Bài 4 trang 106

Đề bài

Cho hình chóp $S . A B C D$ có $S A ⊥ (A B C D)$ , đáy $A B C D$ là hình vuông cạnh $a$ , $S A = a$ (Hình 78).

a) Tính khoảng cách từ điểm $S$ đến đường thẳng $C D$ .

b) Tính khoảng cách từ điểm $D$ đến mặt phẳng $(S A B)$ .

c) Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(S C D)$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Tính khoảng cách từ điểm đó đến hình chiếu của nó lên đường thẳng.

‒ Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: Tính khoảng cách từ điểm đó đến hình chiếu của nó lên mặt phẳng.

Lời giải chi tiết

a) $S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow S A ⊥ C D$

$A B C D$ là hình vuông $\Rightarrow A D ⊥ C D$

$\begin{array}{l} \Rightarrow C D ⊥ (S A D) \Rightarrow C D ⊥ S D \\ \Rightarrow d (S, C D) = S D = \sqrt{S A^{2} + A D^{2}} = a \sqrt{2} \end{array}$

b) $S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow S A ⊥ A D$

$A B C D$ là hình vuông $\Rightarrow A B ⊥ A D$

$\Rightarrow A D ⊥ (S A B) \Rightarrow d (D, (S A B)) = A D = a$

c) Kẻ $A H ⊥ S D (H \in S D)$ .

$C D ⊥ (S A D) \Rightarrow C D ⊥ A H$

$\Rightarrow A H ⊥ (S C D) \Rightarrow d (A, (S C D)) = A H$

Tam giác $S A D$ vuông tại $A$ có đường cao $A H$

$\Rightarrow A H = \frac{S A . A D}{S D} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

Vậy $d (A, (S C D)) = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ .