Bài 4 trang 100

Đề bài

Cho tứ diện ABCD. Gọi $G_{1}, G_{2}$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và ABD. Chứng minh rằng đường thẳng $G_{1} G_{2}$ song song với đường thẳng CD.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng định lý Talet đảo

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.

Lời giải chi tiết

Trong mặt phẳng ABC, kẻ trung tuyến AM của tam giác ABC.

Vì $G_{1}$ là trọng tâm tam giác ABC nên $\frac{A G_{1}}{A M} = \frac{2}{3}$ .

Trong mặt phẳng ABD, kẻ trung tuyến AN của tam giác ABN.

Vì $G_{2}$ là trọng tâm tam giác ABC nên $\frac{A G_{2}}{A N} = \frac{2}{3}$ .

Xét tam giác AMN, có $\frac{A G_{1}}{A M} = \frac{A G_{2}}{A N} = \frac{2}{3}$ nên $G_{1} G_{2}$ //MN (định lý Thales đảo).

Xét tam giác BCD có M, N lần lượt là trung điểm của BC, BD nên MN là đường trung bình.

Khi đó, MN//CD.

Vậy $G_{1} G_{2}$ //CD (cùng song song với MN).