Bài 4: Tháp Hà Nội - Chuyên đề Tin học 11 Kết nối tri thức

Câu 1

Trả lời câu hỏi khởi động trang 19 Chuyên đề Tin học 11 Kết nối tri thức

Năm 1883, tại một số tỉnh thành của Việt Nam và tại Pháp xuất hiện một trò chơi được quảng cáo với tên “Tháp Hà Nội” (La tour d’Hanoi). Trò chơi này được bán rộng rãi và theo một tờ quảng cáo vào thời gian đó là sẽ trao giải hàng triệu francs cho ai có thể giải được tất cả các mức từ thấp đến cao nhất là 64 đĩa. Trong tờ rơi đó cũng đưa ra con số 18446744073709551615 bước chuyển cho trường hợp 64 đĩa và khuyến cáo rằng sẽ cần hàng tỉ năm để giải được trò chơi này. Trò chơi như sau: có ba cái cọc (ví dụ cọc 1, 2, 3) và n cái đĩa được xếp tại cọc 1 theo thứ tự to dần từ trên xuống. Yêu cầu chuyển n đĩa này sang cọc 3 với điều kiện là được dùng cọc 2 làm trung gian, mỗi lần chỉ được phép chuyển 1 đĩa và không cho phép đặt đĩa to chồng lên đĩa nhỏ.

Em hãy suy nghĩ và thử giải trò chơi trên với n = 1, 2

Hình 4.1. Tờ quảng cáo trò chơi “Tháp Hà Nội”, 1883

Lời giải chi tiết:

Đọc, tìm hiểu bài toán Tháp Hà Nội và thực hiện giải trò chơi này với số lượng đĩa nhỏ (1, 2, 3). Em có nhận xét gì về lời giải bài toán với n = 1, 2, 3?

Với n = 2, ta có hai cái đĩa, ta sẽ di chuyển đĩa lớn nhất từ cọc 1 sang cọc trung gian 2, sau đó di chuyển đĩa nhỏ từ cọc 1 sang cọc đích 3, và cuối cùng di chuyển đĩa lớn từ cọc 2 sang cọc đích 3

Câu 2

Trả lời câu hỏi hoạt động 1 trang 19 Chuyên đề Tin học 11 Kết nối tri thức

Đọc, tìm hiểu bài toán Tháp Hà Nội và thực hiện giải trò chơi này với số lượng đĩa nhỏ (1, 2, 3). Em có nhận xét gì về lời giải bài toán với n = 1, 2, 3?

Lời giải chi tiết:

* Với n = 1, bài toán trở nên rất đơn giản, chỉ cần chuyển đĩa từ cột xuất phát sang cột đích là xong.

* Với n = 2, ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

* Với n = 3, ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

Câu 3

Trả lời câu hỏi 1 trang 21 Chuyên đề Tin học 11 Kết nối tri thức

Mô tả lời giải bài toán với trường hợp n = 1, 2, 3 ở trên (không dùng hình vẽ mô tả)

Lời giải chi tiết:

* Với n = 1, bài toán trở nên rất đơn giản, chỉ cần chuyển đĩa từ cột xuất phát sang cột đích là xong.

* Với n = 2, ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

Chuyển đĩa nhỏ từ cột xuất phát sang cột trung gian.

Chuyển đĩa lớn từ cột xuất phát sang cột đích.

Chuyển đĩa nhỏ từ cột trung gian sang cột đích.

* Với n = 3, ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

Chuyển hai đĩa nhỏ từ cột xuất phát sang cột trung gian.

Chuyển đĩa lớn từ cột xuất phát sang cột đích.

Chuyển hai đĩa nhỏ từ cột trung gian sang cột đích.

Chuyển đĩa nhỏ từ cột xuất phát sang cột trung gian.

Chuyển đĩa lớn từ cột đích sang cột xuất phát.

Chuyển đĩa nhỏ từ cột trung gian sang cột đích.

Chuyển hai đĩa nhỏ từ cột xuất phát sang cột trung gian.

Chuyển đĩa lớn từ cột xuất phát sang cột đích.

Chuyển hai đĩa nhỏ từ cột trung gian sang cột đích.

Câu 4

Trả lời câu hỏi 2 trang 21 Chuyên đề Tin học 11 Kết nối tri thức

Mô tả lời giải bài toán với n = 1, 2, 3 nếu yêu cầu là di chuyển các đĩa từ cọc 1 sang cọc 2 (cọc 3 là cọc trung gian).

Lời giải chi tiết:

* Giải trò chơi Tháp Hà Nội với n=1:

Di chuyển đĩa 1 từ cọc 1 sang cọc 2.

        * Giải trò chơi Tháp Hà Nội với n=2:

Di chuyển đĩa 1 từ cọc 1 sang cọc 3.

Di chuyển đĩa 2 từ cọc 1 sang cọc 2.

Di chuyển đĩa 1 từ cọc 3 sang cọc 2.

        * Giải trò chơi Tháp Hà Nội với n=3:

Di chuyển đĩa 1 từ cọc 1 sang cọc 2.

Di chuyển đĩa 2 từ cọc 1 sang cọc 3.

Di chuyển đĩa 1 từ cọc 2 sang cọc 3.

Di chuyển đĩa 3 từ cọc 1 sang cọc 2.

Di chuyển đĩa 1 từ cọc 3 sang cọc 1.

Di chuyển đĩa 2 từ cọc 3 sang cọc 2.

Di chuyển đĩa 1 từ cọc 1 sang cọc 2.

Nhận xét: Với n = 1, chỉ cần di chuyển một đĩa từ cọc 1 sang cọc 2. Với n = 2, ta thực hiện ba lần di chuyển. Với n = 3, ta thực hiện bảy lần di chuyển. Với mỗi tăng thêm một đĩa, số lần di chuyển tăng lên gấp đôi và cộng thêm một.

Câu 5

Trả lời câu hỏi hoạt động 2 trang 21 Chuyên đề Tin học 11 Kết nối tri thức

Đọc, trao đổi để hiểu được ý tưởng thiết kế đệ quy cho lời giải bài toán Tháp Hà Nội

Lời giải chi tiết:

Ý tưởng giải bài toán Tháp Hà Nội có n đĩa từ cọc 1 sang cọc 3 như sau:

Bước 1. Chuyển n - 1 đĩa từ cọc 1 sang cọc 2 lấy cọc 5 làm trung gian.

Bước 2. Chuyển đĩa n từ cọc 1 sang cọc 3.

Bước 3. Chuyển n - 1 đĩa từ cọc 2 sang cọc 3 lấy cọc 1 làm trung gian.

Câu 6

Trả lời câu hỏi trang 22 Chuyên đề Tin học 11 Kết nối tri thức

Viết sơ đồ chi tiết giải bài toán Tháp Hà Nội cho trường hợp n = 4. Tính H(4)

Lời giải chi tiết:

1. Di chuyển 3 đĩa từ cọc 1 sang cọc 3:

1.1 Di chuyển 2 đĩa từ cọc 1 sang cọc 2:

- Di chuyển 1 đĩa từ cọc 1 sang cọc 3.

-  Di chuyển 1 đĩa từ cọc 1 sang cọc 2.

-  Di chuyển 1 đĩa từ cọc 3 sang cọc 2.

1.2. Di chuyển 1 đĩa từ cọc 1 sang cọc 3.

1.3. Di chuyển 2 đĩa từ cọc 2 sang cọc 3:

- Di chuyển 1 đĩa từ cọc 2 sang cọc 1.

- Di chuyển 1 đĩa từ cọc 2 sang cọc 3

- Di chuyển 1 đĩa từ cọc 1 sang cọc 3.

2. Di chuyển 1 đĩa từ cọc 1 sang cọc 2.

3. Di chuyển 3 đĩa từ cọc 3 sang cọc 2:

3.1 Di chuyển 2 đĩa từ cọc 3 sang cọc 1:

- Di chuyển 1 đĩa từ cọc 3 sang cọc 2. 3.1.2

- Di chuyển 1 đĩa từ cọc 3 sang cọc 1.

