Bài 4 trang 109

Đề bài

Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng.

a) Chứng minh rằng (AFD) // (BEC).

b) Gọi M là trọng tâm của tam giác ABE. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng (AFD). Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng AC tại N. Tính $\frac{AN}{NC}$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: AD // BC (ABCD là hình bình hành).

Mà AD thuộc (AFD), BC thuộc (BEC).

Suy ra (AFD) // (BEC).

b) Trong (ABEF), kẻ đường thẳng d qua M // AF.

Ta có: d cắt AB tại I, d cắt EF tại J (1)

Trong (ABCD) có I thuộc  (P) mà (P) // (AFD).

Suy ra từ I kẻ IH // AD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: (IJH) trùng (P) và // (AFD).

Ta có: (P) cắt AC tại N mà AC thuộc (ABCD), IH thuộc (P) và (ABCD).

Suy ra IH cắt AC tại N.

Ta có các hình bình hành IBCH, IBEJ.

Gọi O là trung điểm của AB.

Ta có M là trọng tâm của tam giác ABE.

Suy ra $\frac{MO}{ME}=\frac{1}{2}$.

Ta có AB // CD suy ra AI // CH.

Định lý Ta – let:$\frac{AN}{NC}=\frac{AI}{CH}$.

Mà CH = IB (IBCH là hình bình hành).

Suy ra$\frac{AN}{NC}=\frac{AI}{IB}$.

Ta có: AB // EF nên OI // EJ.

Do đó: $\frac{OI}{EJ}=\frac{MO}{ME}=\frac{1}{2}$.

Mà EJ = IB (IBEJ là hình bình hành).

Suy ra $\frac{OI}{IB}=\frac{1}{2}$ hay $IB=2OI$.

Ta có $\frac{AN}{NC}=\frac{AI}{IB}=\frac{AO+OI}{2OI}$.

Mà OA = OB (O là trung điểm AB).

Nên $\frac{AN}{NC}=\frac{OB+OI}{2OI}=\frac{OI+IB+OI}{2OI}=\frac{OI+2OI+OI}{2OI}=2$.

Do đó: $\frac{AN}{NC}=2$.