Bài 4. Tiếp tuyến của đường tròn - Toán 9 Cùng khám phá
Lý thuyết Tiếp tuyến của đường tròn Toán 9 Cùng khám phá
1. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn
|
Nếu một đường thẳng đi qua một điểm thuộc đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng đó là một tiếp tuyến của đường tròn. |
2. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau
Định lí
|
Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì: - Điểm đó cách đều hai tiếp điểm. - Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến. - Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm. |
Ví dụ: Cho đường tròn (O), B, C \( \in \) (O). Tiếp tuyến của (O) tại B và C cắt nhau tại A.
Khi đó:
- AB = AC
- Tia AO là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\).
- Tia OA là tia phân giác của \(\widehat {BOC}\).
Giải câu hỏi khởi động trang 111 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá
Đề bài
Trong trường hợp nào ở Hình 5.29, đoàn tàu có thể di chuyển từ cung đường ray AB sang đường ray thẳng BC mà không trật bánh ray? Khi đó đường thẳng BC và đường tròn (O) có vị trí tương đối như thế nào?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Quan sát hình và đưa ra nhận xét.
Lời giải chi tiết
Trong hình này, đoàn tàu có thể di chuyển từ cung đường ray AB sang đường ray thẳng BC mà không trật bánh ray. Khi đó, đường thẳng BC và đường tròn (O) tiếp xúc nhau.
Giải mục 1 trang 111, 112 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá
HĐ1
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 111 SGK Toán 9 Cùng khám phá
Trong Hình 5.30, đường thẳng a tiếp xúc với đường tròn (O; R) tại A và H là chân đường vuông góc kẻ từ O xuống a. Xác định độ dài OH. Vì sao A và H trùng nhau, nhận xét về góc tạo bởi tiếp tuyến a và bán kính OA.
Phương pháp giải:
+ Chứng minh OH là khoảng cách từ O đến đường thẳng a. Mà đường thẳng a tiếp xúc với đường tròn (O; R) nên .
+ Chứng minh và tại A, từ đó suy ra A và H trùng nhau.
+ Góc tạo bởi tiếp tuyến a và bán kính OA bằng .
Lời giải chi tiết:
Vì H là chân đường vuông góc kẻ từ O xuống a nên OH là khoảng cách từ O đến đường thẳng a.
Mà đường thẳng a tiếp xúc với đường tròn (O; R) nên .
Vì đường thẳng a tiếp xúc với đường tròn (O; R) tại A nên khoảng cách từ O đến đường thẳng a bằng bán kính đường tròn (O; R). Tức là: và tại A.
Do đó, A và H trùng nhau.
Góc tạo bởi tiếp tuyến a và bán kính OA bằng .
LT1
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 111 SGK Toán 9 Cùng khám phá
Trong Hình 5.32, MN là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tại N. Tính R.
Phương pháp giải:
Chứng minh tam giác ONM vuông tại N, suy ra
Lời giải chi tiết:
Vì MN là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tại N nên . Do đó, tam giác ONM vuông tại N.
Suy ra
HĐ2
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 112 SGK Toán 9 Cùng khám phá
Trong Hình 5.33, đường tròn (O) có bán kính R và điểm A nằm trên đường tròn, đường thẳng a vuông góc với OA tại A. So sánh khoảng cách từ O đến đường thẳng a với bán kính R, từ đó xác định vị trí tương đối của a và (O).
Phương pháp giải:
+ Chỉ ra .
+ Chứng minh khoảng cách từ O đến đường thẳng a là: .
+ Suy ra, đường thẳng a tiếp xúc với (O).
Lời giải chi tiết:
Vì A nằm trên đường tròn (O) nên .
Vì đường thẳng a vuông góc với OA tại A nên khoảng cách từ O đến đường thẳng a là: .
Do đó, đường thẳng a tiếp xúc với (O).
LT2
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 112 SGK Toán 9 Cùng khám phá
Trong Hình 5.35, cạnh mỗi hình vuông trong lưới ô vuông có độ dài là 1 đơn vị. Chứng minh rằng đường thẳng AC là tiếp tuyến của đường tròn tâm B, bán kính BA.
Phương pháp giải:
+ Sử dụng định lí Pythagore tính AB, BC, AC.
+ Sử dụng định lí Pythagore đảo chứng minh tam giác ABC vuông tại A, từ đó suy ra đường thẳng AC là tiếp tuyến của đường tròn tâm B, bán kính BA
Lời giải chi tiết:
Ta có:
Do đó, nên tam giác ABC vuông tại A. Suy ra, .
Suy ra, đường thẳng AC là tiếp tuyến của đường tròn tâm B, bán kính BA.
Giải mục 2 trang 112, 113, 114 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá
HĐ3
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 112 SGK Toán 9 Cùng khám phá
Vẽ đường tròn (O) và lấy hai điểm A, B thuộc (O) (AB không là đường kính). Vẽ tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại M. Em hãy đo và so sánh:
a) MA và MB;
b) và ;
c) và .
Phương pháp giải:
Đo hình và đưa ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
Tiến hành đo và so sánh ta có:
a)
b)
c)
LT3
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 113 SGK Toán 9 Cùng khám phá
Trong Hình 5.38, ZX và ZY là hai tiếp tuyến của đường tròn tâm O với tiếp điểm lần lượt là X và Y. Xác định số đo và độ dài YZ.
Phương pháp giải:
Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:
+ Điểm đó cách đều hai tiếp điểm;
+ Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.
Lời giải chi tiết:
ZX và ZY là hai tiếp tuyến của đường tròn tâm O với tiếp điểm lần lượt là X và Y nên
+
+ OZ là tia phân giác góc XOY nên
Vì ZY là tiếp tuyến của đường tròn tâm O nên nên tam giác ZOY vuông tại Y.
Do đó,
Vậy .
VD
Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 114 SGK Toán 9 Cùng khám phá
Trong Hình 5.39, người ta dùng một đoạn dây gắn vào hai điểm A, B trên viền một chiếc gương tròn để treo gương vào điểm M. Biết tổng độ dài dây là 82cm, và MA, MB tiếp xúc với viền gương. Tính đường kính của gương. Làm tròn kết quả đến đơn vị centimét.
Phương pháp giải:
+ Vì MA, MB là tiếp tuyến của (O) nên và .
+ Tam giác AMO vuông tại A nên , từ đó tính được OA.
+ Đường kính của gương là: .
Lời giải chi tiết:
Gọi O là tâm của chiếc gương.
Vì MA, MB là tiếp tuyến của (O) nên:
+ MO là tia phân giác góc AMB, suy ra:
.
+ .
Vì MA là tiếp tuyến của (O) nên . Do đó, tam giác AMO vuông tại A.
Suy ra: .
Vậy đường kính của gương là:
Giải bài tập 5.16 trang 114 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá
Đề bài
Trên mặt phẳng tọa độ, vẽ đường tròn tâm I(2; 3) đi qua gốc tọa độ O. Vẽ tiếp tuyến của đường tròn tại O.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Xác định tọa độ điểm I trên mặt phẳng tọa độ.
+ Vẽ đường tròn tâm I, bán kính OI.
+ Qua O vẽ đường thẳng d vuông góc với OI, khi đó d là tiếp tuyến của (I) tại O.
Lời giải chi tiết
+ Xác định tọa độ điểm I(2; 3) trên mặt phẳng tọa độ.
+ Vẽ đường tròn tâm I, bán kính OI.
+ Qua O vẽ đường thẳng d vuông góc với OI, khi đó d là tiếp tuyến của (I) tại O.
Giải bài tập 5.17 trang 114 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá
Đề bài
Cho A là một điểm thuộc đường tròn (O), M là một điểm thuộc tiếp tuyến của (O) tại điểm A (M khác A). Đường tròn tâm M bán kính MA cắt (O) tại B (B khác A). Chứng minh rằng MB là một tiếp tuyến của (O).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Chứng minh .
+ Chứng minh nên .
+ Suy ra tại B. Mà B thuộc đường tròn (O) nên MB là tiếp tuyến của (O).
Lời giải chi tiết
Vì MA là tiếp tuyến của (O) nên nên .
Tam giác AMO và tam giác BMO có:
(bán kính (O)), (bán kính (M)), OM chung.
Do đó, nên
Suy ra tại B. Mà B thuộc đường tròn (O) nên MB là tiếp tuyến của (O).
Giải bài tập 5.18 trang 114 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá
Đề bài
Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O; 5cm), , vẽ hai tiếp tuyến MA, MB (A, B là các tiếp điểm).
a) Tính độ dài MA và MB.
b) Cho C là điểm bất kì thuộc đường tròn (O) và nằm trong góc AOB. Tiếp tuyến tại C của đường tròn cắt MA tại N và cắt MB tại P. Tính chu vi .
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) + Chứng minh tam giác MAO vuông tại A. Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác MAO tính MA.
+ MA và MB là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên .
b) + Sử dụng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau chứng minh , .
+ Chu vi tam giác MNP:
Lời giải chi tiết
a) Vì MA là tiếp tuyến của (O) nên nên tam giác MAO vuông tại A.