- Di chuyển 1 đĩa từ cọc 2 sang cọc 1.

3.2 Di chuyển 1 đĩa từ cọc 3 sang cọc 2.

3.3 Di chuyển 2 đĩa từ cọc 1 sang cọc 2:

-  Di chuyển 1 đĩa từ cọc 1 sang cọc 3.

- Di chuyển 1 đĩa từ cọc 1 sang cọc 2.

- Di chuyển 1 đĩa từ cọc 3 sang cọc 2.

Vậy, tổng số bước để di chuyển 4 đĩa theo quy trình trên là:

- Di chuyển 3 đĩa từ cọc 1 sang cọc 2: 7 bước

- Di chuyển đĩa còn lại từ cọc 1 sang cọc 3: 1 bước

- Di chuyển 3 đĩa từ cọc 2 sang cọc 3: 7 bước

Vậy tổng số bước cần thiết để di chuyển 4 đĩa trong bài toán tháp Hà Nội là 15 bước.Top of Form

Câu 7

Trả lời câu hỏi hoạt động 3 trang 23 Chuyên đề Tin học 11 Kết nối tri thức

Gọi Hanoi(n, i, j, k) là bài toán yêu cầu chuyển n đĩa đang xếp ở cọc i sang cọc j lấy cọc k làm trung gian. Các đĩa được đánh số từ 1 đến n và xếp theo thứ tự từ trên xuống. Các điều kiện của việc chuyển như sau:

1. Các đĩa đánh số từ 1 đến n và có kích thước tăng dần.

2. Mỗi lần chỉ được phép chuyển một đĩa.

3. Không được phép xếp đĩa to lên trên đĩa nhỏ.

Em hãy thiết kế thuật toán đệ quy tổng quát cho bài toán trên. Yêu cầu phải mô tả chi tiết từng bước chuyển.

Lời giải chi tiết:

Mô tả chi tiết từng bước chuyển như sau:

1. Khi n = 1:

Di chuyển đĩa từ cọc i sang cọc j.

2. Khi n > 1:

- Bước 1: Chuyển n - 1 đĩa từ cọc i sang cọc k:

Gọi lại thuật toán Hanoi(n-1, i, k, j) để chuyển n - 1 đĩa từ cọc i sang cọc k.

- Bước 2: Chuyển đĩa lớn nhất từ cọc i sang cọc j:

Di chuyển đĩa từ cọc i sang cọc j.

- Bước 3: Chuyển n - 1 đĩa từ cọc k sang cọc j:

Gọi lại thuật toán Hanoi(n-1, k, j, i) để chuyển n - 1 đĩa từ cọc k sang cọc j.

Câu 8

Trả lời câu hỏi 1 trang 24 Chuyên đề Tin học 11 Kết nối tri thức

Tính các giá trị H(2), H(3), H(4), H(5) của bài toán Tháp Hà Nội

Lời giải chi tiết:

Để tính các giá trị H(2), H(3), H(4), H(5) của bài toán Tháp Hà Nội, ta có thể sử dụng công thức như sau:

H(2) = 2

H(3) = 2 * H(2) + 1 = 2 * 2 + 1 = 5

H(4) = 2 * H(3) + 1 = 2 * 5 + 1 = 11

H(5) = 2 * H(4) + 1 = 2 * 11 + 1 = 23

Vậy H(2) = 2, H(3) = 5, H(4) = 11, H(5) = 23.

Câu 9

Trả lời câu hỏi 2 trang 24 Chuyên đề Tin học 11 Kết nối tri thức

Viết chương trình đệ quy để tính giá trị H(n) của bài toán Tháp Hà Nội

Lời giải chi tiết:

Viết chương trình đệ quy để tính giá trị H(n) của bài toán Tháp Hà Nội:

Luyện tập Câu 1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 24 Chuyên đề Tin học 11 Kết nối tri thức

Viết chương trình giải bài toán Tháp Hà Nội nhưng với tên các cọc là A, B, C

Lời giải chi tiết:

Chương trình giải bài toán Tháp Hà Nội nhưng với tên các cọc là A, B, C.

