Bài 4. Phương trình và bất phương trình mũ Toán 11 Cùng khám phá

Giải mục 1 trang 21, 22 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Giải mục 2 trang 22, 23 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Bài 6.14 trang 23 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Giải các phương trình

a) \({\left( {0,3} \right)^{3x - 2}} = 1\)

b) \({3^{2x - 1}} + {3^{2x}} = 108\)

c) \({\left( {0,5} \right)^{x + 7}}.{\left( {0,5} \right)^{1 - 2x}} = 2\)

d) \({2^{{x^2} - 3x + 2}} = {4^{x + 1}}\)

Lời giải chi tiết

a)

\(\begin{array}{l}{\left( {0,3} \right)^{3x - 2}} = 1\\ \Leftrightarrow {\left( {0,3} \right)^{3x - 2}} = 0,{3^0}\\ \Leftrightarrow 3x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm là x = \(\frac{3}{2}\)

b)

\(\begin{array}{l}{3^{2x - 1}} + {3^{2x}} = 108\\ \Leftrightarrow {3^{2x - 1}}\left( {1 + 3} \right) = 108\\ \Leftrightarrow {4.3^{2x - 1}} = 108\\ \Leftrightarrow {3^{2x - 1}} = 27\\ \Leftrightarrow {3^{2x - 1}} = {3^3}\\ \Leftrightarrow 2x - 1 = 3\\ \Leftrightarrow x = 2\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm là x = 2

c)

\(\begin{array}{l}{\left( {0,5} \right)^{x + 7}}.{\left( {0,5} \right)^{1 - 2x}} = 2\\ \Leftrightarrow {\left( {0,5} \right)^{8 - x}} = {\left( {0,5} \right)^{ - 1}}\\ \Leftrightarrow 8 - x =  - 1\\ \Leftrightarrow x = 9\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm là x = 9

d)

\(\begin{array}{l}{2^{{x^2} - 3x + 2}} = {4^{x + 1}}\\ \Leftrightarrow {2^{{x^2} - 3x + 2}} = {2^{2x + 2}}\\ \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 2x + 2\\ \Leftrightarrow {x^2} - 5x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 5\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm là x = 0, x = 5

Bài 6.15 trang 23 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Giải các bất phương trình:

a) \({2^{x + 3}} < 4\)

b) \({3^{x + 2}} + {3^{x - 1}} \le 28\)

c) \({\left( {\frac{7}{9}} \right)^{2x - 3}} \ge {\left( {\frac{9}{7}} \right)^{x + 1}}\)

d) \({e^{{x^2} - 2x}} > {e^x}\)

Lời giải chi tiết

a)

\(\begin{array}{l}{2^{x + 3}} < 4\\ \Leftrightarrow {2^{x + 3}} < {2^2}\\ \Leftrightarrow x + 3 < 2\\ \Leftrightarrow x <  - 1\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\)

b)

\(\begin{array}{l}{3^{x + 2}} + {3^{x - 1}} \le 28\\ \Leftrightarrow {3^{x - 1}}\left( {{3^3} + 1} \right) \le 28\\ \Leftrightarrow {28.3^{x - 1}} \le 28\\ \Leftrightarrow {3^{x - 1}} \le 1\\ \Leftrightarrow {3^{x - 1}} \le {3^0}\\ \Leftrightarrow x - 1 \le 0\\ \Leftrightarrow x \le 1\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(( - \infty ;\left. 1 \right]\)

c)

\(\begin{array}{l}{\left( {\frac{7}{9}} \right)^{2x - 3}} \ge {\left( {\frac{9}{7}} \right)^{x + 1}}\\ \Leftrightarrow {\left( {\frac{7}{9}} \right)^{2x - 3}} \ge {\left( {\frac{7}{9}} \right)^{ - x - 1}}\\ \Leftrightarrow 2x - 3 \le  - x - 1\\ \Leftrightarrow 3x \le 2\\ \Leftrightarrow x \le \frac{2}{3}\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { - \infty ;\left. {\frac{2}{3}} \right]} \right.\)

d)

\(\begin{array}{l}{e^{{x^2} - 2x}} > {e^x}\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x > x\\ \Leftrightarrow {x^2} - 3x > 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 3\\x < 0\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)

Bài 6.16 trang 23 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Sự tăng trưởng của một quần thể vi khuẩn được tính theo công thức \(S = a{.5^{rt}}\), trong đó a là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng (r > 0), t (tính theo giờ) là thời gian tăng trưởng. Biết số vi khuẩn ban đầu là 21 con, sau 24 giờ là 525 con. Hỏi tỉ lệ tăng trưởng của quần thể vi khuẩn là bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}525 = {21.5^{24r}}\\ \Leftrightarrow {5^{24r}} = 25\\ \Leftrightarrow {5^{24r}} = {5^2}\\ \Leftrightarrow 24r = 2\\ \Leftrightarrow r = \frac{1}{{12}}\end{array}\)

Vậy tỉ lệ tăng trưởng của quần thể vi khuẩn là \(\frac{1}{{12}}\).