Do đó, (định lí Pythagore) nên
.
Vì MA và MB là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên
.
b) Vì NA và NC là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên .
Vì CP và PB là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên .
Chu vi tam giác MNP là:
Giải bài tập 5.19 trang 114 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá
Đề bài
Trong Hình 5.40, mặt cắt của Trái Đất có thể xem là đường tròn tâm O bán kính . Từ điểm A nằm ở độ cao h so với mực nước biển, một người có thể thấy xa nhất đến điểm B trên (O) sao cho AB là tiếp tuyến (O). Khoảng cách AB khi đó được gọi là tầm nhìn xa từ điểm A. Tính AB nếu .
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+
+ Chứng minh tam giác BAO vuông tại B. Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác BAO tính AB.
Lời giải chi tiết
Ta có:
Vì AB là tiếp tuyến (O) nên tại B. Do đó, tam giác BAO vuông tại B. Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác BAO vuông tại B ta có:
Giải bài tập 5.20 trang 114 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá
Đề bài
Hình 5.41 cho thấy mặt cắt của hai ống nước nhựa được đặt sát nhau trên mặt đất. Ống nhỏ có đường kính 6cm, ống lớn có đường kính 18cm. Tính:
a) Khoảng cách AB giữa tâm của hai mặt cắt;
b) Khoảng cách HK giữa hai tiếp điểm của mặt cắt hai ống với mặt đất.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Cho hai đường tròn phân biệt (O; R) và (O’; r) và . Nếu thì hai đường tròn tiếp xúc ngoài.
b) + Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AB, cắt HK tại E.
+ Suy ra CE là tiếp tuyến của đường tròn (A) và CE là tiếp tuyến của đường tròn (B).
+ Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau suy ra:
, .
+ Chứng minh
+ Chứng minh .
+ Chứng minh , , tính được EC.
Lời giải chi tiết
a) Bán kính đường tròn nhỏ là: , bán kính đường tròn lớn là:
Vì hai đường tròn (A) và (B) tiếp xúc ngoài tại C nên
b) Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AB, cắt HK tại E.
Do đó, CE là tiếp tuyến của đường tròn (A) và CE là tiếp tuyến của đường tròn (B).
Vì CE và HE là tiếp tuyến của đường tròn (A) nên .
Vì CE và EK là tiếp tuyến của đường tròn (B) nên .
Do đó, .
Ta có: , nên , suy ra hay .
Tam giác ACE và tam giác ECB có: (cùng phụ với góc AEC).
Do đó, , suy ra , suy ra , suy ra .
Vậy .
Giải bài tập 5.21 trang 114 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá
Đề bài
Trong Hình 5.42, để tàu không trật bánh ray khi chuyển hướng từ đường ray thẳng XA sang đường ray thẳng YB, đoạn ray nối được thiết kế là một phần của đường tròn (O) tiếp xúc với XA tại A và BY tại B. Biết góc chuyển hướng của tàu là và khoảng cách giữa hai điểm A và B là 730m. Tính bán kính của đường tròn (O). Làm tròn kết quả đến đơn vị mét.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau suy ra , .
+ Chứng minh MO là đường trung trực của AB.
+ Gọi I là trung điểm của AB thì và MO vuông góc với AB tại I.
+ Chứng minh tam giác MAO vuông tại A, tính góc MOA.
+ Tam giác AIO vuông tại I nên , từ đó tính được AO.
Lời giải chi tiết
Vì MA, MB là tiếp tuyến của (O) nên:
+ .
+ MO là tia phân giác góc BMA nên
.
Vì (bán kính (O)) nên O thuộc đường trung trực của AB.
Vì nên M thuộc đường trung trực của AB.
Do đó, MO là đường trung trực của AB.
Gọi I là trung điểm của AB thì và MO vuông góc với AB tại I.
Vì MA là tiếp tuyến của (O) nên
Suy ra, tam giác MOA vuông tại A nên
Tam giác AIO vuông tại I nên ,
suy ra .
Vậy bán kính đường tròn (O) khoảng 600m.
Luyện trắc nghiệm Toán lớp 1 Lớp LOP9
Học đi đôi với hành! Làm ngay các bộ đề trắc nghiệm chấm điểm tức thì, có đáp án chi tiết giúp ghi nhớ kiến thức sâu và chuẩn bị tốt cho các bài kiểm tra.
Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub
Tải ứng dụng Tri Thức Hub trên điện thoại hoặc máy tính bảng (hỗ trợ Android & iOS) để làm bài kiểm tra, luyện tập và lưu tiến độ học tập!