h (mét) tính từ một chiếc gầu gắn tại điểm A trên guồng đến mặt nước là $h = \left| y \right|$ trong đó $y = 2 + 2,5\sin 2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right)$ với x là thời gian quay của guồng $\left( {x \ge 0} \right),$ tính bằng phút; ta quy ước rằng $y > 0$ khi gầu ở trên mặt nước và $y < 0$ khi gầu ở dưới mặt nước.

a) Khi nào chiếc gầu ở vị trí cao nhất? Thấp nhất?

b) Chiếc gầu cách mặt nước 2 mét lần đầu tiên khi nào?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

* Sử dụng kiến thức $ - 1 \le \sin x \le 1$ với mọi x

* Sử dụng cách giải phương trình $\sin x = m$ (1)

+ Nếu $\left| m \right| > 1$ thì phương trình (1) vô nghiệm.

+ Nếu $\left| m \right| \le 1$ thì tồn tại duy nhất số $\alpha \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]$ thỏa mãn $\sin \alpha = m$.

Khi đó, phương trình (1) tương đương với:

$\sin x = m \Leftrightarrow \sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Lời giải chi tiết

a) Vì $ - 1 \le \sin 2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right) \le 1$ nên $ - 2,5 \le 2,5\sin 2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right) \le 2,5$

Do đó, $ - 0,5 = 2 - 2,5 \le 2 + 2,5\sin 2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right) \le 2 + 2,5 = 4,5\;\forall x \in \mathbb{R}$

Suy ra, gầu ở vị trí cao nhất khi $\sin 2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right) = 1 \Leftrightarrow 2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right) = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} + k\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Vì gầu ở vị trí cao nhất tại các thời điểm $\frac{1}{2},\frac{3}{2},\frac{5}{2},...$ phút

Tương tự, gầu ở vị trí thấp nhất khi $\sin 2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right) = - 1 \Leftrightarrow 2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right) = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = k\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Vì gầu ở vị trí cao nhất tại các thời điểm 0, 1, 2, 3… phút

b) Gầu cách mặt nước 2m khi $2 + 2,5\sin 2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right) = 2 \Leftrightarrow 2,5\sin 2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right) = k\pi \Leftrightarrow x = \frac{1}{4} + \frac{k}{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Vậy chiếc gầu cách mặt nước 2m lần đầu tại thời điểm $x = \frac{1}{4}$ phút

Giải bài 1.30 trang 25 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A trong ngày thứ t (ở đây t là số ngày tính từ ngày 1 tháng giêng) của một năm không nhuận được mô hình hóa bởi hàm số:

với và

a) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất?

b) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất?

c) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có khoảng 10 giờ ánh sáng mặt trời?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

* Sử dụng kiến thức với mọi x

* Sử dụng cách giải phương trình (1)

+ Nếu thì phương trình (1) vô nghiệm.

+ Nếu thì tồn tại duy nhất số thỏa mãn .

Khi đó, phương trình (1) tương đương với:

Lời giải chi tiết

Vì nên

Do đó,

a) Ngày thành phố A có ít giờ ánh sáng nhất ứng với

Vì nên suy ra Như vậy, vào ngày thứ 353 của năm, tức là khoảng ngày 20 tháng 12 thì thành phố A sẽ có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất.

b) Ngày thành phố A có nhiều giờ ánh sáng nhất ứng với

Vì nên suy ra Như vậy, vào ngày thứ 171 của năm, tức là khoảng ngày 20 tháng 6 thì thành phố A sẽ có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất.

c) Thành phố A có khoảng 10 giờ ánh sáng mặt trời trong ngày nếu

Từ đó ta được

Vì nên suy ra hoặc Như vậy, vào ngày thứ 34 của năm, tức là khoảng ngày 3 tháng 2 và ngày thứ 308 của năm, tức là ngày 4 tháng 11 thì thành phố A có khoảng 10 giờ ánh sáng mặt trời.

Thử sức kiểm tra kiến thức

Luyện trắc nghiệm Toán lớp 1 Lớp LOP11

Học đi đôi với hành! Làm ngay các bộ đề trắc nghiệm chấm điểm tức thì, có đáp án chi tiết giúp ghi nhớ kiến thức sâu và chuẩn bị tốt cho các bài kiểm tra.

✓ Chấm điểm ngay✓ Lời giải chi tiết✓ 100% Miễn phí

Luyện trắc nghiệm ngay

Ứng dụng di động

Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub

Tải ứng dụng Tri Thức Hub trên điện thoại hoặc máy tính bảng (hỗ trợ Android & iOS) để làm bài kiểm tra, luyện tập và lưu tiến độ học tập!

✓ Chấm điểm tức thì✓ Tích điểm & thăng hạng✓ Luyện tập mọi lúc mọi nơi