Lý thuyết Phương trình và bất phương trình mũ - SGK Toán 11 Cùng khám phá

A. Lý thuyết

1. Phương trình mũ cơ bản

Phương trình mũ cơ bản có dạng \({a^x} = b\) \((a > 0,a \ne 1)\).

Cho phương trình \({a^x} = b\) \((a > 0,a \ne 1)\): - Nếu b > 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất \(x = {\log _a}b\). - Nếu \(b \le 0\) thì phương trình vô nghiệm.

Lưu ý: Với a > 0 và \(a \ne 1\) và \(b = {a^\alpha }\) thì phương trình \({a^x} = b\) trở thành \({a^x} = {a^\alpha }\). Khi đó phương trình có nghiệm duy nhất \(x = \alpha \). Một cách tổng quát, với a > 0 và \(a \ne 1\) , ta có:

\({a^{A(x)}} = {a^{B(x)}} \Leftrightarrow A(x) = B(x)\).

2. Bất phương trình mũ cơ bản

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng \({a^x} > b\) hoặc \({a^x} \ge b\), \({a^x} < b\), \({a^x} \le b\) \((a > 0,a \ne 1)\).

Cho bất phương trình \({a^x} > b\) \((a > 0,a \ne 1)\): - Nếu \(b \le 0\) thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\). - Nếu b > 0 và: + a > 1: Ta có \({a^x} > b \Leftrightarrow x > {\log _a}b\). + 0 < a < 1: Ta có \({a^x} > b \Leftrightarrow x < {\log _a}b\).

Lưu ý:

Giải tương tự cho các trường hợp còn lại: \({a^x} \ge b\), \({a^x} < b\), \({a^x} \le b\).

Với a > 0, \(a \ne 1\) và \(b = {a^\alpha }\)  thì bất phương trình \({a^x} > b\) trở thành \({a^x} > {a^\alpha }\). Khi đó:

- Nếu a > 1 thì \({a^x} > {a^\alpha } \Leftrightarrow x > \alpha \).

- Nếu 0 < a < 1 thì \({a^x} > {a^\alpha } \Leftrightarrow x < \alpha \).

Một cách tổng quát, ta có:

- Khi a > 1 thì \({a^{A(x)}} > {a^{B(x)}} \Leftrightarrow A(x) > B(x)\).

- Khi 0 < a < 1 thì \({a^{A(x)}} > {a^{B(x)}} \Leftrightarrow A(x) < B(x)\).

 

B. Bài tập

Bài 1: Giải các phương trình:

a) \({3^{x + 1}} = \frac{1}{9}\).

b) \({2^{2x - 1}} + {4^{x + 1}} = 5\).

Giải:

a) \({3^{x + 1}} = \frac{1}{9} \Leftrightarrow x + 1 = {\log _3}\frac{1}{9} \Leftrightarrow x + 1 =  - 2 \Leftrightarrow x =  - 3\).

Vậy phương trình có nghiệm là x = -3.

b) \({2^{2x - 1}} + {4^{x + 1}} = 5 \Leftrightarrow \frac{1}{2}{.4^x} + {4.4^x} = 5 \Leftrightarrow \frac{9}{2}{.4^x} = 5 \Leftrightarrow {4^x} = \frac{{10}}{9} \Leftrightarrow x = {\log _4}\frac{{10}}{9}\).

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = {\log _4}\frac{{10}}{9}\).

Bài 2: Giải các bất phương trình:

a) \({2^x} \ge \frac{1}{{32}}\).

b) \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{x + 1}} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{x - 1}} > 15\).

Giải:

a) Vì cơ số 2 lớn hơn 1 nên \({2^x} \ge \frac{1}{{32}} \Leftrightarrow x \ge {\log _2}\frac{1}{{32}} \Leftrightarrow x \ge  - 5\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \([ - 5; + \infty )\).

b) \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{x + 1}} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{x - 1}} > 15 \Leftrightarrow \frac{1}{2}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} + 2.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} > 15 \Leftrightarrow \frac{5}{2}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} > 15 \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} > 6 \Leftrightarrow x < {\log _{\frac{1}{2}}}6\) (do cơ số \(\frac{1}{2} < 1\)).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(( - \infty ;{\log _{\frac{1}{2}}}6)\).