Bài 4. Phương trình mặt cầu - Toán 12 Cùng khám phá
Lý thuyết Phương trình mặt cầu Toán 12 Cùng khám phá
1. Định nghĩa mặt cầu
| Tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách điểm I cố định một khoảng không đổi bằng r (r > 0) được gọi là mặt cầu tâm I bán kính r, kí hiệu S(I;r) hay (S). |
Lưu ý: Cho mặt cầu S(I;r) và điểm M bất kì trong không gian.
- Nếu IM = r thì M nằm trên mặt cầu S(I;r).
- Nếu IM < r thì M nằm ngoài mặt cầu S(I;r).
- Nếu IM > r thì M nằm ngoài mặt cầu S(I;r).
Ví dụ:
- Điểm M nằm trên mặt cầu (S).
- Điểm N nằm trong mặt cầu (S).
- Điểm P nằm ngoài mặt cầu (S).
- Nếu hai điểm A, B nằm trên mặt cầu S(I;r) và đoạn thẳng AB đi qua tâm I thì AB được gọi là một đường kính của mặt cầu. Khi đó độ dài đường kính bằng 2r.
- Một mặt cầu được xác định khi ta biết tâm và bán kính hoặc biết một đường kính của nó.
Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu tâm I(-2;1;5) bán kính 3. Các điểm A(10;1;2), B(0;1;4), C(0;3;4) nằm trong, nằm trên hay nằm ngoài mặt cầu đó?
Giải:
Do IA=√(10−(−2))2+(1−1)2+(2−5)2=√153>3 nên điểm A(10;1;2) nằm ngoài mặt cầu đó.
Do IB=√(0−(−2))2+(1−1)2+(4−5)2=√5<3 nên điểm B(0;1;4) nằm trong mặt cầu đó.
Do IC=√(0−(−2))2+(3−1)2+(4−5)2=√9=3 nên điểm C(0;3;4) nằm trên mặt cầu đó.
2. Phương trình mặt cầu
|
Phương trình của mặt cầu tâm I(a;b;c) bán kính r là (x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=r2. |
Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, xác định tâm I và bán kính r của mặt cầu có phương trình:
a) (x−1)2+(y+2)2+(z−3)2=16.
b) (x+2)2+y2+(z+3)2=4.
Giải:
a) Ta có (x−1)2+(y+2)2+(z−3)2=16⇔(x−1)2+(y−(−2))2+(z−3)2=42.
Vậy đây là phương trình mặt cầu có tâm I(1;-2;3) và bán kính r = 4.
b) Ta có (x+2)2+y2+(z+3)2=4⇔(x−(−2))2+(y−0)2+(z−(−3))2=22.
Vậy đây là phương trình mặt cầu có tâm I(-2;0;-3) và bán kính r = 2.
Ví dụ 2: Viết phương trình mặt cầu, biết:
a) Có tâm I(1;2;3), bán kính R = 10.
b) Có tâm I(3;-1;-5) và đi qua điểm B(0;2;1).
Giải:
a) Phương trình của mặt cầu tâm I(1;2;3) bán kính R = 10 là (x−1)2+(y−2)2+(z−3)3=100.
b) Bán kính mặt cầu là R=IB=√(0−3)2+(2+1)2+(1+5)2=√54.
Phương trình mặt cầu tâm I(3;-1;-5) bán kính R=√54 là (x−3)2+(y+1)2+(z+5)3=54.
Nhận xét:
Cho mặt cầu tâm I(a;b;c) bán kính r có phương trình (x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=r2. Ta có thể viết phương trình đó dưới dạng x2+y2+z2−2ax−2by−2cz+d=0, với d=a2+b2+c2−R2.
Dạng phương trình x2+y2+z2−2ax−2by−2cz+d=0 xác định một mặt cầu khi và chỉ khi a2+b2+c2−d>0 với tâm I(a;b;c) và bán kính r=√a2+b2+c2−d.
Ví dụ 3: Mỗi phương tình sau có là phương trình mặt cầu hay không? Vì sao?
a) 2x2+y2+z2−2x−2y+2z+1=0.
b) x2+y2−2x+6y−8z−3=0.