Luyện tập Câu 2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 24 Chuyên đề Tin học 11 Kết nối tri thức

Viết chương trình rút gọn của hàm Hanoi(n, i, j, k) như sau và kiểm tra kết quả

Lời giải chi tiết:

Chương trình viết đúng. Thử với n = 4, kết quả thu được như sau:

Vận dụng Câu 1

Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 24 Chuyên đề Tin học 11 Kết nối tri thức

Hãy chứng minh công thức

H(n) = 2ⁿ - 1 bằng quy nạp toán học. Hãy tính H(64) và so sánh với con số các bước đã được đưa ra trong tờ quảng cáo của trò chơi vào năm 1883.

Lời giải chi tiết:

- Nếu chỉ có một đĩa (n=1), H(n) = 1.

- Nếu có n đĩa, để chuyển tất cả các đĩa từ tháp ban đầu sang tháp đích, ta phải thực hiện các bước sau:

Chuyển n-1 đĩa từ tháp ban đầu sang tháp trung gian.

Chuyển đĩa cuối cùng (đĩa lớn nhất) từ tháp ban đầu sang tháp đích.

Chuyển n-1 đĩa từ tháp trung gian sang tháp đích.

Số bước chuyển tất cả các đĩa là H(n) = 2 * H(n-1) + 1.

- Ta sẽ chứng minh công thức này bằng phương pháp quy nạp toán học:

Bước 1: Giả sử công thức đúng với n-1, tức là H(n-1) = 2^(n-1) - 1

Bước 2: Chứng minh công thức đúng với n, tức là H(n) = 2^n - 1

Ta có:

H(n) = 2 * H(n-1) + 1 (theo công thức đề bài)

= 2 * (2^(n-1) - 1) + 1 (theo giả sử ở bước 1)

= 2^n - 2 + 1

= 2^n - 1

Vậy ta đã chứng minh được công thức đúng với mọi n.

Để tính H(64), ta áp dụng công thức đã chứng minh:

H(64) = 2^64 - 1

= 18446744073709551615

Vậy H(64) = 18446744073709551615 trùng với con số ở trên bài báo

Vận dụng Câu 2

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 24 Chuyên đề Tin học 11 Kết nối tri thức

Giả sử cần lưu dãy các bước chuyển của bài toán Tháp Hà Nội vào một danh sách để có thể sử dụng lại về sau. Mỗi bước chuyển dạng k: i → j sẽ được lưu trong một bộ ba số (k, i, j). Viết chương trình giải bài toán Tháp Hà Nội tổng quát Hanoi(n, i, j, k) chuyển n đĩa từ cọc i sang cọc j lấy cọc k làm trung gian với yêu cầu lưu tất cả các bước chuyển vào một danh sách (list). Như vậy, hàm Hanoi(n, i, j, k) sẽ trả về một danh sách bao gồm các bộ ba số dạng như đã mô tả ở trên.

Lời giải chi tiết:

Để giải bài toán Tháp Hà Nội và lưu các bước chuyển vào một danh sách, ta có thể sử dụng thuật toán đệ quy. Trong mỗi lần đệ quy, ta sẽ chuyển n-1 đĩa từ cọc ban đầu sang cọc trung gian, sau đó chuyển đĩa lớn nhất từ cọc ban đầu sang cọc đích và cuối cùng chuyển n-1 đĩa từ cọc trung gian sang cọc đích.

Ví dụ, để chuyển 3 đĩa từ cọc A sang cọc C lấy cọc B làm trung gian, ta có thể gọi hàm Hanoi(3, 'A', 'C', 'B') và kết quả trả về sẽ là danh sách các bước chuyển [(1, 'A', 'C'), (2, 'A', 'B'), (1, 'C', 'B'), (3, 'A', 'C'), (1, 'B', 'A'), (2, 'B', 'C'), (1, 'A', 'C')].