Giải:
a) Phương trình 2x2+y2+z2−2x−2y+2z+1=0 không phải phương trình mặt cầu vì hệ số của x2 và y2 khác nhau.
b) Phương trình x2+y2−2x+6y−8z−3=0 không phải phương trình mặt cầu vì không có biểu thức z2.
Ví dụ 4: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính mặt cầu đó.
a) x2+y2+z2−4x+10y−2z+14=0.
b) x2+y2+z2+2x+4y−6z+20=0.
Giải:
a) Phương trình x2+y2+z2−4x+10y−2z+14=0 có dạng x2+y2+z2−2ax−2by−2cz+d=0 với a=2;b=−5;c=1;d=14.
Ta có a2+b2+c2−d=4+25+1−14=16>0.
Suy ra phương trình đã cho là phương trình mặt cầu tâm I(2;-5;1), bán kính R = 4.
b) Phương trình x2+y2+z2+2x+4y−6z+20=0 có dạng x2+y2+z2−2ax−2by−2cz+d=0 với a=−1;b=−2;c=3;d=20.
Ta có a2+b2+c2−d=1+4+9−20=−6<0.
Suy ra phương trình đã cho không phải phương trình mặt cầu.
Giải mục 1 trang 72, 73 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
HĐ1
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 72 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho nửa đường tròn tâm I bán kính r quay quanh đường kính AB cố định của nó, ta nhận được một mặt cầu (S) tâm I bán kính r. Xét một điểm M thuộc (S) (Hình 5.32). Hãy so sánh IM và r.
Phương pháp giải:
Khoảng cách từ tâm nửa đường tròn tới bất kỳ điểm nào nằm trên nửa đường tròn đều bằng nhau.
Lời giải chi tiết:
Vì M là vị trí của một điểm thuộc nửa đường tròn quay quanh AB, nên điểm M luôn có cùng khoảng cách từ I đến điểm đó như khoảng cách từ I đến bất kỳ điểm nào trên nửa đường tròn ban đầu, tức là IM = r.
Do bán kính không thay đổi trong suốt quá trình quay, khoảng cách từ I đến M vẫn giữ nguyên giá trị là 𝑟.
LT1
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 73 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) đi qua gốc toạ độ O, bán kính r = 5. Tìm toạ độ tâm I của (S), biết điểm I thuộc đường thẳng
Phương pháp giải:
Gọi là tọa độ của tâm mặt cầu .
Vì mặt cầu đi qua gốc tọa độ , nên .
Đặt nằm trên đường thẳng và tìm giá trị sao cho khoảng cách .
Giải phương trình để tìm , từ đó xác định tọa độ của .
Lời giải chi tiết:
Giả sử có tọa độ:
Do , ta có:
Thay , , vào phương trình:
Vậy có hai toạ độ tâm I thoả mãn là hoặc .
Giải mục 2 trang 74, 75, 76 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
HĐ2
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 74 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho điểm , mặt cầu S có tâm và bán kính .
a) Tính độ dài đoạn thẳng IM theo a, b, c, x, y, z.
b) Thay ? bằng một biểu thức hoặc một giá trị thích hợp để có phương trình của mặt cầu.
Phương pháp giải:
a) Sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian để tính độ dài IM theo tọa độ.
b) Sử dụng tính chất khoảng cách từ tâm tới một điểm bất kỳ thuộc mặt cầu đều bằng bán kính của mặt cầu đó.
Lời giải chi tiết:
a) Khoảng cách từ đến là:
b) Biểu thức sau khi thay ? là:
LT2
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 74 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, xác định tâm I và bán kính r của mặt cầu có phương trình:
a)
b)
Phương pháp giải:
Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm và bán kính r là:
Lời giải chi tiết:
a) Ta có:
Vậy đây là phương trình mặt cầu có tâm và bán kính .
b) Ta có:
Vậy đây là phương trình mặt cầu có tâm và bán kính .
LT3
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 75 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu :
a) Có tâm và đi qua điểm .
b) Có đường kính AB với , .
Phương pháp giải:
a)
- Tìm bán kính của mặt cầu bằng cách tính khoảng cách IM.
- Sử dụng phương trình mặt cầu với tâm và bán kính :
b)
- Tìm tâm I của mặt cầu là trung điểm của đoạn AB.
- Tính bán kính bằng nửa độ dài của AB.
- Dùng phương trình mặt cầu với tâm I và bán kính r.
Lời giải chi tiết:
a)
- Tâm , điểm .
- Tính bán kính:
- Phương trình mặt cầu:
Vậy phương trình mặt cầu là:
b)
- Trung điểm I của đoạn AB là:
- Tính bán kính bằng nửa độ dài AB:
- Phương trình mặt cầu:
Vậy phương trình mặt cầu là:
HĐ3
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 75 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, xét mặt cầu S có phương trình:
(1). Khai triển (1), giả sử ta được:
a) Tính A, B, C, D của (2) theo a, b, c, r của (1).
b) Xác định dấu của .
c) Tìm tâm I và bán kính của mặt cầu (S) theo A, B, C, D.
Phương pháp giải:
a) Khai triển phương trình mặt cầu và so sánh hệ số với phương trình đã cho.
b) Tính biểu thức dựa trên các giá trị của A, B, C, và D.
c) Tìm tọa độ tâm và bán kính mặt cầu S bằng cách đưa phương trình về dạng chuẩn.
Lời giải chi tiết:
a)
Khai triển phương trình mặt cầu:
Ta có:
Rút gọn, ta được:
So sánh với phương trình đã cho:
Suy ra:
b)
Tính :
c)
Từ , , , suy ra:
Tọa độ tâm của mặt cầu là . Bán kính của mặt cầu là:
Vậy, tâm và bán kính của mặt cầu là:
LT4
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 76 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, xác định tâm I và bán kính của mặt cầu có phương trình:
a) .
b) .
Phương pháp giải:
a) Với phương trình mặt cầu dạng tổng quát :
- Tìm tọa độ tâm với
, , .
- Tính bán kính .
b) Nếu phương trình có hệ số khác 1 cho các x^2, y^2, z^2 thì chia cả hai vế cho hệ số đó để đưa về dạng chuẩn.
Lời giải chi tiết:
a) Phương trình mặt cầu:
So sánh với phương trình mặt cầu tổng quát:
ta có:
Vậy:
Tâm . Bán kính:
Vậy phương trình mặt cầu có tâm và bán kính .
b)
Phương trình mặt cầu:
Chia cả hai vế cho :
So sánh với phương trình mặt cầu tổng quát:
ta có:
Vậy:
Tâm . Bán kính:
Tính tiếp:
Vậy phương trình mặt cầu có tâm và bán kính .
VD1
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 76 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong hệ trục Oxyz cho trước (đơn vị trên trục là mét), một trạm thu phát sóng 5G có bán kính vùng phủ sóng của trạm ở ngưỡng 600 m được đặt ở vị trí
a) Lập phương trình mặt cầu mô tả ranh giới bên ngoài và bên trong của vùng phủ sóng.
b) Nếu người dùng điện thoại đang ở vị trí thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm này không? Vì sao?
Phương pháp giải:
a) Dùng phương trình mặt cầu với tâm I và bán kính đã cho.
b) Tính khoảng cách IA và so sánh với bán kính .
Lời giải chi tiết:
a)
Phương trình mặt cầu với tâm và bán kính :
Vậy phương trình mặt cầu mô tả vùng phủ sóng là:
b)
Tính khoảng cách IA:
Vì , nên người dùng điện thoại ở vị trí nằm trong vùng phủ sóng của trạm và có thể sử dụng dịch vụ của trạm này.
VD2
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 76 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Giả sử người ta biểu diễn mô phỏng của tòa nhà Ericsson Globe ở phần Khởi động trong hệ trục tọa độ Oxyz bởi một mặt cầu có tâm I, đường kính 110 m và m như hình vẽ (đơn vị trên trục là mét). Hãy viết phương trình của mặt cầu này.
Phương pháp giải:
1. Xác định tọa độ của tâm mặt cầu I:
- Vì tâm mặt cầu nằm trên trục Oz, nên tọa độ của I sẽ có dạng .
- Sử dụng thông tin khoảng cách từ O đến I để tìm .
2. Viết phương trình của mặt cầu:
- Phương trình tổng quát của mặt cầu có tâm và bán kính là:
- Thay tọa độ tâm và bán kính vào phương trình trên để hoàn thành lời giải.
Lời giải chi tiết:
1. Xác định tọa độ tâm :
Do m và bán kính của mặt cầu m, nên khoảng cách từ đến là:
.
Vậy tọa độ của là .
2. Viết phương trình của mặt cầu:
Phương trình mặt cầu với tâm và bán kính là:
.
Giải bài tập 5.31 trang 77 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Đề bài
Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau đây:
a)
b)
c)
d)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Phương trình của mặt cầu có tâm và bán kính có dạng:
- Nếu phương trình đã ở dạng chuẩn, xác định , , và từ phương trình.
- Nếu phương trình chưa chuẩn, đưa về dạng chuẩn bằng cách hoàn phương cho các biến , , .
Lời giải chi tiết
a)
Từ phương trình, ta có:
- Tâm
- Bán kính
b)
Từ phương trình, ta có:
- Tâm
- Bán kính
c)
Ta có:
- :
- :
- Phương trình trở thành:
- Tâm
- Bán kính
d)
Chia cả hai vế cho 3:
- :
-:
- :
- Phương trình trở thành:
- Tâm
- Bán kính
Giải bài tập 5.32 trang 77 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Đề bài
Viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau đây:
a) Có tâm và bán kính ;
b) Đi qua điểm và có tâm ;
c) Có đường kính AB với và .
Phương pháp giải - Xem chi tiết
1. Phương trình mặt cầu có tâm và bán kính :
2. Xác định bán kính:
- Sử dụng độ dài bán kính nếu đã cho.
- Nếu biết một điểm nằm trên mặt cầu và tâm , tính bằng cách:
- Nếu biết đường kính AB, tính bán kính bằng cách:
Lời giải chi tiết
a) Tâm và bán kính . Phương trình mặt cầu là:
b) Đi qua điểm và có tâm . - Tính bán kính :
- Phương trình mặt cầu là:
c) Có đường kính AB với và .
- Tọa độ tâm là trung điểm của AB:
- Bán kính :
- Phương trình mặt cầu là:
Giải bài tập 5.33 trang 77 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Đề bài
Bạn Bình đố bạn Nam tìm được đường kính của quả bóng rổ, biết rằng nếu đặt quả bóng ở một góc căn phòng hình hộp chữ nhật, sao cho quả bóng chạm (tiếp xúc) với hai bức tường và nền nhà của căn phòng đó (khoảng cách từ tâm quả bóng đến hai bức tường và nền nhà đều bằng bán kính của quả bóng) thì có một điểm M trên quả bóng với khoảng cách lần lượt đến hai bức tường và nền nhà là 17 cm, 18 cm và 21 cm (Hình 5.38).
Hãy giúp Nam xác định đường kính của quả bóng rổ. Biết rằng loại bóng rổ tiêu chuẩn có đường kính từ 23 cm đến 24,5 cm.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Xác định gốc toạ độ từ đó suy ra toạ độ của điểm M và tâm của quả bóng.
- Tính bán kính của quả bóng dựa trên các dữ kiện liên quan đến bán kính được cho ở đề bài.
Lời giải chi tiết
Đặt toạ độ O tại vị trí giao nhau giữa hai bức tường và nền nhà.
Toạ độ tương ứng với điểm M là (17;18;21).
Gọi là tâm của quả bóng.
Vì khoảng cách từ tâm quả bóng đến hai bức tường và nền nhà đều bằng bán kính của quả bóng nên ta có: .
Suy ra I có toạ độ là .
Do M nằm trên bề mặt quả bóng nên khoảng cách từ tâm I của quả bóng tới M chính là bán kính r, nên:
Từ phương trình trên ta thu được hai giá trị và .
Vì loại bóng rổ tiêu chuẩn có đường kính từ 23 cm đến 24,5 cm nên ta loại giá trị và nhận giá trị làm bán kính của quả bóng.
Vậy đường kính của bóng rổ là 23,94 cm.
Luyện trắc nghiệm Toán lớp 1 Lớp LOP12
Học đi đôi với hành! Làm ngay các bộ đề trắc nghiệm chấm điểm tức thì, có đáp án chi tiết giúp ghi nhớ kiến thức sâu và chuẩn bị tốt cho các bài kiểm tra.
Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub
Tải ứng dụng Tri Thức Hub trên điện thoại hoặc máy tính bảng (hỗ trợ Android & iOS) để làm bài kiểm tra, luyện tập và lưu tiến độ học tập!